【三维设计】2013届高考数学一轮复习 热点难点突破 不拉分系列（三）攻克抽象函数的五类问题 新人教版

1 三维设计三维设计 2013 2013 届高考数学一轮复习届高考数学一轮复习 热点难点突破热点难点突破 不拉分系列不拉分系列 三 攻克抽象函数的五类问题 三 攻克抽象函数的五类问题 新人教版新人教版 抽象函数是高中数学的难点 大多数同学感 觉找不着头绪 对抽象函数的研究往往要通过函 数的性质来体现 如函数的奇偶性 单调性和周 期性 利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函 数问题的重要策略 下面从 5 个不同的方面来探 寻一些做题的规律 1 抽象函数的定义域 抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域 利用代换法得到不等式 组 进行求解 典例 1 已知函数y f x 的定义域是 0 8 则函数g x 的定 f x2 1 2 log2 x 1 义域为 解析 要使函数有意义 需使Error 即Error 则 1 x 3 所以函数的定义域为 1 3 答案 1 3 题后悟道 函数y f g x 的定义域的求法 常常通过换元设t g x 根据函数 y f t 的定义域 得到g x 的范围 从而解出x的范围 在求函数的定义域时要兼顾函 数的整体结构 使得分式 对数等都要有意义 2 抽象函数的函数值 典例 2 文 定义在 R 上的函数f x 满足f x y f x f y 2xy x y R f 1 2 则f 2 A 2 B 3 C 6 D 9 解析 令x y 0 得f 0 0 令x y 1 得f 2 2f 1 2 6 由 0 f 2 2 f 2 f 2 8 得f 2 2 2 答案 A 典例 2 理 已知定义在 R 上的单调函数f x 满足 存在实数x0 使得对于任意实 数x1 x2 总有f x0 x1 x0 x2 f x0 f x1 f x2 恒成立 求 1 f 1 f 0 2 x0的值 解 1 因为对于任意实数x1 x2 总有f x0 x1 x0 x2 f x0 f x1 f x2 恒成立 令x1 1 x2 0 得f x0 f x0 f 0 f 1 所以f 0 f 1 0 2 令x1 0 x2 0 得f 0 f x0 2f 0 即f x0 f 0 故f x0 f 1 又因为f x 是单调函数 所以x0 1 题后悟道 抽象函数求函数值往往要用赋值法 需要结合已知条件 通过观察和多 次尝试寻找有用的取值 挖掘出函数的性质 特别是借助函数的奇偶性和函数的周期性来 转化解答 3 抽象函数的奇偶性 函数的奇偶性就是要判断 x对应的函数值与x对应的函数值之间的关系 从而得到 函数图象关于原点或y轴对称 结合函数的图形作出进一步的判断 典例 3 已知函数f x 对任意x y R 都有f x y f x y 2f x f y 且 f 0 0 求证 f x 是偶函数 证明 取x 0 y 0 得 2f 0 2f2 0 因为f 0 0 所以f 0 1 再取 x 0 得f y f y 2f 0 f y 2f y 所以f y f y 所以函数f x 是偶 函数 题后悟道 在利用奇偶函数的定义进行判断时 等式中如果还有其他的量未解决 例如本题中的f 0 还需要令x y取特殊值进行求解 4 抽象函数的单调性与抽象不等式 高考对于抽象函数的单调性的考查一直是个难点 常出现一些综合性问题 利用导数 进行判断求解 并对所含的参数进行分类讨论或者根据已知条件确定出参数的范围 再根 据单调性求解或证明抽象不等式问题 结合本节例 2 2 学习 5 抽象函数的周期性 有许多抽象函数都具有周期性 特别是在求自变量值较大的函数值时 就要考虑寻找 函数的周期 从而利用周期把函数值转化为已知求出 典例 4 已知函数f x 满足 f 1 4f x f y f x y f x y x y R 1 4 则f 2 014 解析 取x n y 1 有f n f n 1 f n 1 同理f n 1 f n 2 f n 3 联立 得f n 2 f n 1 所以f n 3 f n f n 6 f n 3 f n 所以函数的周期为T 6 故f 2 014 f 4 f 1 1 4 答案 1 4 题后悟道 判断抽象函数的周期性时 给一个变量赋值是关键 但由于函数的周期 性是函数的整体