第一讲：代数式与恒等变形

第第 1 章章 代数式与恒等变形代数式与恒等变形 1 1 四个公式四个公式 知识衔接 在初中 我们学习了实数与代数式 知道代数式中有整式 分式 根式 它们具有类 似实数的属性 可以进行运算 在多项式乘法运算中 我们学习了乘法公式 如 平方差 公式 完全平方公式 并且知道乘法公式 22 bababa 222 2 bababa 在整式的乘除 数值计算 代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用 而在高中阶段的学习中 将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式 的内容 知识延展 1 多项式的平方公式 acbcabcbacba222 2222 2 立方和公式 3322 babababa 3 立方差公式 3322 babababa 4 完全立方公式 32233 33 babbaaba 注意注意 1 公式中的字母可以是数 也可以是单项式或多项式 2 要充分认识公式自身的价值 在多项式乘积中 正确使用乘法公式能提高运算速度 减少运算中的失误 3 对公式的认识应当从发现 总结出公式的思维过程中学习探索 概括 抽象的科学 方法 4 由于公式的范围在不断扩大 本章及初中所学的仅仅是其中最基本 最常用的几个 公式 一 计算和化简 例 1 计算 222 babababa 变式训练 化简 62222 yxyyxxyyxyxyx 二 利用乘法公式求值 例 2 已知 求的值 013 2 xx 3 3 1 x x 变式训练 已知且 求的值 3 cba2 acbcab 222 cba 三 利用乘法公式证明 例 3 已知求证 0 0 333 cbacba0 200920092009 cba 变式训练 已知 求证 2222 32 14cbacba 3 2 1 cba 习题精练 1 化简 322 babababa 2 化简 1 1 1 1 1 1 12622 aaaaaaaa 3 已知且 求代数式的值 10 yx100 33 yx 22 yx 4 已知 求代数式21 20 1 19 20 1 20 20 1 xcxbxa 的值 acbcabcba 222 5 已知 求证 3 2222 zyxzyx zyx 6 已知且均为正数 求证 以为边的四边形abcddcba4 4444 dcba dcba 为菱形 1 2 因式分解 知识延展 一 运用公式法 立方和 差 公式 2233 babababa 2233 babababa 二 分组分解法 1 分组后能直接提公因式 如 22 cababacbaabcacababcacaba 2 分组后直接应用公式 如 2 2 2 44 44 22222222 ayxayxayxayxyxayxyx 三 十字相乘法 1 如 2 bxaxabxbax 1 6 65 2 xxxx 2 其中 2211 2 cxacxacbxax bcacacccaaa 12212121 如 53 12 576 2 xxxx 注意 注意 十字相乘法的要领是 头尾分解 交叉相乘 求和凑中 观察实验 四 其它方法简介 1 添项拆项法 如 1 122 122 4 12 414414 222222244 xxxxxxxxxx 2 133 1 1 1 1 3 1 1 3133143 2223 xxxxxxxxxxxxxxx 2 配方法 如 623 623 24 3 15996156 222 xxxxxxx 3 运用求根公式法 0 0 21 2 axxxxacbxax 题型归类 一 分解因式 例 1 把下列各式分解因式 1 2 22 865yxyx 12 224 babaa 3 4 62 22 yxyxyx23739 234 xxxx 二 利用分解因式解方程 例 2 解方程 241054 2 xxx 变式训练 若关于的方程 其中x0 axcxcxbxbxax 均为正数 有两个相等实根 证明以为长的线段能组成一个三角形 并指出cba cba 该三角形的特征 三 利用分解因式化简分式 例 3 已知求的值 0 1 3 3 69 2 222 x xyayxa yxyxa x y 变式训练 当等于的倒数时 求分式的值xx 6 3 3 6 2 2 xx x x xx 四 利用分解因式化简根式 例 4 化简 2 4 2 4 1 44 1 2 2 a a aaa a aa a 变式 计算 246 2 347 1 625 1 习题精练 1 分解因式 1 2 yxyx629 22 12 4 2 yxyx 3 4 2 3 xx24 4 3 2 1 xxxx 2 已知 求分式的值02586 22 yxyx y x x y 3 已知 化简10 x4