等差数列前n项和.ppt

复习引入 1 等差数列定义 即an an 1 d n 2 2 等差数列通项公式 1 an a1 n 1 d n 1 2 an am n m d 3 an pn q p q是常数 复习引入 3 等差中项 成等差数列 m n p q am an ap aq m n p q N 4 等差数列的性质 2 3等差数列的前n项和 一 数列的前n项和 称为数列 an 的前n项和 记作Sn Sn 数列的通项公式能反映数列的基本特性 在实际问题中常常需要求数列的前n项和 对于等差数列 为了方便运算 我们希望有一个求和公式 这是一个有待研究的课题 等差数列的求和公式 你知道这个雄伟壮观的建筑是哪儿吗 世界七大奇迹之一 印度泰姬陵 泰姬陵坐落于印度古都阿格 是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建 她宏伟壮观 纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷 成为世界七大奇迹之一 陵寝以宝石镶饰 图案之细致令人叫绝 传说陵寝中有一个三角形图案 以相同大小的圆宝石镶饰而成 共有100层 见左图 奢靡之程度 可见一斑 你知道这个图案一共花了多少宝石吗 探究发现 这是个什么问题呢 从上而下第一层是1颗宝石 第一层是2颗宝石 第三层是3颗宝石 第一百层是100颗宝石 即 1 2 3 100 2 2等差数列的前n项和 德国古代著名数学家高斯10岁的时候就已经解决了这个问题 1 2 3 100 你知道高斯是怎样算出来的吗 高斯的算法 计算 1 2 3 99 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100个数可以分为50组 第一个数与最后一个数一组 第二个数与倒数第二个数一组 第三个数与倒数第三个数一组 每组数的和均相等 都等于101 50个101就等于5050了 高斯算法将加法问题转化为乘法运算 迅速准确得到了结果 首尾配对相加法 中间的一组数是什么呢 1 100 2 99 50 51 101 50 5050 高斯的思路有什么特点 适合哪种类型 特点 首尾配对 变不同数求和为相同数求和 变加法为乘法 类型 项数是偶数的数列求和 高斯的办法行吗 能否有更简洁的求法 S21 1 2 3 21 2S21 1 21 2 20 3 19 21 1 S21 21 20 19 1 21个22 探究问题1 第1层到21层一共有多少颗圆宝石 这实质上就是数学中数列求和的一种重要方法 倒序相加法 总结一下这种方法特点 可以叫什么法呢 问题2 等差数列1 2 3 n 的前n项和怎么求 sn 1 2 n 1 n 2sn n 1 n 1 n 1 n 1 sn n n 1 2 1 n可能是奇数也可能是偶数 怎么避免讨论 利用倒序相加法 上式相加得 由等差数列性质可知 问题3 对于一般等差数列 an 首项为a1公差为d 如何推导它的前n项和公式Sn呢 求和公式 等差数列的前n项和的公式 思考 1 公式的文字语言 2 公式的特点 不含d 可知三求一 等差数列的前n项和等于首末两项的和与项数乘积的一半 公式的记忆 我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式 a1 an 公式的记忆 我们可结合梯形的面积公式来记忆等差数列前n项和公式 a1 n 1 d a1 an 将图形分割成一个平行四边形和一个三角形 想一想 结论 知三求二 公式应用 根据下列各题中的条件 求相应的等差数列 an 的Sn 1 a1 5 an 95 n 10 2 a1 100 d 2 n 50 练一练 500 2550 根据下列条件 求相应的等差数列的前n项和 在等差数列 an 中 如果已知五个元素a1 an n d Sn中的任意三个 请问 能否求出其余两个量 结论 知三求二 解题思路一般是 建立方程 组 求解 等差数列的前n项和公式 应用举例 例1求前n个正奇数的和 解由等差数列前n项和公式 得 思考 你能看出右图与本题的关系吗 练习 求前n个正偶数的和 n 1 1 n 1 例2在我国古代 9是数字之极 代表尊贵之意 所以中国古代皇家建筑中包含许多与9相关的设计 例如北京天坛圆丘的地面由扇环形石板铺成 最高一层的中心是一块天心石 围绕它的第一圈有9块石板 从第二圈开始 每一圈比前一圈多9块 共有9圈 请问 1 第9圈有多少块石板 2 前9圈一共有多少块石板 北京天坛圆丘 解 1 设从第1圈到第9圈石板数构成数列 由题意可知是等差数列 其中 故 块 2 由等差数列前n项和公式 方式1 块 答第9圈有81块石板 前9圈一共有405块石板 方式2 块 例2 计算 1 5 6 7 79 80 2 1 3 5 2n 1 3 1 2 3 4 5 6 2n 1 2n n 例题讲解 n2 3230 提示 n 76 法二 例3在等差数列 an 中 已知 求S7 例题讲解 知识打包存放备用 an a1 n 1 d 对于Sn an a1 n d五个量 知三求二 方程 组 思想 待定系数法 倒序求和法 掌握与应用 课堂小结 1 等差数列前n项和的公式 2 等差数列前n项和公式的推导方法 倒序相加法 3 在两个求和公式中 各有五个元素 只要知道其中三个元素 结合通项公式就可求出另两个元素 上页 下页 两个 2 在等差数列 an 中 已知S15 90 那么a8等于 A 3B 4C 6D 12