2016高考数学总复习课时作业堂堂清立体几何.ppt

第五节空间的角 1 异面直线所成的角 在空间取一点O 过O点分别作两异面直线的线所成的叫做两条异面直线所成的角 其取值范围为 作法 1 平移法 2 向量法 转化为两直线的方向向量的夹角 或其补角 平行 锐角或直角 温馨提示 用向量法求异面直线所成的角时 要特别注意异面直线所成角的范围 0 90 与两向量夹角的范围 0 180 的区别 2 直线和平面所成的角 如果直线平行平面或在平面内 则它和平面所成的角的大小为 如果直线垂直于平面 则它和平面所成的角的大小为 如果直线是平面的斜线 则它和它在平面内的所成的角 称之为直线和平面所成的角 因此 直线和平面所成角的范围是 0 射影 锐 作法 1 几何法 引垂线 找垂足 连结垂足 斜足得射影 2 向量法 转化为直线的方向向量与平面法向量夹角 或其补角 的余角 3 二面角的平面角 从一条直线出发的两个组成的图形叫做二面角 以二面角的棱上一点为端点 在两个面内分别作两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是角的二面角叫做直二面角 半平面 任意 垂直于棱的 直 作二面角的平面角的常用方法有 1 定义法 根据定义 以棱上任一点为端点 则形成二面角的平面角 2 三垂线法 从二面角一个面内某个特殊点P 于是 PBA 或其补角 是二面角的平面角 分别在两 个面内作垂直于棱的两条射线 作另一个 面的垂线 过垂足A作二面角棱的垂线 垂足为B 连结PB 由三垂线定理得PB与棱垂直 3 垂面法 过二面角的棱上一点作平面 分别交两个面的交线 构成二面角的平面角 常用面积的射影定理来求二面角 即 S射 它的优点是不必作出二面角的平面角 4 向量法 两个半平面的方向向量的 即为二面角的平面角 两个半平面的法向量的为二面角的平面角 与棱垂直 Scos 夹角 夹角或其补角 注意 1 空间角的计算步骤 一找 作 二证 三计算 2 特别注意三种空间角的范围 1 把正方形ABCD沿对角线AC折起 当以A B C D四点为顶点的三棱锥体积最大时 直线BD和平面ABC所成的角的大小为 A 90 B 60 C 45 D 30 解析 当面DAC 面ABC时 体积最大 可求得此时BD与面ABC所成角为45 答案 C 2 如图1 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AB BC AA1 ABC 90 点E F分别是棱AB BB1的中点 则直线EF和BC1所成的角是 A 45 B 60 C 90 D 120 解法2 补成一个正方体 易知AB1与BC1成60 角 EF与BC1成60 角 答案 B 3 已知P为锐二面角 l 内一点 P到平面 及棱l的距离之比为则此二面角的度数为 A 30 B 45 C 60 D 75 解析 如图2 二面角的平面角为 AOB AOB AOP BOP 30 45 75 答案 D 4 如图3 已知AB为平面 的一条斜线 B为斜足 AO O为垂足 BC为 内的一条直线 ABC 60 OBC 45 则斜线AB和平面 所成的角为 答案 45 5 已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 1 求B1C1与平面AB1C所成角的正切值 2 求二面角B B1D C1的平面角的大小 解 1 设AB1 A1B O 如图4 BC B1C1 BC与面AB1C所成的角即为所求 ACB BCB1 BC在面AB1C上的射影在OC上 BCO即BC与面AB1C所成的角 tan BCO 异面直线所成的角 例1 正三棱柱ABC A1B1C1中 若AB BB1 求异面直线AB1与C1B所成角的大小 分析 求AB1与C1B所成的角 根据定义法平移直线化归为相交直线 构造三角形而获解 平移的手段一般是可用平移法 利用中位线平移或补体 也可用坐标法 解 解法1 如图5 连结B1C交C1B于O 取AC中点D 连结DO BD 则DO AB1 解法2 如图6 分别延长正三棱柱ABC A1B1C1三条侧棱A1A B1B C1C至A2 B2 C2 使A1A AA2 B1B BB2 C1C CC2 连结A2B2 B2C2 A2C2 则将原来的正三棱柱补成一个新的三棱柱 连结A2B A2C1 在矩形A1A2B2B1中 A2B AB1 A2BC1或其补角即为所求 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别为A1B1和BB1的中点 求直线AM与CN所成的角 直线与平面所成的角 例2 三棱锥P ABC中 侧面PAC与底面ABC垂直 PA PB PC 3 1 求证 AB BC 2 设AB BC 求AC与平面PBC所成角的大小 分析 既可利用几何法 射影转化法 也可用坐标法求直线和平面所成的角 解 1 证明 如图8 取AC中点D 连结PD BD PA PC PD AC 又已知平面PAC 平面ABC PD 平面ABC D为垂足 PA PB PC DA DB DC 故AC为 ABC的外接圆直径 AB BC 2 如图9 作CF PB于F 连结AF DF PBC PBA AF PB AF CF PB 平面AFC 平面AFC 平面PBC 交线是CF 直线AC在平面PBC内的射影为直线CF ACF为AC与平面PBC所成的角 如图10所示 ABCD是正四面体 E F分别是BC和AD的中点 求 1 AE与CF所成的角 2 CF与平面BCD所成的角 解 1 如图11 连结DE 取ED的中点K 连结FK CK F是AD的中点 AE FK 则 CFK 或其补角 为异面直线AE与CF所成的角 2 在正四面体ABCD中 因为各棱长都相等 E是BC的中点 所以BC AE BC DE BC 面AED 如图12所示 面ADE 面BCD 交线为DE 过A作AO DE于O 则AO 面BCD 二面角 例3 2009 山东高考 如图13所示 在直四棱柱ABCD A1B1C1D1中 底面ABCD为等腰梯形 AB CD AB 4 BC CD 2 AA1 2 E E1 F分别是棱AD AA1 AB的中点 1 证明 直线EE1 平面FCC1 2 求二面角B FC1 C的余弦值 分析 对于第 1 问 根据线面平行的判定定理 在平面FCC1中 找出和EE1平行的直线 也可以证明EE1所在的某个平面和平面FCC1平行 对于第 2 问 根据二面角的定义作出二面角的平面角 通过解三角形解决 也可以采用求出两个平面的法向量 根据两平面夹角的向量计算公式解决 解 1 证法1 如图14所示 取A1B1的中点F1 连接FF1 C1F1 由于FF1 BB1 CC1 所以F1 平面FCC1 因此平面FCC1即为平面C1CFF1 连接A1D F1C 由于A1F1綊D1C1綊CD 所以四边形A1DCF1为平行四边形 因此A1D F1C 又EE1 A1D 所以EE1 F1C 而EE1 平面FCC1 F1C 平面FCC1 故EE1 平面FCC1 证法2 因为F为AB的中点 CD 2 AB 4 AB CD 所以CD綊AF 因此四边形AFCD为平行四边形 所以AD FC 又CC1 DD1 AD DD1 D FC CC1 C FC 平面FCC1 CC1 平面FCC1 所以平面ADD1A1 平面FCC1 又EE1 平面ADD1A1 所以EE1 平面FCC1 拓展提升 本题以一个非常简单的直四棱柱为载体 考查空间线面平行的证明 二面角的计算及推理论证能力 运算求解能力和空间想象能力 试题的突出特点是所给出的空间几何体简单明了 这个空间几何体在经过平面FCC1切割后 得到一个底面为菱形的直四棱柱和一个正三棱柱 试题的设问就是在四棱柱中证明一对相对侧面中一个平面内的一条直线与另一个平面平行 在正三棱柱中求解一个以一个侧面对角线为棱的二面角的大小 试题的难度适中 能有效检测考生对立体几何基础知识的掌握程度和分析问题 解决问题的能力 是高考立体几何解答题的一道典型试题 如图16 已知直二面角 PQ A PQ B C CA CB BAP 45 直线CA和平面 所成的角为30 1 证明BC PQ 2 求二面角B AC P的大小 解 1 证明 在平面 内过点C作CO PQ于点O 连结OB 因为 PQ 所以CO 又因为CA CB 所以OA OB 而 BAO 45 所以 ABO 45 AOB 90 从而BO PQ 又CO PQ 所以PQ 平面OBC 因为BC 平面OBC 故PQ BC 2 由 1 知 OC OA OC OB OA OB 故可以O为原点 分别以直线OB OA OC为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图18 设n1 x y z 是平面ABC的一个法向量 1 空间角的计算方法都是转化为平面角来计算 1 两条异面直线所成的角 要以运动的观点运用 平移法 使之成为相交直线所成的角 要充分挖掘图形的性质 寻求平行关系 比如利用 中点 特性等 2 直线与平面所成的角是平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角 直线与平面垂直或平行包括直线在平面内时 成直角或0 角 我们往往在斜线上取一点向平面引垂线 以形成由平面的斜线 垂线及斜线在平面上的射影组成