【创新设计】2011高中数学二轮复习 考点突破 第一部分 专题六 专题检测（六） 理

用心 爱心 专心 1 专题检测卷专题检测卷 六六 平面解析几何平面解析几何 时间 120 分钟 满分 150 分 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共计 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合 题目要求的 1 2010 江门模拟 若l1 x 1 m y m 2 0 l2 mx 2y 6 0 的图象是两条平行直线 则m的 值是 A m 1 或m 2 B m 1 C m 2 D m的值不存在 解析 据已知 若m 0 易知两直线不平行 若m 0 则有 m 1 或m 2 1 m 1 m 2 m 2 6 答案 A 2 2009 陕西 过原点且倾斜角为 60 的直线被圆x2 y2 4y 0 所截得的弦长为 A B 2 3 C D 2 63 解析 直线的方程为y x 圆的标准方程为x2 y 2 2 4 3 圆心 0 2 到直线的距离为d 1 3 0 2 r 3 2 1 2 所求弦长为 2 2 22 123 答案 D 3 2009 重庆 直线y x 1 与圆x2 y2 1 的位置关系是 A 相切 B 相交但直线不过圆心 C 直线过圆心 D 相离 解析 圆心 0 0 到直线y x 1 的距离为d 1 12 12 2 2 而 0 1 所以直线与圆相交但不过圆心 2 2 答案 B 4 2010 福建 以抛物线y2 4x的焦点为圆心 且过坐标原点的圆的方程为 A x2 y2 2x 0 B x2 y2 x 0 C x2 y2 x 0 D x2 y2 2x 0 解析 抛物线的焦点坐标是 1 0 该点到原点的距离是 1 故所求圆的方程为 x 1 2 y2 1 化 为一般方程为x2 y2 2x 0 故选 D 答案 D 用心 爱心 专心 2 5 若直线mx ny 4 和 O x2 y2 4 没有交点 则过点 m n 的直线与椭圆 1 的交点个数为 x2 9 y2 4 A 至多一个 B 2 个 C 1 个 D 0 个 解析 由已知得 2 4 m2 n2 即m2 n2 4 故点 m n 在以原点为圆心 以 2 为半径的圆内 也在椭圆 1 的内部 故过 m n 的直线与椭圆 x2 9 y2 4 有两个交点 答案 B 6 2010 北京西城质检 已知圆 x 2 2 y2 36 的圆心为M 设A为圆上任一点 N 2 0 线段AN的垂 直平分线交MA于点P 则动点P的轨迹是 A 圆 B 椭圆 C 双曲线 D 抛物线 解析 点P在线段AN的垂直平分线上 故 PA PN 又AM是圆的半径 PM PN PM PA AM 6 MN 由椭圆定义知 P的轨迹是椭圆 答案 B 7 已知双曲线 1 的两条渐近线互相垂直 则双曲线的离心率为 x2 a2 y2 b2 A B 32 C D 5 2 2 2 解析 两条渐近线y x互相垂直 则 1 则b2 a2 双曲线的离心率为 b a b2 a2 e 选 B c a 2a2 a2 答案 B 8 2010 大连调研 已知点P在抛物线y2 4x上 那么点P到点Q 2 1 的距离与点P到抛物线焦点 距离之和取得最小值时 点P的坐标为 A B 1 4 1 1 4 1 C 1 2 D 1 2 解析 如图 抛物线的焦点F 1 0 准线方程l x 1 点P到准线的距离为 PD 用心 爱心 专心 3 由抛物线的定义知 PF PD 显然D P Q共线时 PD PQ 最小 即 PF PQ 最小 此时yP 1 代入抛物线方程知xP P 1 4 1 4 1 答案 A 9 已知直线l与抛物线y2 8x交于A B两点 且直线l经过抛物线的焦点F及A 8 8 则线段AB的中 点到准线的距离为 A B 25 4 25 2 C D 25 25 8 解析 抛物线的焦点为F 2 0 则直线l的方程为y x 2 4 3 由Error 解得B 1 2 2 AB AF BF 2 8 2 线段AB的中点到准线的距离为 1 2 25 2 25 4 答案 A 10 2010 海口质检 设椭圆 1 双曲线 1 抛物线y2 2 m n x 其中m n 0 的离心 x2 m2 y2 n2 x2 m2 y2 n2 率分别为e1 e2 e3 则 A e1e2 e3 B e1e2 e3 C e1e2 e3 D e1e2与e3大小不确定 解析 由圆锥曲线的方程知 e1 e2 e3 1 e1 e2 m2 n2 m m2 n2 m m4 n4 m2 1 n m 4 而m n 0 0 1 e1 e2 1 e3 n m 1 n m 4 答案 B 11 2010 石家庄模拟 设F1 F2是椭圆 1 的两个焦点 P是椭圆上的点 且 4x2 49 y2 6 PF1 PF2 4 3 则 PF1F2的面积为 A 4 B 2 2 C 6 D 4 2 解析 由椭圆定义可知 PF1 PF2 7 结合已知 PF1 PF2 4 3 可得 PF1 4 PF2 3 又 F1F2 2c 5 用心 爱心 专心 4 故 PF1F2为直角三角形 从而S PF1F2 3 4 6 1 2 答案 C 12 2009 四川 已知双曲线 1 b 0 的左 右焦点分别是F1 F2 其一条渐近线方程为y x x2 2 y2 b2 点P y0 在双曲线上 则 3 PF1 PF2 A 12 B 2 C 0 D 4 解析 由渐近线方程为y x知双曲线是等轴双曲线 双曲线方程是x2 y2 2 于是两焦点坐标分别是 2 0 和 2 0 且P 1 或P 1 不妨设 33 P 1 则 2 1 2 1 3 PF1 3 PF2 3 2 1 2 1 PF1 PF2 33 2 2 1 0 33 答案 C 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 4 分 共计 16 分 把答案填在题中的横线上 13 2010 江苏 在平面直角坐标系xOy中 已知圆x2 y2 4 上有且只有四个点到直线 12x 5y c 0 的距离为 1 则实数c的取值范围是 解析 如图 圆x2 y2 4 的半径为 2 圆上有且仅有四个点到直线的距离为 1 问题转化为原点 0 0 到直线 12x 5y c 0 的距离小于 1 即 1 c 13 c 122 52 13 c 13 答案 13 13 14 2010 广州模拟 在平面直角坐标系中 椭圆 1 a b 0 的焦距为 2 以O为圆心 a为半径的圆 过点 x2 a2 y2 b2 作圆的两切线互相垂直 则离心率e a2 c 0 解析 由已知得c 1 故点为 a2 0 a2 c 0 又由条件知 2a2 a2 2 a e 2 c a 2 2 答案 2 2 15 2010 重庆 已知以F为焦点的抛物线y2 4x上的两点A B满足 3 则弦AB的中点到准线的 AF FB 用心 爱心 专心 5 距离为 解析 设A x1 y1 B x2 y2 F 1 0 则 1 x1 y1 x2 1 y2 AF FB 3 Error AF FB y 4x1 9y 4 4 3x2 2 12 2 又y 4x2 x2 x1 3 2 2 1 3 故AB中点到准线的距离为 1 2 1 3 3 2 8 3 答案 8 3 16 给出如下四个命题 方程x2 y2 2x 1 0 表示的图形是圆 若椭圆的离心率为 则两个焦点与短轴的两个端点构成正方形 2 2 抛物线x 2y2的焦点坐标为 1 8 0 双曲线 1 的渐近线方程为y x y2 49 x2 25 5 7 其中正确命题的序号是 解析 对 x 1 2 y2 0 x 1 y 0 即表示点 1 0 对 若e c a 2 2 则b c 两焦点与短轴两端点构成正方形 对 抛物线方程为y2 x 其焦点坐标为 1 2 1 8 0 对 双曲线 1 的渐近线方程为 0 y2 49 x2 25 y 7 x 5 即y x 7 5 答案 三 解答题 本大题共 6 小题 共 74 分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 12 分 已知定点A 0 1 B 0 1 C 1 0 动点P满足 k 2 AP BP PC 求动点P的轨迹方程 并说明方程表示的曲线类型 解析 设动点坐标为P x y 则 x y 1 x y 1 1 x y AP BP PC 用心 爱心 专心 6 k 2 AP BP PC x2 y2 1 k x 1 2 y2 1 k x2 1 k y2 2kx k 1 0 若k 1 则方程x 1 过点 1 0 且平行于y轴的直线 若k 1 则方程化为 2 y2 2 x k 1 k 1 1 k 表示以为圆心 以为半径的圆 k k 1 0 1 1 k 答案 若k 1 则方程x 1 过点 1 0 且平行于y轴的直线 若k 1 则方程化为 2 y2 2 x k 1 k 1 1 k 表示以为圆心 以为半径的圆 k k 1 0 1 1 k 18 12 分 2010 苏 锡 常 镇四市调研 已知圆x2 y2 2ax 2ay 2a2 4a 0 0 a 4 的圆心为 C 直线l y x m 1 若m 4 求直线l被圆C所截得弦长的最大值 2 若直线l是圆心C下方的切线 当a在 0 4 上变化时 求m的取值范围 解析 1 x2 y2 2ax 2ay 2a2 4a 0 x a 2 y a 2 4a 圆心为C a a 半径为r 2 a 设直线l被圆C所截得的弦长为 2t 圆心C到直线l的距离为d m 4 时 直线l x y 4 0 圆心C到直线l的距离d a 2 a a 4 22 t2 2 2 2 a 2 2 2a2 12a 8 2 a 3 2 10 a 又 0 a 4 当a 3 时 直线l被圆C所截得弦长的值最大 其最大值为 2 10 2 圆心C到直线l的距离d a a m 2 m 2a 2 直线l是圆C的切线 d r 即 2 m 2a 2a m 2a 2 2a 直线l在圆心C的下方 m 2a 2 1 2 1 2a2a a 0 4 m 1 8 4 2 答案 1 2 2 m 1 8 4 102 用心 爱心 专心 7 19 12 分 2010 辽宁 设椭圆C 1 a b 0 的右焦点为F 过F的直线l与椭圆C相交于 x2 a2 y2 b2 A B两点 直线l的倾斜角为 60 2 AF FB 1 求椭圆C的离心率 2 如果 AB 求椭圆C的方程 15 4 解析 设A x1 y1 B x2 y2 由题意知y1 0 y2 0 1 直线l的方程为y x c 其中c 3a2 b2 联立Error 得 3a2 b2 y2 2b2cy 3b4 0 3 解得y1 y2 3b2 c 2a 3a2 b2 3b2 c 2a 3a2 b2 因为 2 所以 y1 2y2 即 2 AF FB 3b2 c 2a 3a2 b2 3b2 c 2a 3a2 b2 得离心率e c a 2 3 2 因为 AB y2 y1 所以 1 1 3 2 3 4 3ab2 3a2 b2 15 4 由 得b a 所以a 得a 3 b c a 2 3 5 3 5 4 15 45 椭圆C的方程为 1 x2 9 y2 5 答案 1 2 1 2 3 x2 9 y2 5 20 12 分 2010 广东韶关二模 已知动圆过定点F 0 2 且与定直线l y 2 相切 1 求动圆圆心的轨迹C的方程 2 若AB是轨迹C的动弦 且AB过点F 0 2 分别以A B为切点作轨迹C的切线 设两切线交点为Q 证明 AQ BQ 解析 1 依题意 圆心的轨迹是以F 0 2 为焦点 l y 2 为准线的抛物线 因为抛物线焦点到准线的距离等于 4 所以圆心的轨迹方程是x2 8y 2 证明 因为直线AB与x轴不垂直 设AB y kx 2 A x1 y1 B x2 y2 由Error 可得x2 8kx 16 0 x1 x2 8k x1x2 16 抛物线方程为y x2 求导得y x 1 8 1 4 所以过抛物线上A B两点的切线斜率分别是k1 x1 k2 x2 k1k2 x1 x2 x1 x2 1 1 4 1 4 1 4 1 4 1 16 所以AQ BQ 答案 1 x2 8y 2 略 用心 爱心 专心 8 21 12 分 2010 安徽 已知椭圆E经过点A 2 3 对称轴为 坐标轴 焦点F1 F2在x轴上 离心率e 1 2 1 求椭圆E的方程 2 求 F1AF2的角平分线所在直线l的方程 3 在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点 若存在 请找出 若不存在 说明理由 解析 1 设椭圆E的方程为 1 由e x2 a2 y2 b2 1 2 即 a 2c 得b2 a2 c2 3c2 c a 1 2 椭圆方程具有形式 1 x2 4c2 y2 3c2 将A 2 3 代入上式 得 1 1 c2 3 c2 解得c 2 椭圆E的方程为 1 x2 16 y2 12 2 解法一 由 1 知F1 2 0 F2 2 0 直线AF1的方程为y x 2 3 4 即 3x 4y 6 0 直线AF2的方程为x 2 由点A在椭圆E上的位置知 直线l的斜率为正数 设P x y 为l上任一点 则 x 2 3x 4y 6 5 若 3x 4y 6 5x 10 得x 2y 8 0 因其斜率为负 舍去 于是 由 3x 4y 6 5x 10 得 2x y 1 0 所以直线l的方程为 2x y 1 0 解法二 A 2 3 F1 2 0 F2 2 0 4 3 0 3 AF1 AF2 4 3 0 3 1 2 AF1 AF1 AF2 AF2 1 5 1 3 4 5 kl 2 l y 3 2 x 2 即 2x y 1 0 3 解法一 假设存在这样的两个不同的点B x1 y1 和C x2 y2 用心 爱心 专心 9 BC l kBC y2 y1 x2 x1 1 2 设BC的中点为M x0 y0 则x0 y0 x1 x2 2 y1 y2 2 由于M在l上 故 2x0 y0 1 0 又B C在椭圆上 所以有 1 与 1 x2 1 16 y2 1 12 x2 2 16 y2 2 12 两式相减 得 0 x2 2 x2 1 16 y2 2 y2 1 12 即 0 x1 x2 x2 x1 16 y1 y2 y2 y1 12 将该式写为 0 并将直线BC的斜率kBC和线段BC的中点表示代入该表达 1 8 x1 x2 2 y2 y1 x2 x1 1 6 y1 y2 2 式中 得x0 y0 0 即 3x0 2y0 0 1 8 1 12 2 得x0 2 y0 3 即BC的中点为点A 而这是不可能的 不存在满足题设条件的点B和C 解法二 假设存在B x1 y1 C x2 y2 两点关于直线l对称 则l BC kBC 1 2 设直线BC的方程为y x m 将其代入椭圆方程 1 得一元二次方程 3x2 4 2 48 1 2 x2 16 y2 12 1 2x m 即x2 mx m2 12 0 且x1与x2是该方程的两个根 由根与系数的关系得x1 x2 m 于是y1 y2 2m 1 2 x1 x2 3m 2 B C的中点坐标为 m 2 3m 4 又线段BC的中点在直线y 2x 1 上 m 1 得m 4 3m 4 即B C的中点坐标为 2 3 与点A重合 矛盾 不存在满足题设条件的相异两点 答案 1 1 2 2x y 1 0 3 不存在 理由略 x2 16 y2 12 22 14 分 2010 山东 如图 已知椭圆 1 a b 0 的离心率为 以该椭圆上的点和椭圆的左 x2 a2 y2 b2 2 2 右焦点F1 F2为顶点的三角形的周长为 4 1 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设P为该双曲线上异 2 于顶点的任一点 直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A B和C D 用心 爱心 专心 10 1 求椭圆和双曲线的标准方程 2 设直线PF1 PF2的斜率分别为k1 k2 证明 k1 k2 1 3 是否存在常数 使得 AB CD AB CD 恒成立 若存在 求 的值 若不存在 请说明理 由 解析 1 设椭圆的半焦距为c 由题意知 2a 2c 4 1 c a 2 22 所以a 2 c 2 2 又a2 b2 c2