《导学教程》高三数学二轮复习教案-专题四-第2讲-空间中的平行与垂直

第 2 讲 空间中的平行与垂直 自主学习导引 真题感悟 1 2012 浙江 设 l 是直线 是两个不同的平面 A 若 l l 则 B 若 l l 则 C 若 l 则 l D 若 l 则 l 解析 利用线与面 面与面的关系定理判定 用特例法 设 a 若直线 l a 且 l l 则 l l 因此 不一定平行于 故 A 错误 由于 l 故在 内存在直线 l l 又因为 l 所以 l 故 所以 B 正确 若 在 内作交线的垂线 l 则 l 此时 l 在平面 内 因此 C 错误 已知 若 a l a 且 l 不在平面 内 则 l 且 l 因此 D 错误 答案 B 2 2012 江苏 如图 在直三棱柱 ABCA1B1C1中 A1B1 A1C1 D E 分别是棱 BC CC1 上的点 点 D 不同于点 C 且 AD DE F 为 B1C1的中点 求证 1 平面 ADE 平面 BCC1B1 2 直线 A1F 平面 ADE 证明 1 因为 ABC A1B1C1是直三棱柱 所以 C C1 平面 ABC 又 AD 平面 ABC 所以 C C1 AD 又因为 AD DE C C1 DE 平面 BC C1 B1 C C1 DE E 所以 AD 平面 BC C1 B1 又 AD 平面 ADE 所以平面 ADE 平面 BC C1 B1 2 因为 A1 B1 A1 C1 F 为 B1 C1的中点 所以 A1F B1 C1 因为 C C1 平面 A1 B1 C1 且 A1F 平面 A1 B1 C1 所以 C C1 A1F 又因为 C C1 B1 C1 平面 BC C1 B1 C C1 B1 C1 C1 所以 A1F 平面 BC C1 B1 由 1 知 AD 平面 BC C1 B1 所以 A1F AD 又 AD 平面 ADE A1F 平面 ADE 所以 A1F 平面 ADE 考题分析 空间线面位置关系的判定与证明是高考的必考考点 多以选择题与解答题的形式出现 难度 中等 解答高考题时 推理过程不完整是失分的重要原因 需引起特别注意 网络构建 高频考点突破 考点一 线线 线面的平行与垂直 例 1 如图 在平行四边形 ABCD 中 CD 1 BCD 60 且 BD CD 正方形 ADEF 所在平面与平面 ABCD 垂直 G H 分别是 DF BE 的中点 1 求证 BD 平面 CDE 2 求证 GH 平面 CDE 3 求三棱锥 D CEF 的体积 审题导引 1 先证 BD ED BD CD 可证 BD 平面 CDE 2 由 GH CD 可证 GH 平面 CDE 3 变换顶点 求 VC DEF 规范解答 1 证明 四边形 ADEF 是正方形 ED AD 又平面 ADEF 平面 ABCD 平面 ADEF 平面 ABCD AD ED 平面 ABCD ED BD 又 BD CD 且 ED DC D BD 平面 CDE 2 证明 G 是 DF 的中点 又易知 H 是 FC 的中点 在 FCD 中 GH CD 又 CD 平面 CDE GH 平面 CDE GH 平面 CDE 3 设 Rt BCD 中 BC 边上的高为 h CD 1 BCD 60 BD CD BC 2 BD 2 h 1 3 1 2 1 23 h 即点 C 到平面 DEF 的距离是 3 2 3 2 VD CEF VC DEF 2 2 1 3 1 2 3 2 3 3 规律总结 线线 线面位置关系证法归纳 1 证线线平行常用的方法 一是利用平行公理 即证两直线同时和第三条直线平行 二是 利用平行四边形进行平行转换 三是利用三角形的中位线定理证线线平行 四是利用线面平 行 面面平行的性质定理进行平行转换 2 证线面平行常用的两种方法 一是利用线面平行的判定定理 把证线面平行转化为证线 线平行 二是利用面面平行的性质 把证线面平行转化为证面面平行 3 证线面垂直常用的方法 一是利用线面垂直的判定定理 把证线面垂直转化为证线线垂 直 二是利用面面垂直的性质定理 把证面面垂直转化为证线面垂直 另外还要注意利用教 材中的一些结论 如 两条平行线中的一条垂直于一个平面 则另一条也垂直于这个平面 等 变式训练 1 2012 山东实验中学一诊 如图 在几何体 ABCDEP 中 底面 ABCD 是边长为 4 的正 方形 PA 平面 ABCD PA EB 且 PA 2BE 4 2 1 证明 BD 平面 PEC 2 若 G 为 BC 上的动点 求证 AE PG 证明 1 连接 AC 交 BD 于点 O 取 PC 的中点 F 连接 OF EF EB PA 且 EB PA 1 2 又 OF PA 且 OF PA 1 2 EB OF 且 EB OF 四边形 EBOF 为平行四边形 EF BD 又 EF 平面 PEC BD 平面 PEC BD 平面 PEC 2 连接 BP EB AB BA PA 1 2 EBA BAP 90 EBA BAP PBA BEA PBA BAE BEA BAE 90 PB AE PA 平面 ABCD PA 平面 APEB 平面 ABCD 平面 APEB BC AB 平面 ABCD 平面 APEB AB BC 平面 APEB BC AE AE 平面 PBC G 为 BC 上的动点 PG 平面 PBC AE PG 考点二 面面平行与垂直 例 2 如图所示 已知在三棱锥 A BPC 中 AP PC AC BC M 为 AB 的中点 D 为 PB 的中点 且 PMB 为正三角形 1 求证 DM 平面 APC 2 求证 平面 ABC 平面 APC 3 若 BC 4 AB 20 求三棱锥 D BCM 的体积 审题导引 1 只要证明 MD AP 即可 根据三角形中位线定理可证 2 证明 AP BC 3 根据锥体体积公式进行计算 规范解答 1 证明 由已知 得 MD 是 ABP 的中位线 所以 MD AP 又 MD 平面 APC AP 平面 APC 故 MD 平面 APC 2 证明 因为 PMB 为正三角形 D 为 PB 的中点 所以 MD PB 所以 AP PB 又 AP PC PB PC P 所以 AP 平面 PBC 因为 BC 平面 PBC 所以 AP BC 又 BC AC AC AP A 所以 BC 平面 APC 因为 BC 平面 ABC 所以平面 ABC 平面 APC 3 由题意 可知 MD 平面 PBC 所以 MD 是三棱锥 D BCM 的一条高 所以 VM DBC S BCD MD 2 5 10 1 3 1 32137 规律总结 面面平行与垂直的证明技巧 在立体几何的平行关系问题中 中点 是经常使用的一个特殊点 无论是试题本身的已知 条件 还是在具体的解题中 通过找 中点 连 中点 即可出现平行线 而线线平行是 平行关系的根本 在垂直关系的证明中 线线垂直是问题的核心 可以根据已知的平面图形 通过计算的方式证明线线垂直 也可以根据已知的垂直关系证明线线垂直 其中要特别重视 两个平面垂直的性质定理 这个定理已知的是两个平面垂直 结论是线面垂直 变式训练 2 如图 在四棱锥 P ABCD 中 平面 PAD 平面 ABCD AB AD BAD 60 E F 分别是 AP AD 的中点 求证 1 直线 EF 平面 PCD 2 平面 BEF 平面 PAD 证明 1 在 PAD 中 因为 E F 分别为 AP AD 的中点 所以 EF PD 又因为 EF 平面 PCD PD 平面 PCD 所以直线 EF 平面 PCD 2 如图 连接 BD 因为 AB AD BAD 60 所以 ABD 为正三角形 因为 F 是 AD 的中点 所以 BF AD 因为平面 PAD 平面 ABCD 平面 PAD 平面 ABCD AD BF 平面 ABCD 所以 BF 平面 PAD 又因为 BF 平面 BEF 所以平面 BEF 平面 PAD 考点三 平面图形的折叠问题 例 3 2012 南京模拟 在 ABC 中 BAC 90 B 60 AB 1 D 为线段 BC 的 中点 E F 为线段 AC 的三等分点 如图 1 将 ABD 沿着 AD 折起到 AB D 的位置 连接 B C 如图 2 图 1 图 2 1 若平面 AB D 平面 ADC 求三棱锥 B ADC 的体积 2 记线段 B C 的中点为 H 平面 B ED 与平面 HFD 的交线为 l 求证 HF l 3 求证 AD B E 审题导引 1 解题的关键是根据折叠前后的线面位置关系求得 B 到平面 ADC 的距离 可 利用线面垂直求得 2 线面平行 线线平行 3 线面垂直 线线垂直 规范解答 1 在直角 ABC 中 D 为 BC 的中点 所以 AD BD CD 又 B 60 所以 ABD 是等边三角形 取 AD 中点 O 连接 B O 所以 B O AD 因为平面 AB D 平面 ADC 平面 AB D 平面 ADC AD B O 平面 AB D 所以 B O 平面 ADC 在 ABC 中 BAC 90 B 60 AB 1 D 为 BC 的中点 所以 AC B O 3 3 2 所以 S ADC 1 1 2 1 23 3 4 所以三棱锥 B ADC 的体积为 V S ADC B O 1 3 1 8 2 证明 因为 H 为 B C 的中点 F 为 CE 的中点 所以 HF B E 又 HF 平面 B ED B E 平面 B ED 所以 HF 平面 B ED 因为 HF 平面 HFD 平面 B ED 平面 HFD l 所以 HF l 3 证明 由 1 知 B O AD 因为 AE AO DAC 30 3 3 1 2 所以 EO AE2 AO2 2AE AOcos 30 3 6 所以 AO2 EO2 AE2 所以 AD EO 又 B O 平面 B EO EO 平面 B EO B O EO O 所以 AD 平面 B EO 又 B E 平面 B EO 所以 AD B E 规律总结 解决翻折问题的注意事项 1 解决与翻折有关的几何问题的关键是搞清翻折前后哪些量改变 哪些量不变 抓住翻折 前后不变的量 充分利用原平面图形的信息是解决问题的突破口 2 把平面图形翻折后 经过恰当连线就能得到三棱锥 四棱锥 从而把问题转化到我们熟 悉的几何体中去解决 变式训练 3 如图 1 直角梯形 ABCD 中 AD BC ABC 90 E F 分别为 AD 和 BC 上的点 且 EF AB AD 2AE 2AB 4FC 4 将四边形 EFCD 沿 EF 折起成如图 2 的形状 使 AD AE 1 求证 BC 平面 DAE 2 求四棱锥 D AEFB 的体积 解析 1 证明 BF AE CF DE BF CF F AE DE E 平面 CBF 平面 DAE 又 BC 平面 CBF BC 平面 DAE 2 取 AE 的中点 H 连接 DH EF DE EF EA EF 平面 DAE 又 DH 平面 DAE EF DH AE DE AD 2 DH AE DH 3 DH 平面 AEFB 则四棱锥 D AEFB 的体积 V 2 2 1 33 4 3 3 名师押题高考 押题 1 已知直线 a b 与平面 且 b 则下列命题中正确的是 若 a 则 a b 若 a b 则 a 若 b 则 若 则 b A B C D 解析 命题 若 a 过直线 a 作一平面 使得 c 则由线面平行的性质定理可得 a c 又因为 b c 所以 b c 故有 a b 所以该命题为真 命题 若 a b b 则直线 与平面 的位置关系有两种 a 或 a 故该命题为假 命题 若 b 则过直线 b 作一平面 使得 d 则由线面平行的性质定理可得 b d 又 b 所以 d 因为 d 所以由面面垂直的判定定理可得 故该命题 为真 命题 若 b 则直线 b 与平面 的位置关系有两种 b 或 b 故该 命题为假 综上 为真命题 故选 A 答案 A 押题依据 线面的平行与垂直 是立体几何的主体内容 在高考试题中通常会有一道解答 题和一道选择题或填空题 主要考查线面位置关系的判定与性质 一般难度不大 押题 2 如图 在三棱锥 A BOC 中 AO 平面 COB OAB OAC AB AC 2 BC D E 分别为 AB OB 的中点 62 1 求证 CO 平面 AOB 2 在线段 CB 上是否存在一点 F 使得平面 DEF 平面 AOC 若存在 试确定 F 的位 置 若不存在 请说明理由 解析 1 证明 因为 AO 平面 COB 所以 AO CO AO BO 即 AOC 与 AOB 为直角三角形 又因为 OAB OAC AB AC 2 6 所以 OB OC 1 由 OB2 OC2 1 1 2 BC2 可知 BOC 为直角三角形 所以 CO BO 又因为 AO BO O 所以 CO 平面 AOB 2 在线段 CB 上存在一点 F 使得平面 DEF 平面 A