第二章实数 (2)

梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 1 页 共 85 页 第二章 实数 2 1 1 数怎么又不够用了数怎么又不够用了 一一 知识与技能目标 知识与技能目标 1 通过拼图活动 让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性 2 能判断给出的数是否为有理数 并能说出现由 过程与方法目标 过程与方法目标 1 让学生亲自动手做拼图活动 感受无理数存在的必要性和合理性 培养大家的动手能力和合作精神 2 通过回顾有理数的有关知识 能正确地进行推理和判断 识别某些 数是否为有理数 训练他们的思维判断能力 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 激励学生积极参与教学活动 提高大家学习数学的热情 2 引导学生充分进行交流 讨论与探索等教学活动 培养他们的合作 与钻研精神 3 了解有关无理数发现的知识 鼓励学生大胆质疑 培养他们为真理 而奋斗的献身精神 教学重点教学重点 1 让学生经历无理数发现的过程 感知生活中确实存在着不同于有理数 的数 2 会判断一个数是否为有理数 教学难点教学难点 1 把两个边长为 1 的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程 2 判断一个数是否为有理数 教学方法教学方法 师生共同讨论法 教师引导 主要由学生分组讨论得出结果 教具准备教具准备 有两个边长为 1 的正方形 剪刀 投影片两张 第一张 做一做 记作 2 1 1 A 第二张 补充练习 记作 2 1 1 B 教学过程教学过程 创设问题情境创设问题情境 引入新课引入新课 师 同学们 我们上了好多年的学 学过不计其数的数 概括起来我们 都学过哪些数呢 生 在小学我们学过自然数 小数 分数 生 在初一我们还学过负数 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 2 页 共 85 页 师 对 我们在小学学了非负数 在初一发现数不够用了 引入了 负数 即把从小学学过的正数 零扩充到有理数范围 有理数包括整数和 分数 那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢 下面我们就 来共同研究这个问题 讲授新课讲授新课 1 问题的提出 师 请大家四个人为一组 拿出自己准备好的两个边长为 1 的正方 形和剪刀 认真讨论之后 动手剪一剪 拼一拼 设法得到一个大的正方 形 好吗 生 好 学生非常高兴地投入活动中 师 经过大家的共同努力 每个小组都完成了任务 请同学们把自 己拼的图展示一下 同学们非常踊跃地呈现自己的作品给老师 师 现在我们一齐把大家的做法总结一下 下面再请大家共同思考一个问题 假设拼成大正方形的边长为 a 则 a 应满足什么条件呢 生甲 a 是正方形的边长 所以 a 肯定是正数 生乙 因为两个小正方形面积之和等于大正方形面积 所以根据正 方形面积公式可知 a2 2 生丙 由 a2 2 可判断 a 应是 1 点几 师 大家说得都有道理 前面我们已经总结了有理数包括整数和分 数 那么 a 是整数吗 a 是分数吗 请大家分组讨论后回答 生甲 我们组的结论是 因为 12 1 22 4 32 9 整数的平方越 来越大 所以 a 应在 1 和 2 之间 故 a 不可能是整数 生乙 因为 两个相同因数的乘 9 1 3 1 3 1 9 4 3 2 3 2 4 1 2 1 2 1 积都为分数 所以 a 不可能是分数 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 3 页 共 85 页 师 经过大家的讨论可知 在等式 a2 2 中 a 既不是整数 也不是 分数 所以 a 不是有理数 但在现实生活中确实存在像 a 这样的数 由此 看来 数又不够用了 2 做一做 投影片 2 1 1 A 1 在下图中 以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少 2 设该正方形的边长为 b 则 b 应满足什么条件 3 b 是有理数吗 师 请大家先回忆一下勾股定理的内容 生 在直角三角形中 若两条直角边长为 a b 斜边为 c 则有 a2 b2 c2 师 在这个题中 两条直角边分别为 1 和 2 斜边为 b 根据勾股定 理得 b2 12 22 即 b2 5 则 b 是有理数吗 请举手回答 生甲 因为 22 4 32 9 4 5 9 所以 b 不可能是整数 生乙 没有两个相同的分数相乘得 5 故 b 不可能是分数 生丙 因为没有一个整数或分数的平方为 5 所以 5 不是有理数 师 大家分析得很准确 像上面讨论的数 a b 都不是有理数 而是 另一类数 无理数 关于无理数的发现是发现者付出了昂贵的代价的 早在 公元前 古希腊数学家毕达哥拉斯认为万物皆 数 即 宇宙间的一切现 象都能归结为整数或整数之比 也就是一切现象都可用有理数去描述 后 来 这个学派中的一个叫希伯索斯的成员发现边长为 1 的正方形的对角线 的长不能用整数或整数之比来表示 这个发现动摇了毕达哥拉斯学派的信 条 据说为此希伯索斯被投进了大海 他为真理而献出了宝贵的生命 但 真理是不可战胜的 后来古希腊人终于正视了希伯索斯的发现 也就是我们 前面谈过的 a2 2 中的 a 不是有理数 我们现在所学的知识都是前人给我们总结出来的 我们一方面应积极 地学习这些经验 另一方面我们也不能死搬教条 要大胆质疑 如不这样 科学就会永远停留在某处而不前进 要向古希腊的希伯索斯学习 学习他 为捍卫真理而勇于献身的精神 课堂练习课堂练习 一 课本 P25随堂练习 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 4 页 共 85 页 如图 正三角形 ABC 的边长为 2 高为 h h 可能是整数吗 可能是 分数吗 解 由正三角形的性质可知 BD 1 在 Rt ABD 中 由勾股定理得 h2 3 h 不可能是整数 也不可能是分数 二 补充练习 投影片 2 1 1 B 为了加固一个高 2 米 宽 1 米的大门 需要在对角线位置加固一条木板 设木板长为 a 米 则由勾股定理得 a2 12 22 即 a2 5 a 的值大约是多少 这个值可能是分数吗 解 a 的值大约是 2 2 这个值不可能是分数 课时小结课时小结 1 通过拼图活动 让学生感受有理数又不够用了 经历无理数产生的 实际背景和引入的必要性 2 能判断一个数是否为有理数 课后作业课后作业 一 课本 P49习题 2 1 解 设长 宽分别为 3 2 的长方形的对角线长为 a 得 a2 32 22 a2 13 a 不可能是整数 也不可能是分数 二 预习内容 P49 P51 预习提纲 1 借助计算器 采用估算的方法探索 a2 2 中的 a 的大小 2 无理数的概念 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 5 页 共 85 页 3 会判断一个数是有理数或无理数 活动与探究 下图是由 16 个边长为 1 的小正方形拼成的 任意连结这些小正方形的 若干个顶点 可得到一些线段 试分别找出两条长度是有理数的线段和三 条长度不是有理数的线段 解 如图 AB 2 BE 1 AB BE 是有理数 AD2 AB2 BD2 22 32 13 AC2 1 1 2 AE2 AB2 BE2 22 12 5 AC AD AE 既不是整数 也不是分数 所以不是有理数 板书设计板书设计 2 1 1 数怎么又不够用了 一 一 问题的提出 讨论 a2 2 中的 a 既不是整数 也不是分数 二 做一做 由勾股定理得 b2 5 且 b 既不是整数 也不是分数 三 练习 四 小结 五 作业 2 1 2 数怎么又不够用了数怎么又不够用了 二二 知识与技能目标 知识与技能目标 1 借助计算器探索无理数是无限不循环小数 并从中体会无限逼近的 思想 2 会判断一个数是有理数还是无理数 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 6 页 共 85 页 过程与方法目标 过程与方法目标 1 借助计算器进行估算 培养学生的估算能力 发展学生的抽象概括 能力 并在活动中进一步发展学生独立思考 合作交流的意识和能力 2 探索无理数的定义 以及无理数与有理数的区别 并能辨别出一个 数是无理数还是有理数 训练大家的思维判断能力 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 让学生理解估算的意义 掌握估算的方法 发展学生的数感和估算 能力 2 充分调动学生的积极性 培养他们的合作精神 提高他们的辨识能 力 教学重点教学重点 1 无理数概念的探索过程 2 用计算器进行无理数的估算 3 了解无理数与有理数的区别 并能正确地进行判断 教学难点教学难点 1 无理数概念的建立及估算 2 用所学定义正确判断所给数的属性 教学方法教学方法 老师指导学生探索法 教具准备教具准备 计算器 投影片三张 第一张 补充练习 记作 2 1 2 A 第二张 补充练习 记作 2 1 2 B 第三张 补充练习 记作 2 1 2 C 教学过程教学过程 创设问题情境 引入新课 师 同学们 我们在上节课了解到有理数又不够用了 并且我们还 发现了一些数 如 a2 2 b2 5 中的 a b 既不是整数 也不是分数 那么它 们究竟是什么数呢 本节课我们就来揭示它的真面目 讲授新课讲授新课 1 导入 师 请看图 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 7 页 共 85 页 大家判断一下 3 个正方形的边长之间有怎样的大小关系 说说你的理 由 生 因为 3 个正方形的面积分别为 1 2 4 而面积又等于边长的 平方 所以面积大的正方形边长就大 师 大家能不能判断一下面积为 2 的正方形的边长 a 的大致范围呢 生 因为 a2大于 1 且 a2小于 4 所以 a 大致为 1 点几 师 很好 a 肯定比 1 大而比 2 小 可以表示为 1 a 2 那么 a 究竟 是 1 点几呢 请大家用计算器进行探索 首先确定十分位 十分位究竟是 几呢 如 1 12 1 21 1 22 1 44 1 32 1 69 1 42 1 96 1 52 2 25 而 a2 2 故 a 应比 1 4 大且比 1 5 小 可以写成 1 4 a 1 5 所以 a 是 1 点 4 几 即十分位上是 4 请大家用同样的方法确定百分位 千分位上的数字 生 因为 1 412 1 9881 1 422 2 0164 所以 a 应比 1 41 大且比 1 42 小 所以百分位上数字为 1 生 因为 1 4112 1 990921 1 4122 1 993744 1 4132 1 996569 1 4142 1 999396 1 4152 2 002225 所以 a 应比 1 414 大而比 1 415 小 即千分位上的数字为 4 生 因为 1 41422 1 99996164 1 41432 2 00024449 所以 a 应比 1 4142 大且比 1 4143 小 即万分位上的数字为 2 师 大家非常聪明 请一位同学把自己的探索过程整理一下 用表 格的形式反映出来 生 我的探索过程如下 边长 a面积 S 1 a 21 S 4 1 4 a 1 51 96 S 2 25 1 41 a 1 421 9881 S 2 0164 1 414 a 1 4151 999396 S 2 002225 1 4142 a 1 41431 99996164 S 2 00024449 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 8 页 共 85 页 师 还可以继续下去吗 生 可以 师 请大家继续探索 并判断 a 是有限小数吗 生 a 1 41421356 还可以再继续进行 且 a 是一个无限不循环 小数 师 请大家用上面的方法估计面积为 5 的正方形的边长 b 的值 边长 b 会不会算到某一位时 它的平方恰好等于 5 请大家分组合作后回答 约 4 分钟 生 b 2 236067978 还可以再继续进行 b 也是一个无限不循环 小数 生 边长 b 不会算到某一位时 它的平方恰好等于 5 但我不知道 为什么 师 好 这位同学很坦诚 不会就要大胆地提出来 而不要冒充会 这样才能把知识学扎实 学透 大家应该向这位同学学习 这个问题我来回 答 如果 b 算到某一位时 它的平方恰好等于 5 即 b 是一个有限小数 那 么它的平方一定是一个有限小数 而不可能是 5 所以 b 不可能是有限小 数 2 无理数的定义 请大家把下列各数表示成小数 3 并看它们是有限小数还是无限小数 是循环小数还 11 2 45 8 9 5 5 4 是不循环小数 大家可以每个小组计算一个数 这样可以节省时间 生 3 3 0 0 8 5 4 9 5 5 0 71 0 45 8 818 1 11 2 生 3 是有限小数 是无限循环小数 5 4 11 2 45 8 9 5 师 上面这些数都是有理数 所以有理数总可以用有限小数或无限 循环小数表示 反过来 任何有限小数或无限循环小数都是有理数 像上面研究过的 a2 2 b2 5 中的 a b 是无限不循环小数 无限不循环小数叫无理数 irrational number 除上面的 a b 外 圆周率 3 14159265 也是一个无限不循环小数 0 5858858885 相邻两个 5 之间 8 的个数逐次加 1 也是一个无限不循环小 数 它们都是无理数 3 有理数与无理数的主要区别 1 无理数是无限不循环小数 有理数是有限小数或无限循环小数 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 9 页 共 85 页 2 任何一个有理数都可以化为分数的形式 而无理数则不能 4 例题讲解 下列各数中 哪些是有理数 哪些是无理数 3 14 0 1010010001 相邻两个 1 之间 0 的个数逐次加 3 4 75 0 1 解 有理数有 3 14 3 4 75 0 无理数有 0 1010010001 课堂练习课堂练习 一 随堂练习 下列各数中 哪些是有理数 哪些是无理数 0 4583 18 7 3 7 1 解 有理数有 0 4583 18 7 3 7 1 无理数有 二 补充练习 投影片 2 1 2 A 判断题 1 有理数与无理数的差都是有理数 2 无限小数都是无理数 3 无理数都是无限小数 4 两个无理数的和不一定是无理数 解 1 错 例 1 是无理数 2 错 例是有理数 5 1 3 对 因为无理数就是无限不循环小数 所以是无限小数 4 对 因为两个符号相反的无理数之和是有理数 例 0 投影片 2 1 2 B 下列各数中 哪些是有理数 哪些是无理数 0 351 3 14159 5 2323332 123456789101112 由相继 69 4 3 2 的正整数组成 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 10 页 共 85 页 解 有理数有 0 351 3 14159 69 4 3 2 无理数有 5 2323332 123456789101112 投影片 2 1 2 C 在下列每一个圈里 至少填入三个适当的数 生 有理数集合填 0 3 11 5 无理数集合填 0 323323332 2 3 课时小结课时小结 本节课我们学习了以下内容 1 用计算器进行无理数的估算 2 无理数的定义 3 判断一个数是无理数或有理数 课后作业课后作业 1 P30习题 2 2 2 预习内容 平方根 探究与活动 设面积为 5 的圆的半径为 a 1 a 是有理数吗 说说你的理由 2 估计 a 的值 精确到十分位 并利用计算器验证你的估计 3 如果精确到百分位呢 解 a2 5 a2 5 1 a 不是有理数 因为 a 既不是整数 也不是分数 而是无限不循环 小数 2 估计 a 2 2 3 a 2 24 板书设计板书设计 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 11 页 共 85 页 2 1 2 数怎么又不够用了 一 导入 二 新课 1 无理数的定义 2 举例 三 练习 四 补充练习 五 课时小节 六 课后作业 2 2 1 平方根平方根 一一 知识与技能目标 知识与技能目标 1 了解数的算术平方根的概念 会用根号表示一个数的算术平方根 2 了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算 会利用这个互 逆运算关系求某些非负数的算术平方根 3 了解算术平方根的性质 过程与方法目标 过程与方法目标 1 加强概念形成过程的教学 提高学生的思维水平 2 鼓励学生进行探索和交流 培养他们的创新意识和合作精神 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 1 让学生积极参与教学活动 培养他们对数学的好奇心和求知欲 2 训练学生动脑 动口 动手能力 教学重点教学重点 了解算术平方根的概念 性质 会用根号表示一个正数的算术平方根 教学难点教学难点 了解算术平方根的概念 性质 教学方法教学方法 导学法 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 12 页 共 85 页 教具准备教具准备 投影片两张 第一张 例题 记作 2 2 1 A 第二张 补充练习 记作 2 2 1 B 教学过程教学过程 新课导入 上节课我们学习了无理数 了解到无理数产生的实际背景和引入的必 要性 掌握了无理数的概念 知道有理数和无理数的区别是 有理数是有 限小数或无限循环小数 无理数是无限不循环小数 比如在 a2 2 中 2 是有 理数 而 a 是无理数 在前面我们学过若 x2 a 则 a 叫 x 的平方 反过来 x 叫 a 的什么呢 本节课我们就来一起研究这个问题 讲授新课讲授新课 师 在讲新课之前 我们先回忆一下勾股定理 请同学们回答 生 勾股定理就是在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的 平方 师 下面请大家根据勾股定量 结合图形完成填空 投影片 2 2 1A 根据下图填空 x2 y2 z2 w2 师 请大家思考后回答 生 x2 2 y2 3 z2 4 w2 5 师 请大家再分析一下 x y z w 中哪些是有理数 哪些是无理 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 13 页 共 85 页 数 生 x y w 是无理数 z 是有理数 师 为什么呢 生 因为没有任何整数或分数的平方等于 2 3 5 所以 x y z 不 是有理数 而 22 4 所以 z 2 师 这位同学分析得非常正确 那么大家能不能把上图中的 x y z w 表示出来呢 请大家仔细看书后回答 生 x y z w 2345 师 若一个正数 x 的平方等于 a 即 x2 a 则这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根 记为 读作 根号 a 这就是算术平方根的定义 特别a 地规定 0 的算术平方根是 0 即 0 0 师 下面我们根据算术平方根的定义求一些数的算术平方根 例 1 求下列各数的算术平方根 1 900 2 1 3 4 14 64 49 解 1 因为 302 900 所以 900 的算术平方根是 30 即 30 900 2 因为 12 1 所以 1 的算术平方根是 1 即 1 1 3 因为所以的算术平方根是 即 64 49 8 7 2 64 49 8 7 8 7 64 49 4 14 的算术平方根是 14 通过上面的例题 大家思考一下 我们在求算术平方根时是借助于哪 一种运算来求的 生 是通过平方来求的 师 对 由此我们可以看出一个正数的平方和求算术平方根是互为逆 运算 而且我们在例题中的步骤采取语言叙述和符号表示互相补充的做法 目的是让大家明白算术平方根的概念 以及从计算中进一步体会一个正数 的平方和求算术平方根是互为逆运算 在以后的步骤中可以简化 例 2 自由下落的物体的高度 h 米 与下落时间 t 秒 的关系为 h 4 9t2 有 一铁球从 19 6 米高的建筑物上自由下落 到达地面需要多长时间 解 将 h 19 6 代入公式 h 4 9t2得 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 14 页 共 85 页 t2 4 所以 t 2 秒 4 即铁球到达地面需要 2 秒 师 下面大家再观察一下刚才咱们求出的算术平方根有什么特点 生甲 算术平方根是整数或分数 即为有理数 生乙 不对 那是不是有理数 若是则是 分数还是整数 14 生丙 因为没有任何一个整数或分数的平方等于 14 所以不是14 有理数 而是无理数 师 大家的分析都有道理 我提示一下从符号方面考虑 生甲 噢 算术平方根是正数 如 2 14 5 3 2 生乙 不对 还有零呢 正数的算术平方根是正数 零的算术平方根 为零 师 非常正确 那负数的算术平方根是否为负数呢 若 2 2 4 则 2 对吗 或者 2 对吗 44 生甲 不对 因为算术平方根的定义是一个正数的 x 的平方等于 a 这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根 所以算术平方根不可能是负数 师 由此看来 定义中的 a 和 x 都为正数 即算术平方根是非负数 负数没有算术平方根 用式子表示为 a 0 为非负数 这是算术平方根a 的性质 课堂练习课堂练习 一 P32随堂练习 1 2 题 二 补充练习 投影片 2 2 1 B 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 15 页 共 85 页 一 填空题 1 若一个数的算术平方根是 则这个数是 5 2 的算术平方根是 9 4 3 正数 的平方为的算术平方根为 9 7 1 25 144 4 1 44 2的算术平方根为 5 的算术平方根为 8104 0 二 求下列各数的算术平方根 并用符号表示出来 1 7 4 2 2 3 9 2 3 2 25 4 2 4 1 答案 一 1 5 2 3 4 1 44 5 3 0 2 3 2 5 12 3 4 二 1 4 5 125 2 3 9 39 3 9 3 2 2 74 7 222 2 3 4 1 2 课时小结课时小结 本节课学习了算术平方根的概念 理解了求一个正数的平方和求算术 平方根是互为逆运算 求一个非零数的算术平方根 以及算术平方根的性 质 即算术平方根是非负数 课后作业课后作业 P33习题 1 3 活动与探究 1 一个正方形的面积变为原来的 n 倍时 它的边长变为原来的多少倍 2 一个正方形的面积为原来的 100 倍时 它的边长变为原来的多少倍 解 设原来的正方形边长为 a 面积为 S1 后来的正方形面积为 S2 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 16 页 共 85 页 1 S1 a2 S2 na2 a 2n 后来的边长 a 为原来边长的倍 nn 2 S1 a2 S2 100a2 10a 2 后来的边长 10a 为原来边长的 10 倍 板书设计板书设计 一 算术平方根的定义算术平方根的性质 二 举例 三 练习 四 作业 2 2 2 平方根平方根 二二 知识与技能目标 知识与技能目标 1 了解平方根的概念 开平方的概念 2 明确算术平方根与平方根的区别与联系 3 进一步明确平方与开方是互为逆运算 过程与方法目标 过程与方法目标 1 加强概念形成过程的教学 让学生不仅掌握概念 而且知晓它的理 论数据 2 提倡学生进行自学 并能与同学互相交流与合作 变学会知识为会 学知识 3 培养学生的求同和求异思维 能从相似的事物中观察到 PX 们的共 同点和不同点 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 通过学生在学习中互相帮助 相互合作 并能对不同概念进行区分 培养大家的团队精神 以及认真仔细的学习态度 为学生将来走上社会而 做准备 使他们能在工作中保持严谨的态度 正确处理好人际关系 成为 各方面的佼佼者 教学重点教学重点 1 了解平方根 开平方的概念 2 了解开方与乘方是互逆的运算 会利用这个互逆运算关系求某些非 负数的算术平方根和平方根 3 了解平方根与算术平方根的区别与联系 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 17 页 共 85 页 教学难点教学难点 1 平方根与算术平方根的区别与联系 2 负数没有平方根 即负数不能进行开平方运算的原因 教学方法教学方法 讨论比较法 即主要靠大家讨论得出结论 同时对相似的概念进行比较 这样不仅能 正确区分这些概念 还能使学生学得更扎实 教具准备教具准备 投影片两张 第一张 平方根与算术平方根的联系与区别 记作 2 2 2 A 第二张 补充练习 记作 2 2 2 B 教学过程教学过程 创设问题情境 引入新课 上节课我们学习了算术平方根的概念 性质 知道若一个正数 x 的平方 等于 a 即 x2 a 则 x 叫 a 的算术平方根 记作 x 而且也是非负aa 数 比如正数 22 4 则 2 叫 4 的算术平方根 4 叫 2 的平方 但是 2 2 4 则 2 叫 4 的什么根呢 下面我们就来讨论这个问题 讲授新课讲授新课 1 平方根 开平方的概念 师 请大家先思考两个问题 1 9 的算术平方根是 3 也就是说 3 的平方是 9 还有其他的数 它 的平方也是 9 吗 2 平方等于的数有几个 平方等于 0 64 的数呢 25 4 生 3 的平方也是 9 的平方是 的平方也是 即平方等于的数有两个 5 2 25 4 5 2 25 4 25 4 生 平方等于 9 的数有两个 平方等于的数有两个 由此可知 25 4 平方等于 0 64 的数也有两个 师 根据上一节课的内容 我们知道了是 9 的算术平方根 是 5 2 的算术平方根 那么 3 叫 9 的什么根呢 请大家认真看 25 4 5 2 25 4 书后回答 生 3 分别叫 9 的平方根 5 2 25 4 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 18 页 共 85 页 师 那是不是说 3 叫 9 的算术平方根 3 也叫 9 的算术平方根 即 9 的算术平方根有一个是 3 另一个是 3 呢 生 不对 根据平方根的定义 一般地 如果一个数 x 的平方等于 a 即 x2 a 那么这个 x 就叫 a 的平方根 square root 也叫二次方根 3 和 3 的平方都等于 9 由定义可知 3 和 3 都是 9 的平方根 即 9 的平方根 有两个 3 和 3 9 的算术平方根只有一个是 3 师 由平方根和算术平方根的定义 大家能否找出它们有什么相同 和不同之处呢 请分小组讨论后选代表回答 生 平方根的定义中是有一个数 x 的平方等于 a 则 x 叫 a 的平方 根 x 没有肯定是正数还是负数或零 而算术平方根的定义中是有一个正 数 x 的平方等于 a 则 x 叫 a 的算术平方根 这里的 x 只能是正数 由此看 来都有 x2 a 这是它们的相同之处 而 x 的要求不同 这是它们的不同之 处 师 这位同学分析判断能力特棒 下面我再详细作一总结 投影片 2 2 2 A 平方根与算术平方根的联系与区别 联系 1 具有包含关系 平方根包含算术平方根 算术平方根是平方根的一种 2 存在条件相同 平方根和算术平方根都是只有非负数才有 3 0 的平方根 算术平方根都是 0 区别 1 定义不同 如果一个数的平方等于 a 这个数就叫做 a 的平方根 非负数 a 的非负平方根叫 a 的算术平方根 2 个数不同 一个正数有两个平方根 而一个正数的算术平方根只有一个 3 表示法不同 正数 a 的平方根表示为 正数 a 的算术平方根表示a 为 a 4 取值范围不同 正数的平方根一正一负 互为相反数 正数的算术平方 根只有一个 师 什么叫开平方呢 生 求一个数 a 的平方根的运算 叫开平方 extraction of square root 其中 a 叫被开方数 师 我们共学了几种运算呢 这几种运算之间有怎样的联系呢 请 大家讨论后回答 生 我们共学了加 减 乘 除 乘方 开方六种运算 加与减互为 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 19 页 共 85 页 逆运算 乘与除互为逆运算 乘方与开方互为逆运算 师 大家非常聪明且爱动脑子 回答问题正确率极高 很值得表扬 希望你们能继续发扬下去 2 平方根的性质 师 请大家思考以下问题 1 一个正数有几个平方根 2 0 有几个平方根 3 负数呢 生 第一个问题在前面已作过讨论 一个正数 9 有两个平方根 3 和 3 因为只有零的平方为零 所以 0 有一个平方根是零 因为任何数的平方都不是负数 所以负数没有平方根 例如 3 没有 平方根 师 太精彩了 一个正数有两个平方根 且它们互为相反数 0 有一 个平方根是 0 负数没有平方根 3 讲解例题 例 求下列各数的平方根 1 64 2 3 0 0004 4 25 2 5 11 121 49 解 1 因为 8 2 64 所以 64 的平方根是 8 即 8 64 2 因为 2 所以的平方根是 即 11 7 121 49 121 49 11 7 121 49 11 7 3 因为 0 02 2 0 0004 所以 0 0004 的平方根是 0 02 即 0 02 0004 0 4 因为 25 2 25 2 所以 25 2的平方根是 25 即 25 2 25 5 11 的平方根是 11 师 请大家口述上题中各数的算术平方根 生 64 的算术平方根为 8 的算术平方根为 0 0004 的算术 121 49 11 7 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 20 页 共 85 页 平方根为 0 02 25 2的算术平方根为 25 11 的算术平方根为 11 4 想一想 1 2等于多少 2等于多少 64 121 49 2 2等于多少 2 7 3 对于正数 a 2等于多少 a 解 1 2 64 64 2 121 49 121 49 2 2 7 2 2 7 3 2 a a 0 a 课堂练习课堂练习 一 随堂练习 1 求下列各数的平方根 1 44 0 8 441 196 10 4 49 100 解 因为 1 2 2 1 44 所以 1 44 的平方根是 1 2 即 1 2 44 1 因为 02 0 所以 0 的平方根是 0 即 0 0 因为 2 8 所以 8 的平方根是 88 因为 所以的平方根是 即 49 100 7 10 2 49 100 7 10 7 10 49 100 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 21 页 共 85 页 因为 21 2 441 所以 441 的平方根是 21 即 21 441 因为 14 2 196 所以 196 的平方根是 14 即 14 196 因为 10 4 所以的平方根是 即 4 10 1 2 10 1 4 10 1 4 10 1 2 10 1 4 10 4 10 1 2 10 1 100 1 2 填空 1 25 的平方根是 2 2 5 3 2 5 解 1 5 2 5 3 5 二 补充练习 投影片 2 2 2 B 1 判断下列各数是否有平方根 并说明理由 1 3 2 2 0 3 0 01 4 52 5 a2 6 a2 2a 2 2 求下列各数的平方根 1 121 2 0 01 3 2 4 13 2 5 4 3 9 7 1 分析 一个数有没有平方根 就看它是不是负数 是负数就没有平 方根 不是负数就有平方根 解 1 3 2 9 0 3 2有平方根 2 0 的平方根是它本身 0 有平方根 3 0 01 0 0 01 没有平方根 4 52 25 0 52没有平方根 5 当 a 0 时 a2 0 有平方根 当 a 0 时 a2 0 没有平方根 6 a2 2a 2 a 1 2 1 无论 a 取何有理数 a 1 2 1 0 a2 2a 2 有平方根 说明 1 负数没有平方根 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 22 页 共 85 页 2 第 4 小题容易犯错误 52 25 0 2 分析 根据平方与开平方互为逆运算 可以通过平方运算来求一个 数的平方根 其中 2 13 2 169 4 3 64 把带分数化为假 9 25 9 7 分数 含有乘方运算先求出它的幂 解 1 11 2 121 121 的平方根是 11 即 11 121 2 0 1 2 0 01 0 01 的平方根是 0 1 即 0 1 01 0 3 2 2 9 25 9 7 3 5 9 25 2的平方根是 9 7 3 5 即 9 7 2 3 5 4 13 2 169 13 2 169 13 2的平方根是 13 即 13 2 13 5 4 3 64 8 2 64 4 3的平方根是 8 即 8 3 4 课时小结课时小结 本节课学了如下内容 1 平方根的概念 2 平方根的性质 3 平方根与算术平方根的区别与联系 4 求某些非负数的算术平方根和平方根 课后作业课后作业 习题 2 4 活动与探究 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 23 页 共 85 页 1 对于任意数 a 一定等于 a 吗 2 a 解 不一定 当 a 2 时 2422 2 a 当 a 时 2 1 2 1 4 1 2 a 当 a 0 时 00 2 a 当 a 2 时 24 2 22 a 当 a 时 2 1 4 1 2 1 22 a 2 1 综上所述 当 a 0 时 a 2 a 当 a 0 时 a 2 a 2 中的被开方数 a 在什么情况下有意义 2等于什么 aa 解 因为任意数的平方都是非负数 也就是非负数才有平方根 所以 被开方数 a 必须是正数或零 即非负数时有意义 当 a 1 时 2 12 11 当 a 4 时 2 22 44 当 a 时 4 1 4 1 2 1 4 1 22 当 a 时 9 1 9 1 3 1 9 1 22 当 a 0 时 2 0 0 所以 2 a a 0 a 板书设计板书设计 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 24 页 共 85 页 2 2 2 平方根 二 一 平方根的定义 平方根的性质 平方根与算术 平方根的区别与联系 二 例题讲解 三 练习 四 小结 五 作业 2 3 立方根立方根 知识与技能目标 知识与技能目标 1 了解立方根的概念 会用根号表示一个数的立方根 2 能用立方运算求某些数的立方根 了解开立方与立方互为逆运算 3 了解立方根的性质 4 区分立方根与平方根的不同 过程与方法目标 过程与方法目标 1 在学了平方根的基础上 要求学生能用类比的方法学习立方根的有 关知识 领会类比思想 2 发展学生的求同求异思维 使他们能在复杂环境中明辨是非 情感态度与价值观目标 情感态度与价值观目标 当今社会是科学飞速发展 信息千变万化的时代 每一个人都不可能 把一生中要接触的知识全部学会 因此让他们会学知识比学会知识更重要 这就要从小培养良好的学习习惯 能自己解决的问题就自己解决 其中类 比的学习方法就是一种重要的学习方法 本节课重点训练学生的类比思想 的养成 教学重点教学重点 立方根的概念 教学难点教学难点 1 正确理解立方根的概念 2 会求一个数的立方根 3 区分立方根与平方根的不同之处 教学方法教学方法 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 25 页 共 85 页 类比学习法 教具准备教具准备 投影片两张 第一张 平方根与立方根的联系与区别 记作 2 3 A 第二张 补充练习 记作 2 3 B 教学过程教学过程 新课导入 上节课我们学习了平方根的定义 若 x2 a 则 x 叫 a 的平方根 即 x a 若正方体的棱长为 a 体积为 8 根据正方体体积的公式得 a3 8 那 a 叫 8 的什么呢 本节课请大家根据上节课的内容自己来类推出结论 若 x3 a 则 x 叫 a 的什么呢 新课讲解 1 师 请大家先回忆平方根的定义 生 若一个数 x 的平方等于 a 即 x2 a 则 x 叫 a 的平方根 师 在平方根定义的基础上 若 x3 a 则 x 叫 a 的什么呢 请大家 自己猜想然后讨论得出结果 生 因为 x2 a x 叫 a 的平方根 所以当 x 的立方等于 a 时 x 叫 a 的立方根 师 当 x4 a 时 x 叫 a 的什么根呢 生 当 x 的 4 次方等于 a 时 x 叫 a 的 4 次方根 师 大家应为这位同学的精彩回答而鼓掌 下面大家能不能再根据平 方根的写法来类推立方根的记法呢 生 能 若 x 的平方等于 a 则 x 叫 a 的平方根 记作 x 读 2 a 作 x 等于正 负二次根号 a 简称为 x 等于正 负根号 a 若 x 的立方等于 a 则 x 叫 a 的立方根 记作 x 读作 x 等于正 负三次根号 a 简 3 a 称 x 等于正 负根号 a 师 请大家对这位同学的回答展开讨论 小组总结后选代表发言 生甲 我认为这位同学回答得不对 如果 x2 a 则 x x3 a 时 a x 也成立的话 那如何区分平方根与立方根呢 a 生乙 因为乘方与开方是互为逆运算 求立方根可通过逆运算立方 来求 如 x3 8 因为 23 8 所以 x 2 只有一个根而不是 2 所以立方根 的个数不正确 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 26 页 共 85 页 师 大家的分析非常有道理 请认真看书第 13 14 页可知 若一个 数 x 的立方等于 a 即 x3 a 那么这个数 x 就叫做 a 的立方根 cube root 也叫三次方根 如 2 是 8 的立方根 记为 x 读作 x 等于三次根号 a 3 a 开立方的定义 师 大家先回忆开平方的定义 再类推开立方的定义 生 求一个数 a 的平方根的运算 叫做开平方 则求一个数 a 的立 方根的运算 叫做开立方 其中 a 叫做被开方数 2 立方根的性质 师 2 的立方等于多少 是否有其他的数 它的立方也是 8 生 2 的立方等于 8 2 3 8 所以没有其他的数的立方等于 8 师 3 的立方等于多少 是否有其他的数 它的立方也是 27 生 3 的立方等于 27 33 27 所以没有其他的数的立方等于 27 师 0 的立方等于多少 0 有几个立方根 生 0 的立方等于 0 0 有 1 个立方根是 0 师 从刚才的讨论中 大家总结一下正数有几个立方根 0 有几个 立方根 负数有几个立方根 生 正数有一个立方根 0 有一个立方根是 0 负数有一个立方根 师 对 正数有一个正的立方根 负数有一个负的立方根 0 的立方 根有一个 是 0 3 平方根与立方根的区别与联系 师 我们已经学习了平方根与立方根的定义 并会求某些数的平方 根和立方根 下面请大家说说它们的联系与区别 生 从定义来看 若一个数 x 的平方等于 a 即 x2 a 则 x 叫 a 的 平方根 若一个数 x 的立方等于 a 即 x3 a 则 x 叫 a 的立方根 都是一 个数 x 的乘方等于 a 但一个是平方 另一个是立方 生 一个正数的平方根有两个 一个负数没有平方根 零的平方根 有一个是零 一个正数的立方根有一个 并且是正数 一个负数有一个负 的立方根 零的立方根有一个是零 生 它们的表示方法和读法不同 一个正数 a 的平方根表示为 立方根表示为 a 3 a 师 很好 大家现在已经具备了一定的分析判断能力 这对大家以后 的学习和工作非常有帮助 继续发扬下去 你们都将前途无量 下面我再 系统地总结一下 投影片 2 3 A 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 27 页 共 85 页 平方根与立方根的联系与区别 联系 1 0 的平方根 立方根都有一个是 0 2 平方根 立方根都是开方的结果 区别 1 定义不同 如果一个数的平方等于 a 这个数就叫做 a 的平方根 如果一个数的立方等于 a 这个数就叫做 a 的立方根 2 个数不同 一个正数有两个平方根 一个正数有一个立方根 一个负数 没有平方根 一个负数有一个立方根 3 表示法不同 正数 a 的平方根表示为 a 的立方根表示为 a 3 a 4 被开方数的取值范围不同 中的被开方数 a 是非负数 中的被开方数可以是任何数 a 3 a 2 例题讲解 例 1 求下列各数的立方根 1 27 2 3 0 216 4 5 125 8 解 1 因为 3 3 27 所以 27 的立方根是 3 即 3 3 27 2 因为 3 所以的立方根是 即 5 2 125 8 125 8 5 2 3 125 8 5 2 3 因为 0 63 0 216 所以 0 216 的立方根是 0 6 即 0 6 3 216 0 4 5 的立方根是 3 5 师 请大家思考下列问题 表示 a 的立方根 则 3等于什么 等于什么 3 a 3 a 33 a 大家可以先举例后找规律 生 23 8 2 3 8 3 8 3 8 2 3 8 2 3 8 3 8 3 8 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 28 页 共 85 页 3 3 1 27 1 27 1 27 1 3 1 27 1 3 33 3 3 1 27 1 27 1 27 1 3 1 27 1 3 3 3 3 a 3 a 师 若 x3 a 则 x x3 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 又 a3是 a 的立方 所以 a3的立方根就是 a 所以 a 下面就这两 33 a 个式子进行练习 例 2 求下列各式的值 1 2 3 4 3 3 8 3 064 0 3 125 8 3 9 解 1 2 3 8 3 3 2 2 3 064 0 4 0 4 0 3 3 3 3 125 8 5 2 5 2 3 3 4 3 9 3 9 课堂练习课堂练习 一 随堂练习 1 求下列各式的值 3 33 3 33 16 5 64 125 0 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 29 页 共 85 页 解 5 05 0125 0 333 16 16 55 4 4 64 3 3 33 3 3 3 2 一个正方体 它的体积是棱长为 3 厘米的正方体体积的 8 倍 这个 正方体的棱长是多少 解 设正方体的棱长是 x 厘米 得 x3 8 33 x3 216 x 6 厘米 答 这个正方体的棱长是 6 厘米 二 补充练习 投影片 2 3 B 1 求下列各数的立方根 0 1 6 0 001 81 27 1000 125 2 求下列各式的值 3 233 3 3 33 33 27 8 2 2 1 64 63 125 1 1 027 0 3 下列说法对不对 4 没有立方根 1 的立方根是 1 的立方根是 36 1 6 1 5 的立方根是 3 5 64 的算术平方根是 8 1 解 因为 03 0 所以 0 的立方根为 0 即 0 3 0 因为 13 1 所以 1 的立方根为 1 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 30 页 共 85 页 即 1 3 1 因为的立方根为 3 1 3 1 81 27 3 3 1 即 33 3 1 81 27 6 的立方根为 3 6 的立方根为 即 8 1 2 1 8 1 1000 125 3 2 1 2 1 8 1 1000 125 33 0 13 0 001 所以 0 001 的立方根为 0 1 即 0 1 3 001 0 2 解 3 03 0027 0 333 2 2 2 2 4 1 4 1 64 1 1 64 63 5 1 5 1 125 1 1 1 1 33 3 3 3 3 33 3 3 3 3 33 9 4 3 2 3 2 3 2 27 8 2 3 32 3 23 3 2 3 答案 错 因为负数也有立方根 错 因为 1 的立方根是 1 错 的立方根是 平方根是 36 1 3 36 1 6 1 对 5 的立方根是 3 5 33 55 梁启超纪念中学 第二章 实数 黄峰松 第 31 页 共 85 页 对 议一议 1 某化工厂使用一种球形储气罐储藏气体 现在要造一个新的球形储气 罐 如果它的体积是原来的 8 倍 那么它的半径是原储气罐半径的多少倍 解 设原来的球形储气罐的半径为 r1 后来的储气罐的半径为 r2 由 球体积公式 V r3得 3 4 8 r13 r23 3 4 3 4 8r13 r23 2r1 3 r23 r2 2r1 即新储气罐的半径是旧储气罐半径的 2 倍 2 一个正方体的体积变为原来的 n 倍 它的棱长变为原来的多少倍 解 设原正方体的棱长为 a 后来的正方体的棱长为 b 得 na3 b3 3333 nab b anna 33 3