七年级数学二元一次方程组和它的解；二元一次方程组的解法华东师大版知识精讲

七年级数学二元一次方程组和它的解 二元一次方程组的解法七年级数学二元一次方程组和它的解 二元一次方程组的解法华东华东 师大版师大版 本讲教育信息本讲教育信息 一 教学内容 二元一次方程组和它的解 二元一次方程组的解法 二 学习要求 了解二元一次方程 二元一次方程组 二元一次方程组的解的含义 并会检验二元一 次方程组的解 熟练掌握二元一次方程组的两种基本方法 即代入消元法和加减消元法 明确两种方 法的核心是 消元 将二元一次方程组转化为一元一次方程来解 通过本节的学习 达到能根据方程组的特点 灵活地选用适当的方法解较简单的二元 一次方程组的程度 三 知识内容 1 二元一次方程 二元一次方程组以及二元一次方程组的解的概念 2 二元一次方程组的两种解法 代入消元法和加减消元法 对于概念部分 我们首先要搞清什么是 元 以及什么是 次 这里 元 指的是未 知数 一元 就是一个未知数 一次 指的是未知数的最高次数是一次 另外还要注意 对二元一次方程的理解 除了含有两个未知数 并且未知项的最高次数都是 1 外 等号两 边的代数都是整式 用定义检验所给的方程是否为二元一次方程时 应先对所给的方程进 行整理变形 再根据定义进行判断 其次对于任何一个二元一次方程来说 它都有无数个 解 我们还要搞清二元一次方程组的概念 它是由几个一次方程组成并且含有两个未知数 的方程组 值得注意的是含有两个未知数是对方程组共含有的未知数的个数而言 至于每 一个方程中所含有的未知数的个数是多少并未强调 它可能是两个 也可能是一个 最后我们要对二元一次方程组的解有一个准确的理解 那就是说 二元一次方程组的 解必须同时满足方程组中的每一个方程 并且它也必须是一个数对 而不能是一个数 典型例题典型例题 例 1 下列各方程 哪些是二元一次方程 哪些不是 并说明理由 1 2 370 x xy 22 4 3 4 36xy 11 2 xy 5 6 261 2 yy x y 3 21 7 8 31mn 52 234 xyxy 解 解 由二元一次方程的定义易知这里只有 3 6 8 是二元一次方程 因为它们 含有两个未知数 并且未知项的次数都是 1 次 等号两边均为整式 而其余的均非二元一 次方程 1 只含一个未知数 2 中未知项均为二次 4 左边不是整式 5 中未 知项最高次是二次 7 中 mn 是二次 例 2 1 下列四组数中 是方程的解的是 410 xy A B x y 0 10 x y 35 4 C D x y 15 4 x y 1 6 2 一对数是否为方程的一个解 x y 2 5 3216xy 3 对于方程 用含 x 的代数式表示 y 应是 3890 xy A B yx 2472yx 3 8 9 8 C D yx 3 8 9 8 xy 8 3 3 解 解 1 关键是看哪一对 x y 的值代入方程中使左 右两边相等 经检验 符合 x y 1 6 故选 D 2 将代入方程左边 x y 2 5 322561016 右边 16 左边 右边 是方程的解 x y 2 5 3216xy 3 结果应是左边是 y 右边是含 x 的代数式 由已知方程移项 3890 xy 再将 y 的系数化为 1 即两边同乘以或除以 8 得 398xy 1 8 3 8 9 8 xy 应选 B 例 3 1 已知是关于 x y 的方程的解 求 a 的值 x y 3 5 axy 22 2 已知与都是关于 x y 的方程 的解 求 c x y 1 2 x yc 3 xyb b 0 的值 解 解 1 这一问实际上是例 2 第 2 的一个延伸 即将代入方程 x y 3 5 中得 由此得到一个关于 a 的一元一次方程 解此方程求出axy 223252a 即可得答案 a 4 2 先将代入方程 得 x y 1 2 12 b b3 方程此时变为xy 3 再将代入得 由此便可求出 x yc 3 33 cc 0 小结 小结 以上几道例题均为概念题 只要概念清楚 计算准确 就可以正确解出 例 4 用代入法解二元一次方程组 1 xy yx 8 3 2 37 528 xy xy 分析 分析 方程 既然组成一个方程组 那么这两个方程中同一个未知数就应取相同 的值 因此 方程 中的 y 可以代替方程 中的 y 从而得到一个关于 x 的一元一次方程 这样就完成了二元代一元的一个转化 进而先求出 再将代入 xx 38x 2x 2 或 2 求出 y 解 解 1 将 代入 得 xxx 3848 x2 将代入 得 x 2y 326 x y 2 6 分析 分析 在第一小题中可直接将 代入 消去 y 实现二元向一元的转化 而在这道 题中 不能直接将 代入 也不能直接将 代入 首先应用含 x 的代数式表示 y 或 用含 y 的代数式表示 x 之后再代入即可 解 解 2 由 1 得 yx 37 把 代入 得 52 378xx 1122x x2 再把代入 得 x 2y 3271 x y 2 1 另解 由 得 y x 85 2 把 代入 得 3 85 2 7x x 化简得 1122x x2 再将代入 得 x 2y 852 2 1 x y 2 1 小结 小结 要注意的几点 1 方程 由方程 变形而来 只能代入方程 否则求不出解 2 求出一个未知数值后代入变形后得到的方程中 去求另一个未知数的值较简便 3 求出 x y 值后 要进行必要的检验 以保证求解的正确性 以上为用代入消元法解二元一次方程组的例题 简称代入法 代入法解二元一次方程 组的一般步骤为 1 将方程组里的一个方程变形 用含有一个未知数的代数式表示另一个未知数 2 用这个代数式代替另一个方程中相应的未知数 使解二元一次方程组转化为解一元一 次方程 并求出一个未知数的值 3 把求得的这个未知数的值代入变形后的方程或原方程组里的任何一个方程 求得另一 个未知数的值 从而得到方程组的解 例 5 用加减法解方程组 1 859 3513 xy xy 2 325 5412 xy xy 3 15621 16912 xy xy 分析 分析 1 中的两个方程 y 的系数恰好互为相反数 由此启发我们若将它们相加正好 消去 y 解 解 1 将 得 1122x x2 把代入 得 x 28259 y y 7 5 x y 2 7 5 分析 分析 2 中的两个方程中 y 的系数成 2 倍关系 即将 2 恰好消去 y 解 解 2 2 得 6410 xy 得 1122x x2 把代入 得 x 23225 y y 1 2 x y 2 1 2 分析 分析 首先要确定消去哪个未知数 根据每个方程中未知数的系数的特点 先消去 y 是较简便的 而此时找到 y 的系数 6 和 9 的最小公倍数是 18 然后确定方程 两边同乘以 3 方程 两边同乘以 2 两个方程相减即可消去 y 解 解 3 3 得 451863xy 2 得 321824xy 得 1339x x3 把代入 得 x 3153621 y y4 x y 3 4 小结 小结 使用加减法解二元一次方程组时 有时需确定方程两边同乘以一个适当的数 正确的选择 适当的数 是解题的关键 由以上例题我们可以归纳出用加减消元法 简称加减法解方程组的一般步骤 1 方程组的两个方程中 若同一个未知数的系数既不互为相反数又不相等 应用适当的 数乘方程的两边 使同一个未知数的系数互为相反数或相等 2 把两个方程的两边分别相加或相减 消去一个未知数 得到一个一元一次方程 3 解这个一元一次方程 求得一个未知数的数值 4 将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中 求出另一个未知数 从而得到 方程组的解 例 6 已知 关于 x y 的方程组的解满足方程 求 xym xym 251 292 3219xy m 的值 分析 分析 方程组的两个方程相加可消去 y 相减可消去 x 分别得到用 m 的代数式表示 x y 的结果 再代入方程中 即可得到关于 m 的一元一次方程 从而求出3219xy m 的值 解 解 1 2 得 214xm 3 xm7 1 2 得 44ym 4 ym 将 3 4 同时代入中 得 3219xy 37219 mm m1 小结 小结 此题综合运用加减法和代入法 从而达到消元的目的 体现了解题的灵活性 模拟试题模拟试题 答题时间 60 分钟 一 选择题 1 下列方程中 是二元一次方程的有 1 2 5 212 m n 7 4 11 6 1yz 3 4 2 3 ab xy 6 A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 2 下列方程组中 是二元一次方程组的有 1 2 x y 1 2 24 36 x y 3 4 yx yx 23 418 29 327 xy xy A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个 3 下列不是的解的是 22xy A B x y 2 6 x y 15 1 C D x y 2 0 x y 5 4 1 2 4 已知与都是方程的解 则 c 的值 x y 1 2 x yc 2 axbyb 00 A 4B 2C D 2 4 5 若方程组的解是的一个解 则 m 值 237 59 xy xy 38xmy A 1B 2C 3D 4 6 方程与下面哪个方程所组成的方程组的解是 3416xy x y 4 1 A B 1 2 37xy 357xy C D 1 4 78xy 23 xyy 7 已知的解是 则 a b 的值是 axby bxay 5 2 x y 4 3 A B a b 2 1 a b 2 1 C D a b 2 1 a b 2 1 8 已知和是同类项 则 a b 值是 1 2 53 xy ba 3 22 4 xy ab A B a b 2 1 a b 7 0 C D a b 0 3 5 a b 1 2 9 在代数式中 当时 其值 3 当时 其值 4 则当时 xaxb 2 x 2x 3x 1 其值是 A B 4 5 8 5 C D 4 5 3 5 10 方程的一个解与方程组的解相同 则 m 3217xy xym xym 23 9 A 4B 3C 2D 1 二 填空题 1 已知 用含 x 的代数式表示 y 用含 y 的代数式表示 xy 34 1 2 x 2 若的和是单项式 则 m n 2 3 3 4 52236321 xyx y mnmn 与 3 如果是二元一次方程 则 m n 52110 32 xy mnn m 4 由方程组中得到 x 和 y 的关系为 xt yt 3 5 5 已知 则 a b 3275210 2 abab 三 解答题 1 解方程组 1 5225 3415 xy xy 2 3144