试验设计与数据处理-宋文君

试验设计与数据处理试验设计与数据处理 论文论文 一 摘要一 摘要 本书结合大量实例 介绍了一些常用的试验设计及试验数据处理方法在科学试 验和工业生产中的实际应用 并介绍了计算机在试验数据处理中的强大功能 实验设计与 数据分析 课程是以概率论数理统计 专业技术知识和实践经验为基础 经济 科学地安 排试验 并对试验数据进行计算分析 最终达到减少试验次数 缩短试验周期 迅速找到 优化方案的一种科学计算方法 二 数据处理的分析与表示数据处理的分析与表示 1 1 列表法列表法 它是将实验数据按一定规律用列表方式表达出来是记录和处理实验数据最常用 的方法 表格的设计要求对应关系清楚 简单明了 有利于发现相关量之间的物理关系 此外还要求在标题栏中注明物理量名称 符号 数量级和单位等 2 2 图示法图示法 作图法可以最醒目地表达物理量间的变化关系 从图线上还可以简便求出实验 需要的某些结果 如直线的斜率和截距值等 读出没有进行观测的对应点 内插法 或 在一定条件下从图线的延伸部分读到测量范围以外的对应点 外推法 此外 还可以把某 些复杂的函数关系 通过一定的变换用直线图表示出来 例如半导体热敏电阻的电阻与温 度关系为 取对数后得到 若用半对数坐标纸 以 lg 为纵轴 以 为横轴画图 则 为一条直线 3 3 逐差法 逐差法 对于自变量等间距变化的数据组 常采用逐差法处理一元线性拟合问题 逐差 法与作图法相比 它不像作图法拟合直线具有较大的随意性 比最小二乘法计算简单而结 果相近 在物理实验中是常用的数据处理方法 设实验数据组 xi yi 具有线性关系 xi按等间距变化 并且其测量误差远小于 y 的测量误差 最后将得出的方 差分析 回归分析等结论和处理方法直接应用到试验设计方法中 4 4 方差分析方差分析 1 概念 方差分析是用来检验两个或两个以上样本的平均值差异的显著程度 并由 此判断样本究竟是否抽自具有同一均值的总体 2 优点 方差分析对于比较不同生产工艺或设备条件下产量 质量的差异 分析不同 计划方案效果的好坏和比较不同地区 不同人员有关的数量指标差异是否显著时 是非常有用的 3 缺点 对所检验的假设会发生错判的情况 比如第一类错误或第二类错误的发生 4 基本原理 方差分析的基本思路是一方面确定因素的不同水平下均值之间的方差 把它作为对由所有试验数据所组成的全部总体的方差的第一个估计值 另一方面再 考虑在同一水平下不同试验数据对于这一水平的均值的方差 由此计算出对由所 有试验数据所组成的全部数据的总体方差的第二个估计值 比较上述两个估计值 如果这两个方差的估计值比较接近就说明因素的不同水平下的均值间的差异并不大 就接受零假设 否则 说明因素的不同水平下的均值间的差异比较大 5 数据处理基本步骤 定义总离差和为各样本观测值与总均值的离差平方和 2 11 kn Tij ij SSXX 其中 样本均值 即 X 11 1 kn ij ij XX N 式中 样本观测值总数 Nnk 对离差平方和分解如下 2 11 kn Tij ij SSXX 11 22 1111 2 kn ijii ij knkkn ijiiijii ijiij XXXX XXn XXXXXX 式中 第 个样本的均值即 i X i 1 1 n iij j XX n 交叉项 1 2 kn ijii ij XXXX 11 1 2 2 0 kn iiji ij k iii i XXXX XXn Xn X 令 2 1 k Ti i SSn XX 2 11 kn Eiji ij SSXX 其中 刻画了全部次试验中纯粹由随机因素影响所产生的离差平方和 简称为组内 E SS n 平方和 也称为误差平方和 刻画了因素水平的差异对数据离散型的作用 称为组 R SS A 间平方和 或因素平方和 例如例如 四种不同灯丝配料方案数据如下 问灯丝配料方案对灯泡使用寿命有无显著影响 解 运用方差分析发得总试验次数 1234 26 4 7 5 8 6Nknnnn 计算如下 7586 1234 1111 11760 8310 13090 9410 ijijijij jjjj TXTXTXTX 7586 2222 1234 1111 19785400 13828100 21503700 14778700 ijijijij jjjj QXQXQXQX 2 1111 42570 69895900 knkn ijij ijij TXQX 2 195711 54 T T SSQ N 2 4 1 151350 83 i E i T SSQ N RTE SSSSSS 将上述各项计算出结果后 可利用方差分析表进行方差分析 表 1 方差分析表 灯泡品种 试验结果 h 1600 1610 1650 1680 1700 1720 1800 1 A 1580 1640 1640 1700 1750 2 A 1460 1550 1600 1620 1640 1660 1740 1820 3 A 1510 1520 1530 1570 1600 1680 4 A 方差来源 离差平方和 自由度 均方差 统计检验量 显著性 配料方案 44360 71 3 14786 90 2 15 误差 15135 83 22 6879 58 总方差 195711 54 25 6 结论 从分布表中差得 因为故接受 即 F 0 5 3 22 3 05F 0 5 3 22 FF 0 H 可认为灯丝不同配料方案对灯泡使用寿命无显著影响 亦可说明各方案都可制作灯泡 但 在实际生产中可选用工艺简单 造价经济的配料方案 进行方差分析的目的也在此 三 试验设计三 试验设计 1 1 优选法优选法 单因素优选法主要有 1 1 平均法 平均法 在确定因素范围的中点处做实验 每做一次试验后 根据试验点目标函 数值的高低 就可以决定去掉左半边或右半边范围 在留下范围内的中心处在试验 用同 样的方法决定去留和留下的区间 再反复的试验下去 直到达到要求 平分法 根据试验点的目标函数值来决定舍弃半个因素范围 优点 每次试验可去掉试验范围的一半 试验次数大大减少 适用情况 每次试验的 结果能直接分析出该因素的值是取大了还是取小了的情况 2 2 斐波纳奇法基本思想与 0 618 法一样 不同 0 618 法按一定比例常数 0 618 来缩 短范围 而斐按不同比例 斐波纳奇数 缩短范围 斐波纳奇法优点 a 给定试验次数时 可使区间缩短为最小 最优搜索法 b 这种方 法是序贯法 它是限定试验次数并且每次做一个试验的最优方法 c 算法简单 适用于计 算机计算 3 3 黄金分割法步骤 黄金分割法步骤 a 确定试验范围 a b b 选定试验点 0 618 0 382 c 根 据留好去坏原则 对比试验结果 缩小试验范围 d 在新的范围内安排试验 e 重复上述 过程至满意结果 0 618 法 黄金分割法 优点 有效减少试验次数 适用范围 指数函数为单峰函数 预给要求法适用范围 1 如能预先确定总的试验次数 2 预先限定了试验的批数和每批 试验双因素的设计理论也接触了很多 2 2 正交试验设计正交试验设计 1 基本思想 正交试验设计利用正交表即可对试验进行合理安排 挑选少数具有代表性 的组合处理试验 以少代多 又可对实施的少数个组合处理结果进行科学的分析 做出 正确的结论 以少求全 2 优点 正交试验设计从全面试验中挑选部分试验点进行试验 减少试验次数 且试验 点均匀分散 整齐可比 3 缺点 为了照顾整齐可比 试验点有时不能保证均匀分散 且试验点的数目就会比较 多 试验次数随水平数的平方而增加 4 表示符号 其中是正交表代号 是行数 安排试验次数 是因素水 q n L t Lnt 平数 是列数 最多安排因素个数 q 5 性质 1 表中任何一列 各水平都出现 且出现次数相等 2 表中任意两列之间 各种不同水平的所有可能组合都出现 且出现 的次数相等 6 正交试验设计步骤 1 明确试验目的 确定试验指标 2 挑选因素与水平 制定因素水平表 3 选择正交表 并进行表头设计 4 确定试验方案 3 均匀实验设计均匀实验设计 1 概念 均匀实验设计就是只考虑试验点在试验范围 是部分因子设计的主要方法之 一 它适用于多因素多水平的试验设计场合 试验次数等于因素的水平数 是大幅 度减少试验次数的一种优良的试验设计方案 2 特点 1 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验 2 任两个因素的试验点点在格子上 每行每列有且仅有一个试验点 且 这两点反映了试验安排的均衡性 3 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价 4 当因素的水平数增加时 试验数按水平数的增加在增加 3 思想 均匀试验设计沿用近 30 年来发展起来的 回归设计 方法 运用控制论中的 黑箱 思想 把整个过程看作一个 黑箱 把参与试验的因素 通过运用均 12 n x xx 匀设计法安排试验 并作为系统的输入参数而把试验指标 结果 作为输出参数 如 Y 图 1 所示 1 x 2 x Y n x 图 1 试验因素 输入 与试验指标 输出 系统 在数学上可以把输出参数与输入参数的关系用函数式表示 Y 1 2 i x in 12 n Yf x xx 函数的模型对不同的系统可根据理论或凭经验进行假设 然后根据试验结果运用回归 分析等方法确定模型中的系数 4 优点 均匀设计 方法的思路是去掉 整齐 可比的要求 通过提高试验点 均匀分 系 统 黑箱 散 的程度 使试验点具有更好的代表性 使得能用较少的试验获得较多的信息 5 表示符号 其中 表示均匀设计 小标 表示要做次 mm nn UnUn或 Unn 试验 括号中 表示每个因素有个水平 试验时水平数可以小于试验次数 但必须 nn 能被试验次数整除 表示该表有个因素 列 的右上角加 和不加 mmU 分别代表两种不同类型的均匀设计表 示例 表 4 3 5 5 U 1 2 3 1 1 2 4 2 2 4 3 3 3 1 2 1 4 4 3 1 5 5 5 5 的使用表 3 5 5 U 例题 考虑一个三状态和两状态以及之定性因素的均匀设计 我们 123 A A A 12 B B 12 C C 选的表如下所示 3 6 3 2 U 因素数 列号 D 2 1 2 0 3100 3 1 2 3 0 4570 ABCY 状态对应 3 个特征变量选其中 2 个 状态对应 2 个特征变 A 111213 ZZZ 1112 ZZ B 量 选 状态对应 2 个特征变量 取 这是可列出含有 4 个虚 2122 ZZ 21 Z C3132 ZZ 31 Z 拟变量的回归方程为 01111121221213131 Ykk Zk Zk Zk Ze 建立回归方程后再求解即可 6 均匀试验设计应特别注意的问题均匀试验设计应特别注意的问题 a 试验次数为奇数时的均匀试验设计表的问题 对策之一在因素排列水平不变的条件下 将均匀设计表中某些列从上到下的水平号码做适当的调整 也就是将原来最后一个水平与 第一个水平衔接起来 组成一个封闭圈 然后从任意一处开始定为第一水平 按原方向或 相反方向排出第二水平 第三水平等等 对策之二改变因素水平的排列