等差数列前n项和的性质及应用.ppt

等差数列前n项和的性质及应用 2018年3月 知识回顾 1 an 为等差数列 an 更一般的 an d an 1 an d 2an 1 an 2 an a1 n 1 d an an b a b为常数 am n m d 2 等差数列前n项和Sn 复习 等差数列的前n项和公式 1 通项公式与前n项和的关系 例1 已知数列 an 的前n项和为 求这个数列的通项公式 这个数列是等差数列吗 如果是 它的首项与公差分别是什么 分析 所以当n 1时 当n 1时 也满足上式 当n 2时 新课1 令p q r 2p p q 得r 0 等差数列的前n项的最值问题 一 例题 已知等差数列的前n项和为 求使得最大的序号n的值 分析 等差数列的前n项的最值问题 1 数列 an 是等差数列 1 从第几项开始有 2 求此数列前n项和的最大值 练习 小结 an 为等差数列 求Sn的最值 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法1 由S3 S11得 d 2 当n 7时 Sn取最大值49 能力提升 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法2 由S3 S11得 d 2 当n 7时 Sn取最大值49 an 13 n 1 2 2n 15 由 得 已知等差数列 an 中 a1 13且S3 S11 求n取何值时 Sn取最大值 解法3 由S3 S11得 d 2 0 当n 7时 Sn取最大值49 则Sn的图象如图所示 又S3 S11 所以图象的对称轴为 练习1 已知数列 an 的通项为an 26 2n 要使此数列的前n项和最大 则n的值为 A 12B 13C 12或13D 14 C 练习2 等差数列 an 中 则前n项和取最大值时 n为 A 6 B 7 C 6或7 D 以上都不对 C 1 数列 an 是等差数列 作业 新课2 性质1 若Sm p Sp m m p 则Sm p 性质2 若Sm Sp m p 则Sp m 0 m p 等差数列 an 前n项和的性质 两等差数列前n项和与通项的关系 性质3 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为Sn和Tn 则 例1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若S3 9 S6 36 则a7 a8 a9 A 63B 45C 36D 27 B 3 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例2 一个等差数列的前10项的和为100 前100项的和为10 则它的前110项的和为 110 例3 09宁夏 等差数列 an 的前n项的和为Sn 已知am 1 am 1 am2 0 S2m 1 38 则m 10 课堂练习 2 两等差数列 an bn 的前n项和分别是Sn和Tn 且 练习 解 练习 作业 第46页课本习题A组第4 5题 新课3 性质1 Sn S2n Sn S3n S2n 也在等差数列 公差为 在等差数列 an 中 其前n项的和为Sn 则有 性质4 1 若项数为偶数2n 则S2n n a1 a2n n an an 1 an an 1为中间两项 此时有 S偶 S奇 n2d nd 等差数列 an 前n项和的性质 性质4 1 若项数为奇数2n 1 则S2n 1 2n 1 an an为中间项 此时有 S偶 S奇 性质5 为等差数列 an 例2 在等差数列 an 中 已知公差d 1 2 且a1 a3 a5 a99 60 a2 a4 a6 a100 A 85B 145C 110D 90 A 例1 一个等差数列的前12项的和为354 其中项数为偶数的项的和与项数为奇数的项的和之比为32 27 则公差为 5 新课4 例3 设数列 an 的通项公式为an 2n 7 则 a1 a2 a3 a15 153 等差数列 an 前n项和的性质的应用 例8 设等差数列的前n项和为Sn 已知a3 12 S12 0 S13 0 1 求公差d的取值范围 2 指出数列 Sn 中数值最大的项 并说明理由 解 1 由已知得 等差数列 an 前n项和的性质 2 Sn图象的对称轴为 由 1 知 由上得 即 由于n为正整数 所以当n 6时Sn有最大值 Sn有最大值 作业求集合的元素个数 并求这些元素的和 作业1 已知等差数列25 21 19 的前n项和为Sn 求使得Sn最大的序号n的值 2 已知在等差数列 an 中 a10 23 a25 22 Sn为其前n项和 1 问该数列从第几项开始为负 2 求S10 3 求使Sn 0的最小的正整数n 4 求 a1 a2 a3 a20 的值 课堂小结 1 根据等差数列前n项和 求通项公式 2 结合二次函数图象和性质求的最值 3 等差数列 an 前n项和的性质 性质1 Sn S2n Sn S3n S2n 也在等差数列 公差为 在等差数列 an 中 其前n项的和为Sn 则有 性质2 若Sm p Sp m m p 则Sm p 性质3 若Sm Sp m p 则Sp m 性质4 1 若项数为偶数2n 则S2n n a1 a2n n an an 1 an an 1为中间两项 此时有 S偶 S奇 n2d 0 nd m p 性质4 1 若项数为奇数2n 1 则S2n 1 2n 1 an an为中间项 此时有 S偶 S奇 两等差数列前n项和与通项的关系 性质6 若数列 an 与 bn 都是等差数列 且前n项的和分别为Sn和Tn 则 性质5 为等差数列 an 新课5 倒序法求和 倒序相加法 将数列的顺序倒过来排列 与原数列两式相加 若有公因式可提 并且剩余项的和易于求得 这样的数列可用倒序相加法求和 倒序法求和 例1 若 则 的值为 解析 裂项法求和 所谓 裂项法 就是把数列的各项分裂成两项之差 相邻的两 项彼此相消 就可以化简后求和 一些常用的裂项公式 裂项相消法 利用数列周期性求和 有