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第第2章章 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 2 4 2 导学案导学案 1 学习目标 学习目标 1 根据图象理解抛物线的对称性 顶点坐标和离心率并展开应用 了解 的意义 会 p 求简单的抛物线方程 2 通过与双曲线 椭圆的类比 体会探究的乐趣 激发学生的学习热情 重点 重点 抛物线的简单几何性质 难点 难点 正确地根据方程讨论曲线的几何性质 并注意椭圆 双曲线 抛物线的性质 的联系与区别 课前预习课前预习 某公园要建造一个如图1的圆形喷水池 在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子 恰在水面中心 米 安置在柱子顶端处的喷头向外喷水 水流在各 OOA 81 0 OAA 个方向上沿形状相同的抛物线路径落下 且在过的任一平面上抛物线路径如图2所示 OA 为使水流形状较为漂亮 设计成水流在与距离为1米处达到距水面最大高度2 25米 OA 问题1 如果不计其他因素 那么水池的半径至少要 米 才能使喷出的水流不 致落到池外 问题2 1 范围 若 由方程可知 这条抛物线上任意一点的坐标 0 ppxy2 2 M 满足等式 所以这条抛物线在轴的 侧 当的值增大时 也 yxy x y 这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸 它开口 2 对称性 以代 方程不变 因此这条抛物线是以轴为对称 y y 0 2 2 ppxy x 轴的轴对称图形 抛物线的对称轴叫作抛物线的 3 顶点 抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的 在方程中 0 2 2 ppxy 当时 因此这条抛物线的顶点就是 0 y 0 x 4 离心率 抛物线上的点与焦点和准线的距离的比 叫作抛物线的 用表 e 示 按照抛物线的定义 e 5 通径 过抛物线的焦点且垂直于抛物线对称轴的一条弦 称为抛物线的 通 径长为 且通径是所有过焦点的弦中的最短弦 问题3 抛物线 填 能 或 不能 看作双曲线的一支 抛物线与双曲线的一支尽 管从表面上看形状类似 但是它们的性质是完全不同的 问题4 常见的与抛物线有关的最值问题的题型及解题方法 1 题型 求抛物线上一点到定直线的最小距离 求抛物线上一点到定点的最值问题 2 方法 以抛物线为例 设是上一点 则 0 2 2 ppxy 00 yxPpxy2 2 即点坐标为 由两点间的距离公式 点到直线的距离公式表示 p y x 2 2 0 0 P 出所求距离 再用函数最值的方法求解 课堂探究课堂探究 探究一 抛物线性质的应用 已知抛物线的焦点是 点是抛物线上的动点 又有点 求 xy2 2 FP 2 3 A 的最小值 并求出取最小值时点的坐标 PFPA P 探究二 某河上有座抛物线形拱桥 当水面距拱桥顶5 m时 水面宽8 m 一小船宽4 m 高2 m 载货后船露出水面上的部分高为 m 问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时 小船开 3 4 始不能通航 课堂检测课堂检测 1 设抛物线的顶点在原点 其焦点在轴上 又抛物线上的点与点的距离 F y
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