九年级数学全等三角形的识别华东师大版知识精讲

用心 爱心 专心 九年级数学九年级数学全等三角形的识别全等三角形的识别华东师大版华东师大版 同步教育信息同步教育信息 一 本周教学内容 全等三角形的识别 知识回顾 全等三角形的识别方法 1 边边边公理 如果两个三角形的三条边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记 为 SSS 2 边角边公理 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为 SAS 3 角边角公理 如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全 等 简记为 ASA 4 角角边定理 如果两个三角形中有两个角及其中一个角的对边分别对应相等 那么这 两个三角形全等 简记为 AAS 5 斜边 直角边公理 如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等 那么这 两个直角三角形全等 简记为 HL 典型例题典型例题 例 1 AB AC AD AE 求证 BD CE BACDAE A E D B C 分析 分析 若 BD CE 因为已知 AB AC AD AE 则 结合 ABDACE 易得 于是建立了已知条件与求证结论间的联系 BACDAE BADCAE 证明 证明 因为 所以 即 BACDAE BACDACDAEDAC 又因为 所以 SAS BADCAEABAC ADAE BADCAE 所以 BD CE 例 2 A C E 在同一直线上 和都是等边三角形 M N 分别为 ABC CDE AD BE 的中点 求证 是等边三角形 CMN B D N 1 3 A C E 4 M 2 分析 分析 要想证明一个三角形是等边三角形 一般思路是先证明这个三角形的两边相等 即等腰三角形 然后再证它的一个角等于 那么这个三角形就是等边三角形 60 证明 证明 因为 AC BC CD CE 且 ACDBCDBCE60 用心 爱心 专心 则 所以 AD BE ACDBCE SAS 12 又因为 所以 AM BNAMAD BNBE 1 2 1 2 所以 所以 CAMCBN SAS CMCN 34 因为 MCNMCBMCBACB4360 故是等边三角形 CMN 例 3 要使 还需要添加一个条件 只需添加一个条件 12 ABEACE B 1 A E 2 C 分析 分析 这是一道开放型试题 解题时关键是正确理解全等三角形的识别方法 由可得到所要证明的两个三角形的两个内角 又 12 AEBAEC AE AE 故若添加 可利用 ASA 证明 若添加 BAECAE BE EC 可利用 SAS 证明 若添加 可利用 AAS 证 ABEACE BC 明 ABEACE 解 解 可填或 BE CE 或 BAECAE BC 例 4 如下图所示 在中 在 BC 上截取 BF BA 作 ABC BAC90 交 AC 于 D 点 于 E 点 交 BD 于 G 点 连结 GF DF BC AE BC 求证 GD 平分和 AGF ADF A B E F C G D 分析 分析 欲让 GD 平分和 须证 而这两个三角形中 AGF ADF ADGFDG 目前只有一对公共边相等 分析题设 BA BF 恰好在有公共斜边的直角和直角 ABD 中 由 HL 公理可判定 可得 AD DF FBDRt ABDRt FBD ADBFDB 至此的条件已具备 故本题可证 ADGFDG 证明 证明 已知 DF BC BAC90 DFBBAC90 在和中Rt ABD Rt FBD BD BD 公共边 BA BF 已知 Rt ABDRt FBD HL 全等三角形的对应边相等 ADFD 全等三角形的对应角相等 BDABDF 在和中 AD FD 已证 已证 ADG FDG ADBFDB GD GD 公共边 ADGFDG SAS 用心 爱心 专心 全等三角形对应角相等 AGDFGD GD 平分和 AGF ADF 例 5 已知如下图 为等边三角形 D F 分别为 BC AB 上的点 且 ABC CD BF 以 AD 为边作等边三角形 ADE 1 求证 ACDCBF 2 点 D 在线段 BC 上何处时 四边形 CDEF 是平行四边形 且 证 DEF30 明你的结论 A E F B D C 分析 分析 此题综合考查三角形全等的识别 平行四边形的识别 并探索 D 点的位置 因 为 D 点位置的改变 引起四边形 CDEF 的形状的改变 故该题是一道典型的综合性探索题 证明 证明 1 和都是等边三角形 ABC ADE ACCBACDCBF 60 又 CDBFACDCBF 2 连结 BE EABEADBADBAD60 DACBACBADBAD EABDAC 60 又 AEAD ABAC ABEACDBECDBF ABEACD EFBFCD DEADCF 60 四边形 CDEF 为平行四边形 当 D 是 BC 中点时 CAD30 DEFBCFCAD30 例 6 已知矩形 ABCD 中 AD AB O 为对角线的交点 过 O 作一直线交 BC AD 于 M N 1 求证 梯形 ABMN 的面积等于梯形 CDNM 的面积 2 当 MN 满足什么条件时 将矩形 ABCD 以 MN 为折痕翻折后 能使 C 点恰好与 A 点重合 只写出满足的条件 不要求证明 3 在 2 中条件下 若翻折后不重叠部分的面积是重叠部分面积的 求 1 2 BM MC 的值 分析 分析 一个图形翻折后与原图形是全等的 解 解 1 如图 1 连结 AC 则 O 为 AC 的中点 用心 爱心 专心 A N D O B M C 4 1 2 3 图 1 在矩形 ABCD 中 ADBC 12 又 AO CO 34 AONCOM ANCM 又 ADBCBMND SBMANABNDMCCDS ABMNCDMN梯形梯形 1 2 1 2 2 MN AC 3 如图 2 由 AD CD AB CD D N D O B M C C A 图 2 得 AB AD BMDN D NDN BMD N 又 AD NABM 90 Rt AD NRt ABM SS AD NABM 不重叠部分的面积是重叠部分面积的 1 2 即 S S ABM AMN 1 4 1 2 1 2 1 4 ABBM ANAB BM AN 1 4 又 AN MC BM MC 1 4 例 7 如图 1 所示 AD 为的角平分线 AB AC 求证 ABC ABACBDDC 用心 爱心 专心 A B D C 图 1 分析 分析 欲证 需要把 AB 与 AC 的差 BD 与 DC 的差或是与它ABACBDDC 们相等的量 转化为同一个三角形的边 利用三角形的三边关系定理或推论加以证明 证法一 证法一 截长法 如图 2 A E B D C 图 2 在 AB 上截取 AE AC 连结 ED AD 平分 已知 角平分线定义 BAC BADDAC 在和中 ADE ADC AEAC EADCAD ADAD 已作 已证 公共边 ADEADC SAS 全等三角形的对应边相等 DEDC 在中 BE BD DE 三角形两边之差小于第三边 BDE 即ABAEBDDE 等量代换 ABACBDDC 证法二 证法二 补短法 如图 3 A B D C E 图 3 延长 AC 至 E 点 使 AE AB 连结 DE AD 平分 已知 BAC 角平分线的定义 BADDAC 在和中 BAD EAD ABAE BADCAD ADAD 已作 已证 公共边 SAS BADEAD 全等三角形的对应边相等 DBDE 在中 三角形两边之差小于第三边 DECECDEDC 用心 爱心 专心 即AEACDEDC 等量代换 ABACBDDC 例 8 已知如图 AB AC E 为 AB 上一点 F 是 AC 延长线上一点 且 BE CF EF 交 BC 于点 D 求证 DE DF A E C B G D F 4 1 2 3 分析 分析 要证 DE DF 从图上看这两条线段所在的两个三角形显然不能全等 这需要 添加辅助线构造全等三角形 使结论得证 证法证法 1 过点 E 作 EG AF 交 BC 于点 G 所以 12 所以 又因为 AB AC 所以 EGDDCF B2 所以 故 BE EG 又因为 BE CF 1B 所以 EG CF 于是和中 DEG DFC 34 EGDDCF GECF 故 所以 DE DF DEGDFC 证法证法 2 如图 过点 F 作 FM BA交 BC 延长线于点 M A E C M B G D F 4 1 2 3 所以 因为 AB AC 所以 BM B1 所以 所以 故 CF MF 1M 12 M2 又因为 BE CF 所以 BE MF 在和中 BE MF EBD FMD BM 34 所以 故 ED DF EBDFMD 证法证法 3 如图 过点 E 作于点 G 过 F 作交 BC 的延长线于点 HEG BC FH BC 用心 爱心 专心 A E C H B G D F 2 4 3 1 所以 EGBHEGD90 因为 AB AC 所以 B3 因为 所以 在和中 34 B4 EBG FCH EGBH BE CF B4 所以 EBGFCH 所以 EG FH 又因为 EGDH 12 所以 EGDFHD 故 ED DF 例 9 如图 1 已知弦 AB 等于半径 连结 OB 并延长到 C 使 BC OB 1 求证 AC 是 O 的切线 2 请你在 O 上选取一点 D 使得 AD AC 自己完成作图 并写出证明过程 O B A C 图 1 分析 分析 根据图形的对称性 2 中的 D 点可能不止一处 证明 证明 1 OBOAAB 为等边三角形 AOB AOBOBAOAB60 ABOBBC CABACBOBA 1 2 30 即 OACOABCAB603090 OA CA AC 是 O 的切线 2 解 作 BO 的延长线交 O 于 D 连接 AD CBBOOD ABAO CBAABOBOAAOD 180180 AODABCADAC 所以 D 点为所求 用心 爱心 专心 如图 2 在圆上取一点 D 使得 连结 AD D OA 120 D D O B A C 图 2 AOAB BCOD ABCAOD AODABCADAC 所以 D 也为所求 模拟试题模拟试题 1 如图所示 在中 AD 为的中线 那么下列结论错误的是 ABC BC ABC A B AB AC ABDACD C AD 是的高D 是等边三角形 ACD ABC A B C D 2 在和中 AB A B BC B C AC A C ABC A B C 下列条件中 不能保证 AA BB CC 的是 ABCA B C A B C D 3 如下图 某同学把一块三角形的玻璃打碎成了 3 块 现在要到玻璃店中去配一块完全 一样的玻璃 那么最省事的方法是 A 带 去B 带 去C 带 去D 带 去 4 如图所示 于 E 点 AD 平分 若 C90 DE AB CDE ADCBDE 则 B CAD DAE CDA 若的面积为 33 则的面积是 CDE ADE ABC 用心 爱心 专心 C D A E B 5 如图所示 再添加条件 或条件 就可以用 定 AD 理来判定 ABCDCB A D B C 6 如图 又 垂足为 E 求证 CD AD AB AD BCABACAE BC CD CE D C E A B 7 已知 O 是 AD 的中点 CO 的延长线交 BA 的延长线于 E 求AD AB AD DC 证 ABDCEB D C O E A B 8 如图 在矩形 ABCD 中 F 是 BC 边上一点 AF 的延长线交 DC 的延长线于 G 于 E 且DE AG DEDC 根据上述条件 请在图中找出一对全等三角形 并证明你的结论 A D E B F C G 3 1 2 9 是正三角形 在 AB BC 边上分别取点 E D 使 AE BD 过点 D E 分别 ABC 作 DF CE EF CD EF 交 DF 于 F 点 延长 FE 交 AC 于 G 求证 AGFEAC 用心 爱心 专心 A F E G B D C 用心 爱心 专心 试题答案试题答案 1 D2 D3 C 4 30 30 30 60 120 99 5 AAS ABCDCB ACBDCB 6 证明 AB AD BAD90 BACDAC90 又 DACACD90 BACACD 又 BACBCA ACBACD 又 ACAC DAEC90 ADCAEC CD CE 7 分析 要证明 BE AB DC 已知 BE AB AE 显然只要有 DC AE 就行了 若 DC AE 又因为 O 是 AD 中点 则 问题 DEAO90 Rt AEORt DCO 就转化为证明三角形全等 由 很容易可得到 EOACOD 证明 因为 O 是 AD 中点 所以 AO DO 因为 AD DC DA BE 所以 DEAO90 又因为 所以 ASA EOACOD EAOCDO 所以 因为 所以AECD BEABAE ABCDBE 8 解 理由如下 ABFADE 矩形 ABC