函数的单调性

函数的单调性 一 基础知识 一 单调性 1 定义 一般地 设函数 xf的定义域为 如果对于属于定义域内某个区间上的任II 意两个自变量的值 当 21 xx 时 都有 那么就 21 x x 21 xfxf 21 xfxf 说 xf在这个区间上是增函数 减函数 这一区间叫做的单调区间 xfy 2 判断函数单调性的方法 1 图想法 若函数图像由左到右呈上升趋势 则为增函数 若函数图像由左到右呈下降 趋势 则为减函数 2 定义法 取区间上的任意两个自变量 并规定大小 不妨设 21 x x 21 xx 比较 作差 坐商 21 xfxf 结论 若 xf在此区间上为增函数 0 21 xfxf 21 xfxf 在此区间上为减函数 0 21 xfxf 21 xfxf xf 3 复合函数法 如果与得单调性相同 则是单调增函 ufy xgu xgfy 数 如果与得单调性相反 则是单调减函数 ufy xgu xgfy 4 利用某些常见结论 两个增 减 函数的和仍为增 减 函数 奇函数在对称的两个区间上单调性相同 偶函数在对称的两个区间上单调性相反 4 常用函数的单调性 一次函数 二次函数 指对函数 三角函数 互为反函数的两个函数具有相同的单调性 二 典型习题 一 函数的单调性的判断与证明 1 下列函数中 既是偶函数 又是在区间上单调递减的函数为 0 A B C D x y 1 ln 3 xy x y2 xycos 2 给定函数 1 2 3 4 其中 2 1 xy 1 log 2 1 xy1 xy 1 2 x y 在区间 0 1 上单调递减的函数序号是 A 1 2 B 2 3 C 3 4 D 1 4 3 下列区间中 函数在其上为增函数的是 2lg xxf A B C D 1 3 4 1 2 3 0 2 3 1 4 设是定义在 R 上的任意一个增函数 那么必为 xf xfxfxF xF 5 设函数在内有定义 对于给定的正数 定义函数 xfy K 当取函数且时 函数的单调递增 KxfK Kxfxf xfK x xf 2 2 1 K xfK 区间为 A B C D 0 0 1 1 6 设函数 证明 在区间单调递减 1 1 2 aaxxxf xf 0 7 函数对任意 有 并且当 xfRba 1 bfafbaf0 x1 xf 1 证明 是上的增函数 xfR 2 若 解不等式5 4 f3 23 2 mmf 8 设的定义域为 对于任意正实数恒有 且当 xf 0nm nfmfmnf 时 1 x0 xf1 2 1 f 1 求的值 2 f 2 解关于的不等式 其中x 4 2 x p fxf1 p 二 求函数的单调区间 1 求下列函数的单调区间 1 2 3 x x xf 31 32 532 2 xxxf 32 1 2 xx xf 4 5 xx xf 2 3 1 65 log 2 2 1 xxxf 6 7 xxxfln2ln 2 xxxf 2 1 2 2 1 log4log 8 32 24 xxxf 9 32 3 2 1 xxxxf 2 函数的单调递减区间是 1 5 3 x y 3 函数的单调增区间为 32lg 2 xxy 4 已知 讨论函数的单调性 Rk 1 1 1 1 1 xx x xxfkxxfxF 5 已知函数xaaxxxf 2 ln 2 1 讨论的单调性 xf 2 设 证明 当时 0 a a x 1 0 1 1 x a fx a f 3 若函数的图像与轴交于两点 线段中点的横坐标为 xfy xBA AB 0 x 证明 0 0 x f 三 函数单调性的应用 1 已知函数在上是减函数 则 xf 0 4 3 f 1 2 aaf 2 已知 则有 10 ayx A B 0 log xy a 1 log0 xy a C D 2 log1 xy a 2 log xy a 3 函数在上的最大值与最小值的和为 3 则等于 x ay 1 0a A B C 4 D 2 1 2 4 1 4 偶函数在区间单调递增 则满足的的取值范围是 xf 0 3 1 12 fxf x A B C D 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 2 1 3 2 2 1 5 函数在定义域内可导 若 且当时 xfR 2 xfxf 1 x 设 则 0 1 xfx 0 fa 2 1 fb 3 fc A B C D cba bac abc acb 6 函数的定义域为 对任意 则的 xfR2 1 fRx 2 x f42 xxf 解集是 A B C D 1 1 1 1 7 设是连续的偶函数 且当时是单调函数 则满足的 xf0 x xf 4 3 x x fxf 所有之和为 x A 3 B 3 C 8 D 8 8 在定义在上的偶函数 当时 是增函数 且 则使 xfR 0 x xf0 3 1 f 的的取值范围是 0 log 8 1 xfx 9 函数的值域是 xxy 12 10 已知的定义域为且在上递减 若 求实数 m 的范围 xf 2 0 2 0 1 mfmf 11 已知的定义域为 且在其上为增函数 满足 xf 0 试解不等式1 2 fyfxfxyf且3 2 xfxf 12 已知 求证 0 x x ex 2 21 13 已知函数1 ln 1 2 1 2 axaaxxxf 1 讨论函数的单调性 xf 2 证明 若 则对于任意 有5 a 0 21 xx 21 xx 1 21 21 xx xfxf 14 已知函数1ln 1 2 axxaxf 1 讨论函数的单调性 xf 2 设 如果对任意 求的取值1 a 0 21 xx 2121 4 xxxfxf a 范围 四 已知函数的单调性 求参数取值范围 1 如果函数在区间上是减函数 则 a 的取值范围是 2 1 2 2 xaxxf 4 A B C D 3 a3 a3 a5 a 如果函数的单调递减区间是 求 a 的值 2 1 2 2 xaxxf 4 2 是 函数在区间上是增函数 的 2 aaxxf