【立体设计】2012高考数学 8.5 椭圆课后限时作业 理（通用版）

用心 爱心 专心1 20122012 高考立体设计理数通用版高考立体设计理数通用版 8 58 5 椭圆课后限时作业椭圆课后限时作业 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 7 分 共 42 分 1 若椭圆 1 的离心率为 则实数 m 等于 22 2 xy m 1 2 答案 A 2 2011 届 沈阳质检 若方程 1 表示焦点在y轴上的椭圆 则下列关系式成立的 x2 a y2 b 是 A B ba ba C D b ab a 解析 所给方程为椭圆 且焦点在y轴上 所以 b a 0 即 选 A ba 答案 A 3 如果椭圆 E 4x2 y2 k 上两点间的距离最大是 8 则 k 的值为 A 32 B 16 C 8 D 4 解析 方程变为所以 a2 k 根据椭圆的对称性 椭圆上距离最大的两点即长轴 1 4 22 k y k x 两端点 所以 2a 8 a 4 k 16 答案 B 4 2011 届 合肥质检 已知 ABC的顶点B C在椭圆 y2 1 上 顶点A是椭圆的一个 x2 3 焦点 且椭圆的另外一个焦点在BC边上 则 ABC的周长是 A 2 B 6 C 4 D 12 33 解析 由 y2 1 可知b 1 a x2 33 由椭圆的定义 AB BF1 AC CF1 2a BC BF1 CF1 所以 ABC的周长为 AB AC BC 4a 4 选 C 3 答案 C 用心 爱心 专心2 5 椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形 则该椭圆的离心率为 A B 1 2 3 2 C D 不能确定 3 3 解析 依题意 c b 所以 a 2b e 3 c a 3 2 答案 B 6 2011 届 日照调研 已知椭圆方程 1 椭圆上点M到该椭圆的一个焦点F1的距 x2 25 y2 9 离为 2 N是MF1的中点 O是椭圆的中心 那么线段ON的长度为 A 2 B 4 C 8 D 3 2 解析 如图所示 设椭圆的左 右焦点为F1 F2 因为N为F1M的中点 O为F1F2的中点 所以在 F1MF2中 ON为其中位线 则ON MF2 1 2 又因为 F1M MF2 10 所以 MF2 10 F1M 10 2 8 所以ON 8 4 1 2 答案 B 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 7 2011 届 枣庄质检 椭圆 3x2 ky2 3 的一个焦点是 0 那么k 2 解析 由题意得 1 2 所以k 1 3 k2 答案 1 8 椭圆 1 的一个焦点为 F1 点 P 在椭圆上 如果线段 PF1的中点 M 在 y 轴上 那么 22 123 xy 点 M 的纵坐标是 用心 爱心 专心3 答案 3 4 9 在一椭圆中以焦点 F1 F2为直径两端点的圆 恰好过短轴的两顶点 则此椭圆的离心率 e 等于 解析 因为以椭圆焦点 F1 F2为直径两端点的圆 恰好过短轴的两顶点 所以椭圆满足 b c 所以 2 2 2 22 c c cb c a c e 答案 2 2 10 设椭圆 1 m 0 n 0 的右焦点与抛物线 y2 8x 的焦点相同 离心率为 则此椭 22 22 xy mn 1 2 圆的标准方程为 答案 1 22 1612 xy 三 解答题 本大题共 2 小题 每小题 12 分 共 24 分 11 求以坐标轴为对称轴 一焦点为 0 5 且截直线 y 3x 2 所得弦的中点的横坐标为2 的椭圆方程 1 2 解 根据题意设所求椭圆的方程为 1 a b 0 22 22 xy ba 因为 c 5 所以 a2 b2 50 2 10 b2 5 x2 12b2x b2 b2 46 0 得消去由y b y b x xy 1 50 23 2 2 2 2 设直线与椭圆相交于 M x1 y1 N x2 y2 两点 则 x1 x2是上述方程的根 且有 0 即 40b6 2 184b4 9 200b2 0 恒成立 用心 爱心 专心4 12 已知F1 F2是椭圆的两个焦点 P为椭圆上一点 F1PF2 60 1 求椭圆离心率的范围 2 求证 F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关 1 解 设椭圆方程为 1 a b 0 PF1 m PF2 n x2 a2 y2 b2 在 PF1F2中 由余弦定理可知 4c2 m2 n2 2mncos 60 因为m n 2a 所以m2 n2 m n 2 2mn 4a2 2mn 所以 4c2 4a2 3mn 即 3mn 4a2 4c2 又mn 2 a2 当且仅当m n时取等号 m n 2 所以 4a2 4c2 3a2 所以 即e c2 a2 1 4 1 2 所以e的取值范围是 1 2 1 2 证明 由 1 知mn b2 4 3 所以S PF1F2 mnsin 60 b2 1 2 3 3 即 PF1F2的面积只与短轴长有关 B B 组组 一 选择题 本大题共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 1 2011 届 宁波质检 椭圆 1 a b 0 的两焦点为F1 F2 以F1F2为边作正三角 x2 a2 y2 b2 形 若椭圆恰好平分正三角形的另两条边 则椭圆的离心率为 A B 1 2 3 2 C 4 2 D 1 33 解析 由题意可知另外两边中点在椭圆上 c 2 3c 2 所以 1 c2 4a2 3c2 4b2 将b2 a2 c2代入得 1 c2 4a2 3c2 4 a2 c2 整理得 4 2 1 2 所以 1 选 D c2 a233 c a3 答案 D 2 若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为 1 则椭圆长轴的最小值为 用心 爱心 专心5 A 1 B C 2 D 222 解析 设椭圆 1 a b 0 则使三角形面积最大的三角形的椭圆上的顶点为椭圆短 22 22 xy ab 轴端点 所以 S 2c b bc 1 所以 a2 2 所以 a 1 2 222 22 bca 2 所以长轴长 2a 2 故选 D 2 答案 D 二 填空题 本大题共 2 小题 每小题 8 分 共 16 分 3 长为 3 的线段AB的端点A B分别在x轴 y轴上移动 2 则点C的轨迹是 AC CB 写出形状即可 解析 设点C的坐标为 x y 依题意 A 3x 0 B 0 y 3 2 AB 2 3x 2 2 32 3 2y 所以x2 1 轨迹为椭圆 y2 4 答案 椭圆 用心 爱心 专心6 答案 5 3 三 解答题 本大题共 2 小题 每小题 14 分 共 28 分 5 2011 届 温州质检 已知椭圆C 1 a b 0 的离心率为 且曲线过点 x2 a2 y2 b2 2 2 1 2 2 1 求椭圆C的方程 2 已知直线x y m 0 与椭圆C交于不同的两点A B 且线段AB的中点不在圆x2 y2 内 求m的取值范围 5 9 解 1 因为 所以 1 c a 2 2 b2 a2 a2 c2 a2 1 2 1 2 所以a2 2b2 曲线过 则 1 1 2 2 1 a2 1 2b2 由 解得Error 则椭圆方程为 y2 1 x2 2 2 联立方程组Error 消去y整理得 3x2 4mx 2m2 2 0 则 16m2 12 2m2 2 8 m2 3 0 解得 m 33 由x1 x2 m 4 3 y1 y2 x1 x2 2m m 2m m知 4 3 2 3 AB的中点为 2 3m m 3 又因为AB的中点不在x2 y2 内 5 9 所以m2 解得m 1 或m 1 4 9 m2 9 5m2 9 5 9 由 得 m 1 或 1 mb 0 上的两点 已知向量m m n n y2 a2 x2 b2 x1 b y1 a 若m nm n 0 且椭圆的离心率e 短轴长为 2 O为坐标原点 x2 b y2 a 3 2 1 求椭圆的方程 2 若直线AB过椭圆的焦点F 0 c c为半焦距 求直线AB的斜率k的值 3 试问 AOB的面积是否为定值 如果是 请给予证明 如果不是 请说明理由 解 1 2b 2 b 1 e c a a2 b2 a 3 2 a 2 c 3 椭圆的方程为 x2 1 y2 4 2 由题意 设AB的方程为y kx 3 Error k2 4 x2 2kx 1 0 3 x1 x2 x1x2 2 3k k2 4 1 k2 4 由已知m m n n 0 得 用心 爱心 专心7 x1x2 kx1 kx2 x1x2 b2 y1y2 a2 1 433 x1x2 x1 x2 1 k2 4 3k 4 3 4 0 k2 4 4 1 k2 4 3k 4 2 3k k2 4 3 4 解得k 2 3 当直线AB斜率不存在时 即x1 x2 y1 y2 由m m n n 0 x 0 y 4x 2 1 y2 1 42 12 1 又A x1 y1 在椭圆上 所以x 1 x1 y1 2 1 4x2 1 4 2 22 S x1 y1 y2 x1 2 y1 1 1 2 1 2 当直线AB斜率存在时 设AB的方