不等式的证明测试题及答案

1 不等式的证明不等式的证明 班级 姓名 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 若 a 0 b 0 则 的最小值是 11 ba ba A 2B C D 42224 2 分析法证明不等式中所说的 执果索因 是指寻求使不等式成立的 A 必要条件B 充分条件 C 充要条件D 必要或充分条件 3 设 a b 为正数 且 a b 4 则下列各式中正确的一个是 A B C D 1 11 ba 1 11 ba 2 11 ba 2 11 ba 4 已知 a b 均大于 1 且 logaC logbC 4 则下列各式中 一定正确的是 A ac bB ab cC bc aD ab c 5 设 a b 则 a b c 间的大小关系是 237 26 c A a b cB b a cC b c aD a c b 6 已知 a b m 为正实数 则不等式 b a mb ma A 当 a b 时成立 C 是否成立与 m 无关D 一定成立 7 设 x 为实数 P ex e x Q sinx cosx 2 则 P Q 之间的大小关系是 2 A P QB P QC P QD P b 且 a b b 2 lg a b 0 2a 2b 1同时成立的 a b 1 的大小关系是 1 b a 14 建造一个容积为 8m3 深为 2m 的长方体无盖水池 如果池底和池壁的造价每平方米分 别为 120 元和 80 元 则水池的最低总造价为 元 三 解答题 15 1 若 a b c 都是正数 且 a b c 1 求证 1 a 1 b 1 c 8abc 2 已知实数 已知实数满足满足 且有 且有 a b cabc 222 1 1abcabc 3 求证 求证 4 1 3 ab 16 设的大小 12 分 2 1 loglog 2 1 0 1 0 t ttaa aa 与试比较 17 1 求证 求证 222 33 abcabc 2 已知 a b c 都是正数 且 a b c 成等比数列 求证 2222 cbacba 18 1 已知 x2 a2 b2 y2 c2 d2 且所有字母均为正 求证 xy ac bd 2 已知已知 且 且 x y zR 222 8 24xyzxyz 求证 求证 444 3 3 3 333 xyz 4 19 设计一幅宣传画 要求画面面积为 4840cm2 画面的宽与高的比为 b 1 14 1760 2 14 a 9 三 解答题 本大题共 6 题 共 76 分 15 12 分 证明 因为 a b c 都是正数 且 a b c 1 所以 1 a 1 b 1 c b c a c a b 2 2 2 8abc bcacab 16 12 分 解析 t t t t aaa 2 1 loglog 2 1 log 6 当且仅当 t 1 时时等号成立 ttt21 0 1 2 1 t t 1 当 t 1 时 2 当时 t t aa log 2 1 log 1 t1 2 1 t t 若 t t t t a aaa log 2 1 2 1 log 0 2 1 log 1 则 若 t t t t a aaa log 2 1 2 1 log 0 2 1 log 10 则 17 12 分 证明 左 右 2 ab bc ac a b c 成等比数列 acb 2 又 a b c 都是正数 所以 acb 0 ca ca 2 bca 0 2 2 2 2 bcabbbcabacbcab 2222 cbacba 18 12 分 证法一 分析法 a b c d x y 都是正数 要证 xy ac bd 只需证 xy 2 ac bd 2 即 a2 b2 c2 d2 a2c2 b2d2 2abcd 展开得 a2c2 b2d2 a2d2 b2c2 a2c2 b2d2 2abcd 即 a2d2 b2c2 2abcd 由基本不等式 显然成立 xy ac bd 证法二 综合法 xy 222222222222 dbdacbcadcba bdacbdacdbabcdca 22222 2 证法三 三角代换法 x2 a2 b2 不妨设 a xsin b xcos y2 c2 d2 c ysin d ycos ac bd xysin sin xycos cos xycos xy 19 14 分 解析 设画面高为 x cm 宽为x cm 则x2 4840 设纸张面积为 S 有 S x 16 x 10 x 2 16 10 x 160 S 5000 44 5 10 当 8 1 8 5 8 5 5 取得最小值时即S 此时 高 宽 88 4840 cmx 5588 8 5 cmx 7 答 画面高为 88cm 宽为 55cm 时 能使所用纸张面积最小 20 14 分 I 证明 由及可归纳证明 没有证明过程不扣分 0 1 ax 2 1 1 n nn x a xx 0 n x 从而有 所以 当成立 2 1 1 Naa x a x x a xx n n n nn axn 2时 II 证法一 当 2 1 0 2 1 n nnn x a xxaxn 因为时 所以 故当 0 2 1 2 1 2 1 n n n n nnn x xa x x a xxx 2 1成立 时 nn xxn 证法二 当 2 1 0 2 1 n nn x a xxaxn 因为时 所以 故当 1 22 2 1 2 22 2 2 1 n nn n n n n n n n xx x ax x x a x x x 成立时 1 2 nn xxn 2 证明 证明 2222222 111 abcabc 2222 39 abcabc 即即 222 33 abcabc 4 证明 证明 222 2 1 2 abab abc abcc 是方程是方程的两个不等实根 的两个不等实根 a b 22 1 0 xc xcc 则则 得 得 22 1 4 0ccc 1 1 3 c 而而 2 0ca cbcab cab 即即 得 得 22 1 0cc ccc 2 0 3 cc 或 所以所以 即 即 1 0 3 c