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文档简介

1 第一节定积分在几何上的应用 微元法平面图形的面积立体的体积平面曲线的弧长 2 一微元法 有关的量 而 3 其中 于是 令 得 4 5 这个方法通常叫做元素法 应用方向 平面图形的面积 体积 平面曲线的弧长 功 水压力 引力和平均值等 6 二平面图形的面积 1直角坐标系平面图形的面积 7 事实上 所以得面积的微元素 8 为 9 解 两曲线的交点 面积元素 选为积分变量 10 例2 求由曲线 所围的平面图形的 面积 解法I 积分区间分别为 得 11 解法II 积分区间为 则 12 解 两曲线的交点 选为积分变量 于是所求面积 13 例4 在曲线 上求一点P 使得 直线 所围成 该点的切线与曲线 的平面图形的面积最小 解 则切线方程为 因此 设切点为 14 所求点为 解 椭圆的参数方程 由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积 15 2极坐标系下平面图形的面积 求其面积 选积分变量 积分区间 它可以用半径为 的扇形近似代替 因此 16 同理 由连续曲线 及射线 所围的平面图形的面积为 解 利用对称性知 17 解 由对称性知总面积 4倍第一象限部分面积 18 例8求由曲线 所围成的平 面图形 如图所示阴影部分 的面积 解 因此 19 三立体的体积 1已知平行截面面积的立体的体积 求此立体体积 为积分区间 所以 20 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 21 解 取坐标系如图 底圆方程为 截面面积 立体体积 22 2旋转体体积 设空间物体是由连续曲线 求此物体的体积 为积分区间 所以所求的物体体积为 23 同理 空间物体是由连续曲 线 此物体的体积为 解 24 相应的截面面积为 因此 25 例12 求由曲线 及 在点 处的切线和 平面图形绕 立体的体积 解 轴围成的 轴旋转一周所得 26 解 由对称性得旋转体的体积 的参数方程为 27 例14 求由连续曲线 直线 及 轴所围的曲边梯形 绕 轴旋转一周所得立 体体积 解 所以 28 四平面曲线弧长 29 1直角坐标表示的平面曲线的弧长 设曲线弧为 小切线段的长为 弧长元素 弧长 30 解 所求弧长为 解 定义域为 31 2参数方程所表示的平面曲线的弧长 设曲线弧的参数方程为 且 则 所以 32 解 星形线的参数
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