【优化方案】2012高中数学 第3章3知能优化训练 北师大版选修1-1

专心 爱心 用心1 1 曲线y xn n N N 在x 2 处的导数为 12 则n等于 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 选 C y nxn 1 y x 2 n 2n 1 12 n 3 2 下列结论 若y 则y x 2 若y cosx 则 1 x 2 2 y x 1 若y ex 则y ex 其中正确的个数是 2 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 选 C 正确的是 共有 2 个 故选 C 3 已知函数f x x3的切线的斜率等于 3 则这样的切线有 A 1 条 B 2 条 C 多于 2 条 D 不确定 解析 选 B f x 3x2 令f x 3 即 3x2 3 x 1 故应有 2 条 4 已知f x x2 g x x3 若f x g x 2 则x 解析 f x 2x g x 3x2 于是有 2x 3x2 2 解得x 1 7 3 答案 1 7 3 一 选择题 1 2011 年福州检测 若f x cosx 则f 等于 A sin B cos C 2 sin D sin 解析 选 D f x cosx sinx f sin 2 在曲线y x2上切线倾斜角为的切点是 4 A 0 0 B 2 4 C D 1 4 1 16 1 2 1 4 解析 选 D 设切点为 x0 x 倾斜角为 2 0 4 y 2x0 1 x0 故切点为 1 2 1 2 1 4 3 已知函数f x ax 且f e 4 则a A 4 B 4 e 1 e C e 4 D 4 1 e 解析 选 D f x axlna f e ae 4 a 4 1 e 专心 爱心 用心2 4 曲线f x x5上一点M处的切线与直线y x 3 垂直 则该切线方程为 1 5 A 5x 5y 4 0 B 5x 5y 4 0 C 5x 5y 4 0 D 5x 5y 4 0 解析 选 D 因为切线与直线y x 3 垂直 所以切线的斜率为 1 又f x x4 x4 1 x 1 当x 1 时 切点为 切线方程为 5x 5y 4 0 1 1 5 当x 1 时 切点为 切线方程为 5x 5y 4 0 1 1 5 5 若函数f x 的导数为f x sin x 则函数图像在点 4 f 4 处的切线的倾 斜角为 A 90 B 0 C 锐角 D 钝角 解析 选 C 由导数的几何意义知函数f x 在点 4 f 4 处的切线斜率为f 4 sin 4 0 此切线的倾斜角为锐角 6 2010 年高考大纲全国卷 若曲线y x 在点 a a 处的切线与两个坐标轴 1 2 1 2 围成的三角形的面积为 18 则a A 64 B 32 C 16 D 8 解析 选 A 求导得y x x 0 所以曲线y x 在点 a a 处的切线l 1 2 3 2 1 2 1 2 的斜率k a 由点斜式得切线的方程为y a a x a 易求得直线l 1 2 3 2 1 2 1 2 3 2 与x轴 y轴的交点分别为 3a 0 所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面 0 3 2a 1 2 积S 3a a a 18 解得a 64 1 2 3 2 1 2 9 4 1 2 二 填空题 7 1 已知函数f x 则f 0 1 5 2 已知函数f x xn 且f 1 2 则n 解析 1 因为f x 0 所以f 0 0 2 由公式得f x nxn 1 所以f 1 n 2 即n 2 答案 0 2 8 已知 0 x f x x2 g x 则f x 与g x 之间的大小关系是 1 4x 解析 f x 2x g x 因为 0 x 所以f x 2x g x 1 2x 1 4 0 1 2 1 1 2x 所以f x g x 答案 f x g x 9 若曲线y x2 1 的一条切线平行于直线y 4x 3 则这条切线的方程为 解析 f x lim x 0 f x x f x x 专心 爱心 用心3 lim x 0 x x 2 1 x2 1 x lim x 0 2x x x 2 x 2x x 2x lim x 0 设切点坐标为 x0 y0 则由题意知 f x0 4 即 2x0 4 x0 2 代入曲线方程得y0 3 故该切线过点 2 3 且斜率为 4 这条切线的方程为y 3 4 x 2 即 4x y 5 0 答案 4x y 5 0 三 解答题 10 求下列函数的导数 1 y 2 2 y 3 y 10 x 4 x3 4 y logx 5 y 2cos2 1 1 3 x 2 解 1 y c 0 y 2 0 2 y xn n xn 1 y x x 1 4 x3 3 4 3 4 3 4 x 3 4 1 4 3 44x 3 y ax ax lna y 10 x 10 x ln10 4 y logax 1 x lna y logx 1 3 1 x ln1 3 1 x ln3 5 y 2cos2 1 cosx x 2 y cosx sinx 11 求曲线y 与y x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积 1 x 解 由Error 解得交点为 1 1 而 x2 2x 斜率分别为 1 和 2 1 x 1 x2 切线方程分别为y 1 x 1 及y 1 2 x 1 令y 0 得与x轴交点为 2 0 及 1 2 0 S 1 1 2 2 1 2 3 4 12 点P是曲线y ex上任意一点 求点P到直线y x的最小距离 解 由已知设平行于直线y x的直线与曲线y ex相切于点 x0