北京市西城区九年级数学下册 学习 探究 诊断 第二十八章 锐角三角函数同步测试

用心 爱心 专心 1 第二十八章第二十八章 锐角三角函数测试锐角三角函数测试 1 1 锐角三角函数定义锐角三角函数定义 学习要求学习要求 理解一个锐角的正弦 余弦 正切的定义 能依据锐角三角函数的定义 求给定锐角 的三角函数值 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 如图所示 B B 是 MAN的AN边上的任意两点 BC AM于C点 B C AM于 C 点 则 B AC 从而 又可得 AC BA BC CB 即在 Rt ABC中 C 90 当 A确定时 它的 与 BA CB 的比是一个 值 即在 Rt ABC中 C 90 当 A确定时 它的 与 BA CA 的比也是一个 即在 Rt ABC中 C 90 当 A确定时 它的 与 CA CB 的比还是一个 第 1 题图 2 如图所示 在 Rt ABC中 C 90 第 2 题图 对对 sin A 对对 sin B 对对 cos A 对对 cos B 对对对A A tan tan 对对对B B 3 因为对于锐角 的每一个确定的值 sin cos tan 分别都有 与它 所以 sin cos tan 都是 又称为 的 4 在 Rt ABC中 C 90 若a 9 b 12 则c 用心 爱心 专心 2 sinA cosA tanA sinB cosB tanB 5 在 Rt ABC中 C 90 若a 1 b 3 则c sinA cosA tanA sinB cosB tanB 6 在 Rt ABC中 B 90 若a 16 c 30 则b sinA cosA tanA sinC cosC tanC 7 在 Rt ABC中 C 90 若 A 30 则 B sinA cosA tanA sinB cosB tanB 二 解答题二 解答题 8 已知 如图 Rt TNM中 TMN 90 MR TN于R点 TN 4 MN 3 求 sin TMR cos TMR tan TMR 9 已知 Rt ABC中 求AC AB和 cosB 12 4 3 tan 90 BCAC 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 10 已知 如图 Rt ABC中 C 90 D是AC边上一点 DE AB于E点 DE AE 1 2 求 sinB cosB tanB 11 已知 如图 O的半径OA 16cm OC AB于C点 4 3 sinAOC 求 AB及OC的长 用心 爱心 专心 3 12 已知 O中 OC AB于C点 AB 16cm 5 3 sinAOC 1 求 O的半径OA的长及弦心距OC 2 求 cos AOC及 tan AOC 13 已知 如图 ABC中 AC 12cm AB 16cm 3 1 sin A 1 求AB边上的高CD 2 求 ABC的面积S 3 求 tanB 14 已知 如图 ABC中 AB 9 BC 6 ABC的面积等于 9 求 sinB 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 15 已知 如图 Rt ABC中 C 90 按要求填空 用心 爱心 专心 4 1 sin c a A cAca sin 2 cos c b A b c 3 tan b a A a b 4 2 3 sin B Bcos Btan 5 5 3 cos B Bsin Atan 6 3 Btan Bsin Asin 16 已知 如图 在直角坐标系xOy中 射线OM为第一象限中的一条射线 A点的坐 标为 1 0 以原点O为圆心 OA长为半径画弧 交y轴于B点 交OM于P点 作CA x轴交OM于C点 设 XOM 求 P点和C点的坐标 用 的三角函数表示 17 已知 如图 ABC中 B 30 P为AB边上一点 PD BC于D 1 当BP PA 2 1 时 求 sin 1 cos 1 tan 1 2 当BP PA 1 2 时 求 sin 1 cos 1 tan 1 测试测试 2 2 锐角三角函数锐角三角函数 学习要求学习要求 1 掌握特殊角 30 45 60 的正弦 余弦 正切三角函数值 会利用计算器求 用心 爱心 专心 5 一个锐角的三角函数值以及由三角函数值求相应的锐角 2 初步了解锐角三角函数的一些性质 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 填表 锐角 30 45 60 sin cos tan 二 解答题二 解答题 2 求下列各式的值 1 o 45cos230sin2 2 tan30 sin60 sin30 3 cos45 3tan30 cos30 2sin60 2tan45 4 45sin30cos 30tan 1 30sin 1 45cos 222 3 求适合下列条件的锐角 1 2 2 1 cos 3 3 tan 3 4 2 2 2sin 33 16cos 6 4 用计算器求三角函数值 精确到 0 001 1 sin23 2 tan54 53 40 5 用计算器求锐角 精确到 1 用心 爱心 专心 6 1 若 cos 0 6536 则 2 若 tan 2 10 31 7 1 7515 则 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 6 已知 如图 在菱形ABCD中 DE AB于E BE 16cm 13 12 sin A 求此菱形的周长 7 已知 如图 在 ABC中 BAC 120 AB 10 AC 5 求 sin ACB的值 8 已知 如图 Rt ABC中 C 90 BAC 30 延长CA至D点 使 AD AB 求 1 D及 DBC 2 tanD及 tan DBC 3 请用类似的方法 求 tan22 5 9 已知 如图 Rt ABC中 C 90 作 DAC 30 AD交3 BCAC CB于D点 求 用心 爱心 专心 7 1 BAD 2 sin BAD cos BAD和 tan BAD 10 已知 如图 ABC中 D为BC中点 且 BAD 90 求 3 1 tan B sin CAD cos CAD tan CAD 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 11 已知 如图 AOB 90 AO OB C D是上的两点 AOD AOC 求证 1 0 sin AOC sin AOD 1 2 1 cos AOC cos AOD 0 3 锐角的正弦函数值随角度的增大而 4 锐角的余弦函数值随角度的增大而 12 已知 如图 CA AO E F是AC上的两点 AOF AOE 用心 爱心 专心 8 1 求证 tan AOF tan AOE 2 锐角的正切函数值随角度的增大而 13 已知 如图 Rt ABC中 C 90 求证 1 sin2A cos2A 1 2 A A A cos sin tan 14 化简 其中 0 90 cossin21 15 1 通过计算 可用计算器 比较下列各对数的大小 并提出你的猜想 sin30 2sin15 cos15 sin36 2sin18 cos18 sin45 2sin22 5 cos22 5 sin60 2sin30 cos30 sin80 2sin40 cos40 sin90 2sin45 cos45 猜想 若 0 45 则 sin2 2sin cos 2 已知 如图 ABC中 AB AC 1 BAC 2 请根据图中的提示 利 用面积方法验证你的结论 用心 爱心 专心 9 16 已知 如图 在 ABC中 AB AC AD BC于D BE AC于E 交AD于H点 在 底边BC保持不变的情况下 当高AD变长或变短时 ABC和 HBC的面积的积 S ABC S HBC的值是否随着变化 请说明你的理由 测试测试 3 3 解直角三角形解直角三角形 一一 学习要求学习要求 理解解直角三角形的意义 掌握解直角三角形的四种基本类型 课堂学习检测课堂学习检测 一 填空题一 填空题 1 在解直角三角形的过程中 一般要用的主要关系如下 如图所示 在 Rt ABC中 C 90 AC b BC a AB c 第 1 题图 三边之间的等量关系 两锐角之间的关系 边与角之间的关系 BAcossin BAsincos B A tan 1 tan B A tan tan 1 直角三角形中成比例的线段 如图所示 第 小题图 在 Rt ABC中 C 90 CD AB于D 用心 爱心 专心 10 CD2 AC2 BC2 AC BC 直角三角形的主要线段 如图所示 第 小题图 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 斜边的中点是 若r是 Rt ABC C 90 的内切圆半径 则r 直角三角形的面积公式 在 Rt ABC中 C 90 S ABC 答案不唯一 2 关于直角三角形的可解条件 在直角三角形的六个元素中 除直角外 只要再知道 其中至少 这个三角形的形状 大小就可以确定下来 解直 角三角形的基本类型可分为已知两条边 两条 或斜边和 及已知 一边和一个锐角 和一个锐角或 和一个锐角 3 填写下表 已知条件解法 一条边和斜边c和锐角 A B a b 一个锐角直角边a和锐角 A B b c 两条直角边a和bc 由 求 A B 两条边 直角边a和斜边cb 由 求 A B 二 解答题二 解答题 4 在 Rt ABC中 C 90 1 已知 a 35 求 A B b 235 c 2 已知 求 A B c 32 a2 b 3 已知 求a b 3 2 sin A6 c 4 已知 求a c 9 2 3 tan bB 用心 爱心 专心 11 5 已知 A 60 ABC的面积求a b c及 B 312 S 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 5 已知 如图 在半径为R的 O中 AOB 2 OC AB于C点 1 求弦AB的长及弦心距 2 求 O的内接正n边形的边长an及边心距rn 6 如图所示 图 中 一栋旧楼房由于防火设施较差 想要在侧面墙外修建一外部楼 梯 由地面到二楼 再从二楼到三楼 共两段 图 中AB BC两段 其中CC BB 3 2m 结合图中所给的信息 求两段楼梯AB与BC的长度之和 结果保留到 0 1m 参考数据 sin30 0 50 cos30 0 87 sin35 0 57 cos35 0 82 7 如图所示 某公司入口处原有三级台阶 每级台阶高为 20cm 台阶面的宽为 30cm 为了方便残疾人士 拟将台阶改为坡角为 12 的斜坡 设原台阶的起点为 A 斜坡的起点为C 求AC的长度 精确到 1cm 用心 爱心 专心 12 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 8 如图所示 甲楼在乙楼的西面 它们的设计高度是若干层 每层高均为 3m 冬天 太阳光与水平面的夹角为 30 1 若要求甲楼和乙楼的设计高度均为 6 层 且冬天甲楼的影子不能落在乙楼上 那么建筑时两楼之间的距离BD至少为多少米 保留根号 2 由于受空间的限制 甲楼和乙楼的距离BD 21m 若仍要求冬天甲楼的影子不 能落在乙楼上 那么设计甲楼时 最高应建几层 9 王英同学从A地沿北偏西 60 方向走 100m 到B地 再从B地向正南方向走 200m 到C地 此时王英同学离A地多少距离 10 已知 如图 在高 2m 坡角为 30 的楼梯表面铺地毯 地毯的长度至少需要多少 米 保留整数 测试测试 4 4 解直角三角形解直角三角形 二二 学习要求学习要求 能将解斜三角形的问题转化为解直角三角形 课堂学习检测课堂学习检测 1 已知 如图 ABC中 A 30 B 60 AC 10cm 求AB及BC的长 用心 爱心 专心 13 2 已知 如图 Rt ABC中 D 90 B 45 ACD 60 BC 10cm 求AD的 长 3 已知 如图 ABC中 A 30 B 135 AC 10cm 求AB及BC的长 4 已知 如图 Rt ABC中 A 30 C 90 BDC 60 BC 6cm 求AD的 长 综合 运用 诊断综合 运用 诊断 5 已知 如图 河旁有一座小山 从山顶A处测得河对岸点C的俯角为 30 测得岸边 点D的俯角为 45 又知河宽CD为 50m 现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆 绳AC 求山的高度及缆绳AC的长 答案可带根号 用心 爱心 专心 14 6 已知 如图 一艘货轮向正北方向航行 在点A处测得灯塔M在北偏西 30 货轮以 每小时 20 海里的速度航行 1 小时后到达B处 测得灯塔M在北偏西 45 问该货轮 继续向北航行时 与灯塔M之间的最短距离是多少 精确到 0 1 海里 732 1 3 7 已知 如图 在两面墙之间有一个底端在A点的梯子 当它靠在一侧墙上时 梯子的顶 端在B点 当它靠在另一侧墙上时 梯子的顶端在D点 已知 BAC 60 DAE 45 点D到地面的垂直距离 求点B到地面的垂直距离BC m23 DE 8 已知 如图 小明准备测量学校旗杆AB的高度 当他发现斜坡正对着太阳时 旗杆AB 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上 测得水平地面上的影长BC 20m 斜坡坡面 上的影长CD 8m 太阳光线AD与水平地面成 26 角 斜坡CD与水平地面所成的锐角 为 30 求旗杆AB的高度 精确到 1m 9 已知 如图 在某旅游地一名游客由山脚A沿坡角为 30 的山坡AB行走 400m 到达一 用心 爱心 专心 15 个景点B 再由B地沿山坡BC行走 320 米到达山顶C 如果在山顶C处观测到景点B的 俯角为 60 求山高CD 精确到 0 01 米 10 已知 如图 小明准备用如下方法测量路灯的高度 他走到路灯旁的一个地方 竖起 一根 2m 长的竹竿 测得竹竿影长为 1m 他沿着影子的方向 又向远处走出两根竹竿 的长度 他又竖起竹竿 测得影长正好为 2m 问路灯高度为多少米 11 已知 如图 在一次越野比赛中 运动员从营地A出发 沿北偏东 60 方向走了 500 到达B点 然后再沿北偏西 30 方向走了 500m 到达目的地C点 求m3 1 A C两地之间的距离 2 确定目的地C在营地A的什么方向 12 已知 如图 在 1998 年特大洪水时期 要加固全长为 10000m 的河堤 大堤高 5m 坝 顶宽 4m 迎水坡和背水坡都是坡度为 1 1 的等腰梯形 现要将大堤加高 1m 背水坡 坡度改为 1 1 5 已知坝顶宽不变 求大坝横截面面积增加了多少平方米 完成工程 需多少立方米的土石 用心 爱心 专心 16 拓展 探究 思考拓展 探究 思考 13 已知 如图 在 ABC中 AB c AC b 锐角 A 1 BC的长 2 ABC的面积 14 已知 如图 在 ABC中 AC b BC a 锐角 A B 1 求AB的长 2 求证 sinsin ba 15 已知 如图 在 Rt ADC中 D 90 A CBD AB a 用含a 及 的三角函数的式子表示CD的长 用心 爱心 专心 17 16 已知 ABC中 A 30 AC 10 求AB的长 25 BC 17 已知 四边形ABCD的两条对角线AC BD相交于E点 AC a BD b BEC 0 90 求此四边形的面积 测试测试 5 5 综合测试综合测试 1 计算 1 2 45tan260tan 60cos2 60cos30cos 60tan30tan45sin30sin2 22 2 2 已知 如图 ABC中 ACB 90 CD AB于D AB 32 BC 12 求 sin ACD及AD的长 3 已知 Rt ABC中 ACB 90 CD AB于D点 AB 2m BD m 1 5 4 cos A 1 用含m的代数式表示BC 2 求m的值 4 已知 如图 矩形ABCD中 AB 3 BC 6 BE 2EC DM AE于M点 求DM的长 5 已知 如图 四边形ABCD中 A 45 C 90 ABD 75 DBC 用心 爱心 专心 18 30 AB 2a 求BC的长 6 已知 如图 四边形ABCD中 A C 90 D 60 AB 3 求35 AD BC的长 7 已知 如图 ABC内接于 O BC m 锐角 A 1 求 O的半径R 2 求 ABC的面积的最大值 8 已知 如图 矩形纸片ABCD中 BC m 将矩形的一角沿过点B的直线折叠 使A点落 在DC边上 落点记为A 折痕交AD于E 若 A BE 求证 2sincos m EB 用心 爱心 专心 19 用心 爱心 专心 20 答案与提示答案与提示 第二十八章第二十八章 锐角三角函数锐角三角函数 测试测试 1 1 1 BAC AB AC 对边 斜边 固定 AB BC 邻边 斜边 固定值 AB AC 对边 邻边 固定值 AC BC 2 A的对边 B的对边 c a c b A的邻边 B的邻边 c b c a A的对边 B的邻边 b a a b 3 唯一确定的值 对应 的函数 锐角三角函数 4 3 4 5 3 5 4 4 3 5 4 5 3 15 5 3 10 10 10 103 3 1 10 103 10 10 10 6 8 15 17 8 17 15 15 8 17 15 17 8 34 7 3 2 1 2 3 3 3 2 3 2 1 60o 8 3 7 tantan 4 3 coscos 4 7 sinsinNTMRNTMRNTMR 9 5 3 cos 20 16BABAC 10 2 tan 5 5 cos 5 52 sin BBB 11 AB 2AC 2AO sin AOC 24cm cm74 22 ACOAOC 12 4 3 tan 5 4 cos 2 cm 3 32 cm 3 40 1 AOCAOCOCOA 13 1 CD AC sinA 4cm 2 cm32 2 1 2 CDABS 3 4 22 tanB 用心 爱心 专心 21 14 3 1 sinB 15 1 2 sin A a cos cos A b Ac 3 4 tan tan A a Ab 3 2 1 5 6 4 3 5 4 10 10 10 103 16 P cos sin C 1 tan 提示 作PD x轴于D点 17 1 31tan 2 1 1cos 2 3 1sin 2 2 3 1tan 7 72 1cos 7 21 1sin 提示 作AE BC于E 设AP 2 用心 爱心 专心 22 测试测试 2 2 1 锐角 30 45 60 sin 2 1 2 2 2 3 cos 2 3 2 2 2 1 tan 3 3 13 2 1 0 2 3 4 12 3 2 2 2 3 2 5 4 1 3 3 1 60 2 30 3 22 5 4 46 4 1 0 391 2 1 423 5 1 49 11 11 2 24 52 44 6 104cm 提示 设DE 12xcm 则得AD 13xcm AE 5xcm 利用BE 16cm 列方程 8x 16 解得x 2 7 提示 作BD CA延长线于D点 7 21 8 1 D 15 DBC 75 2 3 32tan 32tan DBCD 1 2 5 22tan 9 1 15 2 32tan 4 26 cos 4 26 sin BADBADBAD 10 提示 作DE BA 交AC于E点 或延长AD至F 使DF 2 3 13 132 13 133 AD 连结CF 11 提示 作CE OA于E 作DF OA于F 3 增大 4 减小 12 2 增大 13 提示 利用锐角三角函数定义证 14 原式 cossin2cossin 22 2 cos sin cossin 450 sincos 9045 cossin 用心 爱心 专心 23 15 1 略 sin2 2sin cos 2 2sin 2 1 2sin1 2 1 2 1 BEACS ABC cossin 2 1 ADBDADBCS ABC sin2 2sin cos 16 不发生改变 设 BAC 2 BC 2m 则 tan tan 42 2 mm m SS HBCABC 测试测试 3 3 1 a2 b2 c2 A B 90 a b b a c b c a AD BD AD AB BD BA AB CD 一半 它的外心 或 2 cba cba ab 或 h为斜边上的高 或或或ab 2 1 ch 2 1 Abcsin 2 1 Bacsin 2 1 2 1 cbar r为内切圆半径 2 两个元素 有一个是边 直角边 一条直角边 斜边 一条直角边 3 90 A sinA cosA sin tan 90o A a A a A 90 tan 22 A b a Abac 90 sin 22 B c a Aacb 4 1 A 45 B 45 b 35 2 A 60 B 30 c 4 3 52 4 ba 4 133 6 ca 5 30 64 62 26 Bcba 5 1 AB 2R sin OC R cos 2 n Rr n Ra nn 180 cos 180 sin2 6 AB