八年级数学反比例函数华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 初二数学初二数学反比例函数反比例函数华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 反比例函数 教学目标 1 理解反比例函数的意义 会画出反比例函数的图像 2 能根据图像和关系式探索并理解反比例函数的性质 3 能用反比例函数解决某些简单的实际问题 教学重点 反比例函数图像及性质应用 教学内容 一 知识梳理 1 反比例关系的概念 两种相关联的量 一种量变化 另一种量也随着变化 如果这两种量中相对应的两个 数的积一定 这两种量就叫做成反比例的量 它们的关系叫做反比例关系 比如 甲 乙 两地的距离是 100 千米 则汽车从甲地到乙地所用的时间 t 与行驶的速度 v 之间的关系是 vt 100 2 反比例函数的概念 1 定义 一般地 如果两个变量 x y 之间的关系可以表示成 k 为常数 y k x k 0 的形式 那么称 y 是 x 的反比例函数 2 自变量 x 的取值范围是 x 0 函数 y 的取值范围是 y 0 3 反比例函数的几种等价形式 y 是 x 的反比例函数变量 y k x kykxkxyk k 000 1 y 与 x 成反比例 比例系数为 k 4 反比例关系解析式的确定 由于反比例函数的解析式中只有一个待定系数 k 确定了 k 的值 也就确定了y k x 反比例函数 因而一般只需给出一组 x y 的对应值 然后代入中即可求出 k 的值 y k x 从而可确定反比例函数的解析式 5 反比例关系 与 反比例函数 的区别与联系 我们在小学里学过反比例关系 如果 xy k k 为常数 且 k 0 则 x 与 y 这两个 量成反比例关系 这里的 x y 既可代表单独的字母 也可表示其他代数式 比如 y 3 与 x 11 成反比例 则 但不能说是反比例函数 又如 y 与 x2成反比例 则y k x 3 11 但同样不能说 y 是 x 的反比例函数 成反比例的关系式 不一定是反比例函数 y k x 2 但反比例函数中的两个变量一定成反比例关系 6 反比例函数图像的画法 用心 爱心 专心 反比例函数的画法与一次函数类似 步骤为列表 描点 连线 列表时 因为反比例函数的自变量的取值范围是 x 0 故在画反比例函数的图像时 为了使描出的点具有代表性 x 应该取一部分正数 取一部分负数 一般是正数 负数各 取一半 并且互为相反数 这样既可简化运算 又便于描点 描点时 要尽量多取一些数值 多描一些点 这样方便连线 连线时 所连的线必须 是 光滑的曲线 比如 画反比例函数的图像 y x 6 列表 x 6 5 4 3 2 1123456 y x 6 1 1 2 1 5 2 3 66321 51 21 描点 连线 7 反比例函数的性质 反比例函数 y k x kykxxyk 或 0 1 图像 双曲线 性质 1 k 0 时 函数图像的两个分支分别在第一 三象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 2 k 0 时 函数图像的两个分支分别在第二 四象限 在每个象限内 y 随 x 的增大而增大 典型例题典型例题 例 1 已知反比例函数 当时 y 随 x 的增大而增大 求函数关系yax a 2 2 6 x 0 式 用心 爱心 专心 分析 分析 根据反比例函数的定义性质来解此题 解 解 是反比例函数 yax a 2 2 6 a a 2 61 20 当时 即在第一或第四象限内 y 随 x 的增大而增大 x 0 所以a a a a a a 20 61 20 5 2 5 2 即当时 y 随 x 的增大而增大 a 5 方法点拨 方法点拨 函数是反比例函数 则是反比例函数 ykx m mky k x m 10 若 则 mk 10 例 2 反比例函数在第一象限内的图像如图所示 P 为该图像上任意一点 y k x k 0 PQ 垂直于 x 轴 垂足为 Q 设 POQ 的面积为 S 那么 S 的值与 k 的值是否存在关系 若有关系 请写出 S 与 k 之间的关系式 若没有关系 请说明理由 分析 分析 因为 若设 P 点坐标为 P x y 则SOQPQ POQ 1 2 又因为 P 点在第一象限 所以 因此可以得到OQxPQy xy 00 xy 而由可以得到 xy k 于是可以确定 S 与 k 的关系式 S POQ 1 2 y k x 解 解 S 与 k 之间的关系式为Sk 1 2 设 P 点的坐标为 P x y 则 OQxPQy 点 P 在第一象限内 xy 00 OQ x PQ y SOQPQxy POQ 1 2 1 2 又 xykSk POQ 1 2 例 3 如图 过原点 O 作一直线与双曲线交于 P Q 过 P Q 分别做 x 轴 y 轴y x 5 的垂线 交于 B 点 求三角形 PQB 的面积 用心 爱心 专心 分析 分析 点 P 在双曲线上 则 P 点坐标适合函数 P Q 关于原点 O 对称 所以y x 5 OP OQ 且 OA 是 PBQ 的中位线 解 解 设 P 点坐标为 a b 则b a 5 abOAAP 55 即 又 P Q 关于原点 O 对称 OP OQ 又 BQ x 轴 所以 OA 是 BPQ 的中位线 BQ 2OA 2a 同理可求 PB 2b SPBBQabab PBQ 1 2 1 2 22210 例 4 已知反比例函数与一次函数的图像都经过点 2 1 且y m x ykxb 在 x 3 时两函数值相等 求这两个函数的解析式 分析 分析 确定反比例函数解析式 只需知道一个点坐标 而确定一次函数解析式 则需 两点坐标 解 解 由题意知点 2 1 在反比例函数图像上y m x 则m 212 所以反比例函数解析式为y x 2 又因为在 x 3 时 函数值为y x 22 3 根据 x 3 时 两函数值相等 可知 x 3 时 满足一次函数y 2 3 ykxb 并且点 2 1 在一次函数图像上ykxb 则 2 3 3 12 kb kb 用心 爱心 专心 解得 k b 1 3 1 3 所以 一次函数解析式为yx 1 3 1 3 例 5 2003 海南 如图所示 已知反比例函数的图像与一次函数y x 12 的图像相交于 P Q 两点 并且 P 点的纵坐标是 6 ykx 4 1 求这个一次函数的解析式 2 求 POQ 的面积 分析 分析 由已知条件 P 点的纵坐标是 6 而点 P 在反比例函数上 可以求得 P 点y x 12 的横坐标为 x 2 即 P 点坐标为 2 6 又 P 点也在一次函数上 把点 2 6 代入即可求出一次函数的解析式 ykx 4 POQ 的面积可以分成 PON 与 QON 两部分 这两部分的面积能通过 P Q 两点的坐 标得到 解 解 1 点 P 在反比例函数的图像上 且其纵坐标为 6 y x 12 12 6 x 解得x 2 P 2 6 又 点 P 在函数的图像上 ykx 4 624 k 解得 k 1 所求一次函数的解析式为 y x 4 2 解方程组 yx y x x y x y 4 12 6 2 2 6 1 1 2 2 得 点 Q 的坐标为 6 2 令 代入 解得y 0yx 4x 4 函数的图像与 x 轴的交点是 N 4 0 yx 4 PON 和 QON 的公共边 ON 4 ON 边上的高分别为 PA 6 QB 2 用心 爱心 专心 SSS POQPONQON 1 2 46 1 2 4216 技巧点拨 技巧点拨 本题涉及一次函数及反比例函数的图像 识别图形的形状位置及交点是挖 掘此类题目隐含条件的关键 例 6 如图所示 一次函数 y kx b 的图像与反比例函数的图像交于 A B 两点 y m x 1 利用图中条件 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图像写出使一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 分析 分析 要求反比例解析式 须知它图像上一点的坐标即可 而要求一次函数的图像 须知道一次函数图像上的两点即可 点 A B 在一次函数图像上 点 B 点 A 又都在反比例 图像上 故可先求出 m n 的值 得 A B 点坐标 由图像可看出 在第二象限内 当时 一次函数的图像在反比例函数上方 即x 2 一次函数的值大于反比例函数的值 当时 一次函数的值小于反比例函数的值 20 x 同理可讨论第四象限内的情况 解 解 1 由图像可知 点 A 在反比例函数的图像上 把Ay m x m m 211 2 2 代入 得 反比例函数的解析式为 y x 2 又点 B 1 n 在反比例函数的图像上 把点 B 1 n 代入y x n 2 2 得 点 B 的坐标为 1 2 把点 A 2 1 B 1 2 代入一次函数 得ykxb 21 2 1 1 kb kb k b 一次函数的解析式为 yx 1 2 根据图像可知 当一次函数的图像在反比例函数的图像上方时 一次函数的值大 于反比例函数的值 当时 一次函数的值大于反比例函数的值 xx 201或 发散点 发散点 函数解析式与图像的应用是中考考查的重点内容 利用图像解答问题是考查 分析问题 观察问题的能力的有效题型 而采用数形结合是解答此类问题的关键 例 7 选择题 用心 爱心 专心 若 ab 0 则函数在同一平面直角坐标系中的图像大致是图中的 yaxy b x 与 分析 分析 A b 0 a 0 B a 0 b 0 C 排除 D a 0 b 0 选 B 如图所示 在同一坐标系中 正比例函数与反比例函数的图ymx 1y m x 4 像的大体位置不可能是 分析 分析 观察图像 y m x 4 A B 中 m 0 而 m 1 不明确是大于 0 还是小于 0 排除 A B C D 中 m 0 则 m 1 0 选 C 函数在同一坐标系中的图像大致是 yk xkky k x k 111 2 2 00 与 A B C D 分析 分析 由知应在 C D 中选 k20 又 k1 0 应选 D 例 8 已知成正比例 y2与 x 成反比例 若时 yyyyx 32 121 2 且 与x 1 用心 爱心 专心 y 1 x 2 时 y 2 求当 x 3 时 y 的值 分析 分析 因为成正比例 y2与 x 成反比例 可设 所以yx 1 2 与yk xy k x 11 2 2 2 然后将 x 与 y 的对应值代入即可求得 k1 k2的值 从而得 y 与 x 的函yk x k x 3 2 1 22 数表达式 利用所求的函数表达式进而可求出当 x 3 时对应的 y 值 解 解 设 yk xy k x 11 2 2 2 yyy yk x k x 32 3 2 12 1 22 分别将 x y 的对应值代入函数式中得 132 212 12 12 kk kk 解这个方程组得 k k 1 2 1 7 2 7 函数 y 与 x 的关系式为 yx x 3 7 4 7 2 当 x 3 时 y 3 7 3 4 73 85 21 2 说明 说明 1 用待定系数法求函数关系式是常用的重要方法 一定要掌握好 2 本 题 y1与 x2之间的正比例系数和 y2与 x 之间的反比例系数不一定相等 应分别设为 k1 k2 若只用一个比例系数 k 把函数关系式设为 那是错误的 这一点ykx k x 3 2 2 要特别引起注意 例 9 2000 年北京市西城区 已知 反比例函数和一次函数 y mx n 的图像y k x 的一个交点为 A 3 4 且一次函数的图像与 x 轴的交点到原点的距离为 5 分别确 定反比例函数与一次函数的解析式 分析 分析 理解一次函数的图像与 x 轴交点到原点的距离为 5 可知此点坐标为 5 0 或 5 0 又因为反比例函数与一次函数相交 可判断 A 点坐标的y k x ymxn 确切值 解 解 由的图像过 3 4 y k x 得4 3 12 k k 所以y x 12 用心 爱心 专心 又 43 05 1 2 5 2 mn mn m n 解得 所以一次函数解析式为yx 1 2 5 2 例 10 已知一次函数的图像经过点 A 0 1 和点 B a 3a a 0 且ykxb 点 B 在反比例函数的图像上 y x 3 1 求 a 的值 2 求一次函数的解析式 3 利用函数的图像 求当这个一次函数 y 的值在范围内 相应的 x 值的 13y 取值范围 4 如果是这个一次函数图像上的两点 试比较P myQ my 12 1 的大小 yy 12 与 解 解 1 因为点 B a 3a 在上 则a 1 y x 3 3 3 1 2 a a a 又 a 0 所以 a 1 2 因为直线 y kx b 过点 0 1 和 1 3 所以 b kb k b 1 3 2 1 解得 故 y 2x 1 3 因为 y 2x 1 是减函数 当 y 1 时 x 1 当 y 3 时 x 1 所以相应的 x 值为 11 x 4 因为 mmyy 1 12 所以 例 11 2003 年四川省 如图所示 已知一次函数的图像与反比例函数ykxb 的图像交于 A B 两点 且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是 2 y x 8 求 1 一次函数的解析式 2 AOB 的面积 解 解 1 因为 A 点横坐标为 2 则纵坐标为 4 B 点纵坐标为 2 则横坐标为 4 所以 A 2 4 B 4 2 由 42 24 1 2 kb kb k b 解得 用心 爱心 专心 故一次函数解析式为 yx 2 2 设直线交 x 轴于 C 交 y 轴于 D yx 2 则 C 2 0 D 0 2 所以SSSS AOBAOCCODBOD 1 2 22 1 2 22 1 2 22 6 故 AOB 的面积为 6 例 12 已知 如图所示 正方形 OABC 的面积为 9 点 O 为坐标原点 点 A 在 x 轴上 点 C 在 y 轴上 点 B 在函数的图像上 点 P m n 是函数y k x kx 00 上的任意一点 过 P 作 x 轴 y 轴的垂线 垂足分别为 E F 并设矩形 OEPF 和正y k x 方形 OABC 不重合的部分面积为 S 1 求 B 点的坐标和 k 的值 2 当时 求点 P 的坐标 S 9 2 3 写出 S 关于 m 的函数关系式 解 解 1 依题意 设 B 点坐标为 xy 00 所以Sx yxy OABC正方形 0000 93 即 Bx ykk 339 00 所以 2 P m n 在上 y x 9 所以Smn OEP F矩形 1 9 Sn OAGF矩形 3 由已知可得Sn 93 9 2 解得nmP 3 2 66 3 2 1 所以 如图 a 所示 同理可求得P2 3 2 6 用心 爱心 专心 3 如图 b 所示 当时 03 m 因为点 P 坐标为 m n 所以Sm OEGC矩形 3 SSS OEPFOEGC 矩形矩形 所以Smm 9303 如图 c 所示 当时 因为 P 点坐标为 m n m 3 所以 Snmnn m OAGP矩形 39 9 所以Sn m 939 27 例 13 2003 年泰州市 如图所示 点 P 是 x 轴正半轴的一个动点 过点 P 作 x 轴的垂 线 PA 交双曲线于点 A 连结 OA y x 1 1 如图 当点 P 在 x 轴的正方向上运动时 Rt AOP 的面积大小是否变化 若 不变 请求出 Rt AOP 的面积 若改变 试说明理由 2 如图 在 x 轴的点 P 的右侧有一点 D 过点 D 作 x 轴的垂线交双曲线于点 B 连结 BO 交 AP 于点 C 设 AOP 的面积是 S1 梯形 BCPD 的面积为 S2 则 S1与 S2的 大小关系是 S1 S2 填 或 3 如图 AO 的延长线与双曲线的另一个交点为 F FH 垂直于 x 轴 垂y x 1 足为点 H 连结 AH PF 试证明四边形 APFH 的面积为一个常数 分析 分析 由图形观察 点 A 的横坐标等于 OP 的长 纵坐标等于 AP 的长 而 所以它的大小是一定值 在 2 中由于SOPAPxy AOP 1 2 1 2 1 2 所以 在图 3 中易知四边形 APFH 是一SSSS AOPBODBCPDBOD 梯 SS 12 平行四边形 故可知其面积为 S AOP的 4 倍 为一常数 用心 爱心 专心 解答 解答 1 设 A 点坐标为 x y 则 xy 1 SOPAP RtAOP 1 2 y x 1 所以 故当 P 在 x 轴的正方向上运动时 Rt AOP 的面积不变 总等Sxy AOP 1 2 1 2 于 1 2 2 由 1 知SSSSSS AOPBODBCPDBOD 梯 而 所以 12 3 因为 A F 关于 O 中心对称 FH x 轴 易知 AOP FOH 得 OP OH 所 以四边形 APFH 是平行四边形 其面积为 S AOP的 4 倍 即为 2 故四边形 APFH 的面积 为一常数 模拟试题模拟试题 一 填空 1 已知 y 与成正比例 且当 x 1 时 y 2 那么当 x 0 时 y 21x 2 已知函数在每个象限内 y 随 x 的减小而减小 则 k 的取值范围是y k x 36 3 已知正比例函数 y 随 x 的增大而减小 那么反比例函数 当ykx k 0y k x 时 y 随 x 的增大而 x 0 4 若反比例函数的图像在第一 三象限 则函数的解析式为ymx m 21 2 2 5 已知 2y 与成反比例 且当 x 1 时 y 8 那么当 x 5 时 y 31x 6 写出一个反比例函数 使它的图像在第一 三象限 这个函数解析式是 7 反比例函数图像经过点 那么 k 0 y k x aa 2 8 反比例函数在 x 2 处自变量增加 1 函数值相应地减少了 则y k x 2 3 k 9 已知反比例函数 当时 y 随 x 增大而 ykx k 1 2 x 0 10 已知函数 当 k 时 它的图像是双曲线 ykx kk 21 1 2 二 选择题 1 下列说法中 反比例函数的图像是轴对称图形 且有两条对称轴 y k x 反比例函数 当时 y 随 x 的增大而增大 y k x k 0 若 y 与 z 成反比例 z 与 x 成反比例 则 y 与 x 也成反比例 已知 则 y 是 x 的反比例函数 xy 1 正确的个数有 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 用心 爱心 专心 2 反比例函数的图像的两个分支分别位于 y k x k 2 0 A 第一 二象限B 第一 三象限 C 第二 四象限D 第一 四象限 3 若 则下列函数 m 1y m x x 0ymx 1ymx 中 y 随 x 的增大而增大的函数有 ymx 1 A 1 个B 2 个 C 3 个D 4 个 4 如果正比例函数的图像经过第二 四象限 那么对于反比例函数 下ykx y k x 列说法正确的是 A 它的图像在第二 四象限 且在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大 B 它的图像在第二 四象限 且在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小 C 它的图像在第一 三象限 且在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大 D 它的图像在第一 三象限 且在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小 5 如图 1 所示 P 是反比例函数的图像上的一点 过 P 点分别向 x 轴 y 轴作垂y k x 线 所得到的图中阴影部分的面积为 6 则这个反比例函数的解析式为 图 1 A B y x 6 y x 6 C D y x 3 y x 4 6 如图 2 所示 正比例函数与反比例函数的图像相交于 A B 两ykx k 0y x 1 点 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于 C 连接 B C 若 ABC 的面积记为 S 则 图 2 A S 1B S 2 C S 3D 不能确定 7 在函数 a 为常数 的图像上有三点 y a x 2 1 3 1 y 1 2 y 用心 爱心 专心 则函数值的大小关系是 2 3 yyyy 123 A B yyy 231 yyy 321 C D yyy 123 yyy 312 8 已知函数的图像经过点 2 3 那么下列各点在函数的图像y k x ykx 2 上的是 A A 4 1 B B 1 2 1 C D C 3 2 11 D 321 9 已知一次函数中 y 随 x 的增大而减小 那么反比例函数 ykx 2y k x A 当时 x 0y 0 B 图像在第一 三象限 C 图像在第二 四象限 D 在每个象限内 y 随 x 的增大而减小 10 已知反比例函数中 当时 y 随 x 的增大而增大 那么一次函数y k x k 0 x 0 的图像经过 ykxk A 第一 二 三象限B 第一 二 四象限 C 第一 三 四象限D 第二 三 四象限 11 如图 3 所示 当时 反比例函数与一次函数的图像在同k 0y k x 3 yk x 2