等腰三角形 要点全析

等腰三角形等腰三角形 要点全析要点全析 1 1 等腰三角形 等腰三角形 isoscelesisosceles triangletriangle 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 如图 14 3 1 ABC中 AB AC 则 ABC是等腰三角形 相等的两条边叫腰 另一条边BC叫底边 两 腰所夹的角叫顶角 如 BAC 底边和腰的夹角 ABC和 ACB叫底角 如图 14 3 2 中 C 90 AC BC 那么 AC BC为腰 AB边为底 A B为底角 C为顶角 说明说明 要理解等腰三角形的定义 需注意以下几点 1 等腰三角形的底不一定在下方 而顶角不一定在上方 如图 14 3 2 中 AB为底 C为顶角 它是根据两腰的位置来确定的 2 等腰三角形的三边仍要满足条件 任意两边之和大于第三边 或任意 两边之差小于第三边 若图 14 3 1 中 AB AC m BC a 则 2m a 即m 2 a 时 才能构成三角形 否则不成立 如边长分别为 2 2 5 的三条线段不能构 成三角形 因为 2 2 5 例如 例如 1 下列各组数据为边长时 能否组成三角形 a 2 b 3 c 5 a 4 b 3 c 2 a 1 b 2 c 2 a 2 005 b 2 004 c 2 008 2 已知等腰三角形的两边为 6 cm 7 cm 求其周长 3 已知等腰三角形的两边长为 2 cm 7 cm 求其周长 解 解 1 由于 2 3 5 即a b c 而不满足a b c 不能组 成三角形 由于 2 3 5 4 即b c a 所以a b c可以组成三角形 由于 1 2 2 即a b c 所以a b c可以组成三角形 由于a b c 因此a b c可以组成三角形 2 因等腰三角形的两边长分别为 6 cm 7 cm 当腰长为 6 cm 时 周长为 6 6 7 19 cm 当腰长为 7 cm 时 周长为 6 7 7 20 cm 等腰三角形的周长为 19 cm 或 20 cm 3 因等腰三角形的两边长分别为 2 cm 7 cm 所以腰长为 7 cm 而不 能是 2 cm 若为 2 cm 则 2 2 4 7 不能组成三角形 因此周长为 7 7 2 16 cm 等腰三角形的周长为 16 cm 2 2 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 1 1 等腰三角形的两个底角相等 简写成 等边对等角 如图 14 3 3 ABC中 AB AC 则 B C 证法一 证法一 利用轴对称 过点A作 ABC的对称轴AD AB AC 点A在BC的垂直平分线上 又 AD为 ABC的对称轴 ABD ACD 轴对称性质 B C 证法二 证法二 作顶角平分线 过点A作AD平分 BAC交BC于D 如图 14 3 3 在 ABD和 ACD中 ADAD CADBAD ACAB ABD ACD SAS B C 说明说明 还可以作底边BC的中线和高来证明 证法三 证法三 如图 14 3 4 过B C分别作AC AB边上的高BD CE 在 ABD和 ACE中 公共角 90AECADB AA ACAB ABD ACE AAS BD CE 在 Rt BCD和 Rt CBE中 CEBD CBBC Rt BCD Rt CBE HL B C 证法四 证法四 如图 14 3 5 分别取AB AC的中点E D 连接BD CE AB AC AD DC 2 1 AC AE BE 2 1 AB AD BE AE DC 在 ABD 和 ACE 中 AEAD AA ACAB ABD ACE SAS BD CE 在 BCE 和 CBD 中 CDBE BDCE CBBC BCE CBD SSS ABC ACB 说明说明 从以上的证法二 三 四中可以看出 要证两角相等 都是想方设法把它们 放在两个三角形中 证两个三角形全等 3 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 2 简称 简称 三线合一三线合一 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线 底边上的高线相互重合 如图 14 3 6 在 ABC 中 AB AC AD 为顶角的平分线 那么 AD 既是中线 又是 高线 这三条线重合 在使用时 在这三条线段中 只要作出其中一条 另外两条也就可 以认为作出来了 即 ABC 中 AB AC 若 AD 平分 BAC 则 AD BC BD CD 若 BD CD 则 AD BC BAD CAD 若 AD BC 则 BD DC BAD CAD 因此 等腰三角形中的这条线非常重要 一旦作出 边 角的等量关系就都有了 说明说明 1 三线合一 仅限于等腰三角形中才有 其他三角形中没有 2 在一般三角形中 这三条线是不会重合的 如图 14 3 7 在 ABC 中 AD 为高 AE 为中线 AF 平分 BAC 因此 这三条线不 重合 只有等腰时 三条线才会重合 反过来 若某一三角形中三线重合 则该三角形为 等腰三角形 3 在今后的证明题中 经常会使用 三线合一 进行证明 例如 例如 ABC 中 AB AC BD AC 交 AC 于 D 如图 14 3 8 求证 BAC 2 DBC 证法一证法一 在 BCD 中 BD AC BDC 90 DBC 90 C 在 ABC 中 AB AC ABC ACB BAC 180 ABC ACB 180 2 ACB 2 90 C BAC 2 DBC 证法二 证法二 借助于三线合一的性质 过 A 作 AM BC 于 M 则 AM 平分 BAC BAC 2 BAM 2 CAM 又 BD AC 交 AC 于 D AM BC 交 BC 于 M DBC 90 C 又 AM BC CAM 90 C DBC CAM 4 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 3 轴对称性 轴对称性 等腰三角形是轴对称图形 底边上的中线 顶角平分线 底边上的高 所在的直线就 是它的对称轴 如图 14 3 9 ABC 中 AB AC AD 平分 BAC 则 ABC 的对称轴为 AD 所在的 直线 ABD ACD 过 D 作 DE AB 交 AB 于 E 作 DF AC 交 AC 于 F 由 ABD ACD 可知 DE DF 同理 过 D 分别作 AB AC 边上的中线和角平分线 它们都相等 因此 得到等腰三 角形的一个重要结论 重要结论 重要结论 过等腰三角形底边的中点向两腰所作的高线 中线以及角平分线 其与两 腰所截得的线段都分别对应相等 5 等腰三角形的性质 等腰三角形的性质 4 两腰上的对应线段相等 两腰上的对应线段相等 等腰三角形两腰上的中线 高线和两底角平分线对应相等 例如 例如 如图 14 3 10 ABC 中 AB AC 若 BD CE 分别为 AC AB 边上的高线 则 BD CE 证明 证明 AB AC ABC ACB 等边对等角 又 BD AC CE AB BDC CEB 90 在 BCD 和 CBE 中 CBBC CEBBDC CBEBCD BCD CBE AAS BD CE 或 S ABC 2 1 AB CE 2 1 AC BD AB AC BD CE 此法较为简便 同样道理 可分别作出两腰上的中线 两底角的平分线 它们也分别对应相等 6 等腰三角形的判定定理 等角对等边 等腰三角形的判定定理 等角对等边 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角所对的边也相等 简写成 等角对等边 例如 例如 如图 14 3 11 ABC 中 若 B C 则 AB AC 证明 证明 过点 A 作 AD 平分 BAC 交 BC 于点 D 则 BAD CAD 在 ABD 和 ACD 中 ABD ACD AAS AB AC 因此 这一结论可直接利用 说明说明 1 在使用 等边对等角 或 等角对等边 时 一定要注意是在同一个三 角形中才有这一对应关系 不在同一三角形中的边 角没有这一对应关系 2 有了这一结论 为今后证明线段相等又添了一种重要的解题途径 例如 例如 如图 14 3 12 ABC 中 AB AC BD CE 相交于 O 点 且 BE CD 求证 OB OC 证明 证明 AB AC ABC ACB 等边对等角 在 BCE 和 CBD 中 CBBC DCBEBC CDBE BCE CBD SAS BCE CBD 即 OBC BCO OB OC 等角对等边 说明说明 证两条线段相等 若这两条线段在同一个三角形中 可利用等腰三角形的判 定定理来证明 7 已知底边和底边上的高 求作等腰三角形 已知底边和底边上的高 求作等腰三角形 已知线段 a b 求作等腰三角形 ABC 使底边 BC a 高为 b 作法 1 作线段 BC a 2 作线段 BC 的垂直平分线 MN 与 BC 交于点 D 3 在 MN 上截取 AD b 4 连接 AB AC ABC 就是所求的等腰三角形 说明说明 1 由作法知 MN 为 BC 的垂直平分线 AB AC ABC 为等腰三角形 如图 14 3 13 2 以前所作的三角形分别为 已知三边 两边夹角 两角夹边和已知斜边 直角边 求作三角形 今天又学习了已知底边和底边上的高求作等腰三角形 共有五种情况 今后 还将学习一些更为复杂的作法 都是以这五种为基础进行作图的 8 等边三角形 等边三角形 equilateral triangle 1 定义 三条边都相等的三角形 叫等边三角形 如图 14 3 14 ABC 中 AB BC CA 则 ABC 为等边三角形 2 性质 等边三角形的三个内角都相等 并且每一个角都等于 60 如图 14 3 14 中 若 ABC 为等边三角形 则 A B C 60 除此之外 还具有等腰三角形的一切性质 如三线合一 轴对称等 3 判定 三个角都相等的三角形是等边三角形 有一个角是 60 的等腰三角形是等边三角形 下面证明以上两条判定 判定 如图 14 3 15 已知 ABC 中 A B C 求证 ABC 是等边三角 形 证明 证明 B C AB AC 又 A B AC BC AB AC BC ABC 是等边三角形 判定 如图 14 3 15 已知 ABC 中 AB AC B 60 求证 ABC 是等边 三角形 证明 证明 AB AC B C 又 B 60 B C 60 又 A B C 180 A 180 B C 60 A B C AB BC AC ABC 为等边三角形 4 应用 例如 例如 如图 14 3 16 ABC 为等边三角形 D E 为直线 BC 上的两点 且 BD BC CE 求 DAE 的度数 分析 分析 要求 DAE 的度数 需分开求 先求 BAC 再求 DAB 和 CAE 由 ABC 为等边三角形知 BAC 60 又 BD BC 而 BC BA 则 BD BA ABD 为 等腰三角形 D DAB 2 1 ABC 30 同理可知 CAE 30 解解 ABC 为等边三角形 AB BC AC BAC ABC ACB 60 又 BD BC BD BC AB DAB D 又 ABC D DAB ABC 2 DAB 60 DAB 30 同理 CAE 30 DAE DAB BAC CAE 30 60 30 120 说明说明 本题中用到了等边三角形的性质 再如 再如 如图 14 3 17 已知 ABC 为等边三角形 D E F 分别为 ABC 三边上的点 且 BD CE AF 直线 AD BE CF 两两相交于点 R Q P 求证 PQR 是等边三角形 分析 分析 本题既用到了等边三角形的性质 又用到了其判定 要证 PQR 为等边三角形 证三边相等难度较大 可考虑证其三角相等 也可先证 PQR 60 而 PQR ACQ QAC 又因为 ACQ BCF 60 只需证 BCF DAC 由此 可联想证 BCF 与 CAD 全等 证明 证明 ABC 为等边三角形 BAC ABC BCA 60 AB BC CA 又 BD CE AF BF DC AE 在 ABE 和 BCF 和 CAD 中 CDBFAE DCAFBCBAE CABCAB ABE BCF CAD SAS ABE BCF CAD ACQ BCF 60 ACQ CAQ 60 AQF ACQ CAQ 60 即 PQR 60 同理 RPQ PRQ 60 PQR 为等边三角形 说明说明 1 此题证明思路比较清晰 只是步骤书写较繁 书写应认真 2 在证明过程中用到了三个三角形全等的连等形式 可仿照两个三角形全等的方式 使用 9 含 含 30 角的直角三角形的性质角的直角三角形的性质 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的一半 如图 14 3 18 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 则 BC 2 1 AB 这一性质反 过来也成立 即在 Rt ABC 中 C 90 若 BC 2 1 AB 则 A 30 因此 Rt ABC 中 C 90 A 30 BC 2 1 AB 这一性质在解题中经常用到 例如 例如 如图 14 3 19 在 Rt ABC 中 BAC 为直角 高 AD 交 BC 于 D B 30 BC 12 米 求 CD BD 的长 解 解 在 Rt ABC 中 BAC 90 B 30 C 60 BC 2AC AC 2 1 BC 6 米 在 Rt ACD 中 AD BC C 60 CAD 30 DC 2 1 AC 2 1 6 3 米 BD BC DC 9 6 12 3 9 米 说明说明 在本题中两次用到直角三角形的这一性质 并且用的方式都一样 10 证明线段相等的方法 证明线段相等的方法 到目前为止 学过的证明线段相等的方法 有以下几种 1 全等三角形的对应边相等 在两个三角形中 2 等角对等边 在一个三角形中 3 轴对称的性质 在某条直线的两侧 4 角平分线的性质 在角的平分线上的两条线段 5 中点的概念 在一条直线上 6 利用第三条等量线段 7 作辅助线 创造条件 例如 例如 如图 14 3 20 点 D E 在 BC 上 AB AC AD AE 求证 BD CE 分析 分析 因 BD 与 CE 在一条直线上 且又在两个三角形中 可考虑证两个三角形全等 或用中点的概念进行证明 也可用轴对称的性质进行证明 证法一 证法一 用全等三角形 AB AC B C 又 AD AE ADF AEF 又 ADF B BAD AEF C CAE BAD CAE 在 ABD 和 ACE 中 AB AC BAD CAE AD AE ABD ACE SAS BD CE 证法二证法二 用中线 如图 14 3 20 过 A 点作 AF BC 于 F AB AC AF BC BF CF 三线合一 又 AD AE AF DE DF EF 三线合一 BF DF CF EF BD CE 证法三 证法三 用轴对称 过 A 作 BC 边上的垂线 垂足为 F AB AC AF BC ABC 关于直线 AF 对称 BF CF 同理 DF EF BF DF CF EF 即 BD CE 说明说明 从以上的证明可以看出 一个结论有多种证明途径和证明方法 11 证明角相等的方法 证明角相等的方法 到目前为止 学过的证明角相等的方法 有以下几种 1 角平分线的定义及性质 2 全等三角形的对应角相等 在两个三角形中 3 等边对等角 在一个三角形中 4 轴对称的性质 5 找第三等量角 如 A C B C 则 A B 6 作辅助线 创造条件 例如 例如 如图 14 3 21 ABC 中 AB AC 1 2 求证 BAD CAD 分析 分析 要证 BAD CAD 因两角在两个三角形中 可考虑选用全等三角形和角平 分线 以及轴对称进行证明 证法一 证法一 用全等三角形 1 2 DB DC 在 ABD 和 ACD 中 AB AC DB DC AD AD ABD ACD SSS BAD CAD 证法二 证法二 用轴对称 1 2 DB DC 点 D 在 BC 的垂直平分线上 又 AB AC A 点也在 BC 的垂直平分线上 ABD 与 ACD 关于直线 AD 对称 BAD CAD 轴对称的性质 证法三 证法三 用角平分线 1 2 DB DC 又 AB AC 点 A D 都在 BC 的垂直平分线上 AD 也为 BAC 的平分线 三线合一 BAD CAD 例如 例如 如图 14 3 22 ABC 中 AD 平分 BAC AD 的垂直平分线交 AD 于 E 交 BC 的延长线于 F 求证 B CAF 分析 分析 要证 B CAF 根据全等三角形和等腰三角形已不可能 角平分线也用不上 可考虑用第三等量角 证明 证明 EF 垂直平分 AD FA FD 1 3 4 又 ADC 为 ABD 的外角 1 B 2 B 2 3 4 又 2 3 B 4 即 B CAF 12 三角形中的不等关系 三角形中的不等关系 1 大边对大角 在一个三角形中 如果两条边不等 那么这两条边所对的角也不等 并且较大的边所 对的角也较大 简称 大边对大角 如图 14 3 23 在 ABC 中 若 AB AC 则 C B 2 大角对大边 在一个三角形中 如果两个角不等 那么这两个角所对的边也不等 并且较大的角所 对的边较大 简称 大角对大边 如图 14 3 23 在 ABC 中 若 C B 则 AB AC 说明说明 1 上述两个定理的使用条件是在一个三角形中 否则不成立 2 上述不等关系具有传递性 即 ABC 中的三边分别为 a b c 若 a b b c 则 a c 同样所对的角也如此 若 ABC 中 A B B C 则 A C 例如 例如 判断下列说法是否正确 为什么 1 在一个三角形中 若最长边所对的角为锐角 则此三角形为锐角三角形 2 直角三角形中 斜边最长 3 钝角三角形中 钝角所对的边不一定是最长边 分析 分析 此题目的在于考查三角形中边 角不等关系的灵活应用情况 解 解 1 正确 因最长边对的角是最大角 而最大角是锐角 那么这个三角形一定是 锐角三角形 2 正确 因为直角三角形中 直角最大 那么斜边应是最长的 3 不正确 因为钝角三角形中 钝角最大 它所对的边应该最大 所以 上述说法 不正确 再如 再如 已知 ABC 中 AB AC AD 为 BC 边上的中线 求证 BAD CAD 分析 分析 要比较两个角的大小 需将其放入同一个三角形中 如何放入一个三角形中 通常采用平移法 延长 AD 至 E 使 DE AD 连接 BE 则 BDE CDA 有 E CAD BE AC 在 ABE 中 AB BE 则