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1 3 线段的垂直平分线知识总结线段的垂直平分线知识总结 一 线段垂直平分线的性质定理一 线段垂直平分线的性质定理 文字语言符号语言图形语言 线段垂直平分线上 的点到这条线段两 个端点的距离相等 因为点 P 在线段 AB 的垂直平分 线上 所以 PA PB P O BA 说明 说明 1 这里的距离指的是点与点之间的距离 也就是两点之间线段的长度 2 在使用该定理时必须保证两个前提条件 一是垂直于线段 二是平分这 条线段 例题 例题 如图所示 在 ABC 中 已知 AC 27 AB 的垂直平分线交 AB 于 点 D 交 AC 于点 E BCE 的周长等于 50 求 BC 的长 分析 题中给出了线段垂直平分线这个条件 所以可以考虑运用其性质定 理 从而得出 AE BE 把 BE 与 AE 进行等量代换 再根据 BCE 的周长及 AC 的长 可求出 BC 的长 解 因为 ED 是线段 AB 的垂直平分线 所以 BE AE 因为 BCE 的周长等于 50 即 BE EC BC 50 所以 AE EC BC 50 又因为 AE EC AC 27 所以 BC 50 27 23 二 线段垂直平分线定理的逆定理二 线段垂直平分线定理的逆定理 文字语言符号语言图形语言 到一条线段两个端 点距离相等的点 在这条线段的垂直 平分线上 因为 PA PB 所以点 P 在线段 AB 的垂直平分 线上 P O BA E D C B A 2 3 证明某一条直线是另一条线段的垂直平分线有两种方法 第一种 根据线段垂直平分线的定义 也就是经过线段的中点 并且垂直 于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 使用这种方法必须满足两个 条件 一是垂直二是平分 第二种 可以证明有两个点都在线段的垂直平分线上 根据两点确定一条 直线 就可以判断这两点所在的直线就是这条线段的垂直平分线 例题例题 1 如图所示 P 为线段 AB 外的一点 并且 PA PB 求证 点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 分析 要想说明某一点在线段的垂直平分线上 可以根据线段的垂直平分 线的定义来进行判断 证明 过点 P 作 PC AB 垂足为点 C 因为 PA PB 所以 A B 又因为 PC AB 所以 PAB PBA 90 在 PAC 和 PBC 中 AB PACPBC PCPC 所以 PAC PBC 所以 AC BC 又因为 PC AB 所以 PC 垂直平分线段 AB 所以点 P 在线段 AB 的垂直平分线上 例题例题 2 如图所示 在 ABC 中 D 为 BC 上的一点 连结 AD 点 E 在 AD 上 并且 1 2 3 4 求证 AD 垂直平分 BC 分析 本道题目可以选取第二种判断方法 也就是 通过得出 EB EC AB AC 从而证明出 AD 垂直平分 BC 证明 4 3 2 1 E D CB A P C B A 3 3 因为 1 2 所以 EB EC 所以点 E 在线段 BC 的
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