简称冲激响应.ppt

线性连续系统的描述及其响应冲激响应和阶跃响应卷积积分 第二章连续系统的时域分析 2 1线性连续系统的描述及其响应 2 1 1系统的描述描述线性非时变连续系统的数学模型是线性常系数微分方程 对于电系统 列写数学模型的基本依据有如下两方面 1 元件约束VAR 在电流 电压取关联参考方向条件下 1 电阻R uR t R iR t 2 电感L 3 电容C 4 互感 同 异名端连接 理想变压器等原 副边电压 电流关系等 2 结构约束KCL与KVL 下面举例说明 例2 1图2 1所示电路 输入激励是电流源iS t 试列出电流iL t 及R1上电压 u1 t 为输出响应变量的方程式 解由KVL 列出电压方程 对上式求导 考虑到 根据KCL 有iC t iS t iL t 因而 u1 t R1iC t R1 iS t iL t 整理上式后 可得 从上面例子可得到两点结论 1 解得的数学模型 即求得的微分方程的阶数与动态电路的阶数 即独立动态元件的个数 是一致的 2 输出响应无论是iL t u1 t 或是uC t i1 t 还是其它别的变量 它们的齐次方程都相同 这表明 同一系统当它的元件参数确定不变时 它的自由频率是唯一的 2 1 2微分方程的经典解 我们将上面两个例子推广到一般 如果单输入 单输出线性非时变的激励为f t 其全响应为y t 则描述线性非时变系统的激励f t 与响应y t 之间关系的是n阶常系数线性微分方程 它可写为 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t bmf m t bm 1f m 1 t b1f 1 t b0f t 式中an 1 a1 a0和bm bm 1 b1 b0均为常数 该方程的全解由齐次解和特解组成 齐次方程的解即为齐次解 用yh t 表示 非齐次方程的特解用yp t 表示 即有 y t yh t yp t 1 齐次解 齐次解满足齐次微分方程 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t 0由高等数学经典理论知 该齐次微分方程的特征方程为 n an 1 n 1 a1 a0 0 1 特征根均为单根 如果几个特征根都互不相同 即无重根 则微分方程的齐次解 2 特征根有重根 若 1是特征方程的 重根 即有 1 2 3 而其余 n 个根 1 2 n都是单根 则微分方程的齐次解 3 特征根有一对单复根 即 1 2 a jb 则微分方程的齐次解 yh t c1eatcosbt c2eatsinbt 4 特征根有一对m重复根 即共有m重 1 2 a jb的复根 则微分方程的齐次解 2 特解 特解的函数形式与激励函数的形式有关 下表列出了几种类型的激励函数f t 及其所对应的特征解yp t 选定特解后 将它代入到原微分方程 求出其待定系数Pi 就可得出特解 激励函数及所对应的解 3 完全解 根据上节所讲 完全解是齐次解与特解之和 如果微分方程的特征根全为单根 则微分方程的全解为 当特征根中 1为 重根 而其余 n 个根均为单根时 方程的全解为 如果微分方程的特征根都是单根 则方程的完全解为上式 将给定的初始条件分别代入到式上及其各阶导数 可得方程组 y 0 c1 c2 cn yp 0 y 0 1c1 2c2 ncn y p 0 y n 1 0 n 11c1 n 12c2 n 1ncn y n 1 p 0 2 1 3零输入响应和零状态响应 线性非时变系统的完全响应也可分解为零输入响应和零状态响应 零输入响应是激励为零时仅由系统的初始状态 x 0 所引起的响应 用yx t 表示 零状态响应是系统的初始状态为零 即系统的初始储能为零 时 仅由输入信号所引起的响应 用yf t 表示 这样 线性非时变系统的全响应将是零输入响应和零状态响应之和 即y t yx t yf t 在零输入条件下 式 2 7 等式右端均为零 化为齐次方程 若其特征根全为单根 则其零输入响应式中cxi为待定常数 若系统的初始储能为零 亦即初始状态为零 这时式 2 7 仍为非齐次方程 若其特征根均为单根 则其零状态响应 式中cfi为待定常数 系统的完全响应即可分解为自由响应和强迫响应 也可分解为零输入响应和零状态响应 它们的关系为 式中 在电路分析中 为确定初始条件 常常利用系统内部储能的连续性 即电容上电荷的连续性和电感中磁链的连续性 这就是动态电路中的换路定理 若换路发生在t t0时刻 有 2 2冲激响应和阶跃响应 2 2 1冲激响应 一线性非时变系统 当其初始状态为零时 输入为单位冲激信号 t 所引起的响应称为单位冲激响应 简称冲激响应 用h t 表示 亦即 冲激响应是激励为单位冲激信号 t 时 系统的零状态响应 其示意图如下图所示 冲激响应示意图 1 冲激平衡法 冲激平衡法是指为保持系统对应的动态方程式的恒等 方程式两边所具有的冲激信号函数及其各阶导数必须相等 根据此规则即可求得系统的冲激响应h t 例 已知某线性非时变系统的动态方程式为 试求系统的冲激响应h t 解根据系统冲激响应h t 的定义 当f t t 时 即为h t 即原动态方程式为由于动态方程式右侧存在冲激信号 t 为了保持动态方程式的左右平衡 等式左侧也必须含有 t 这样冲激响应h t 必为Ae tu t 的形式 考虑到该动态方程的特征方程为 特征根 1 3 因此可设h t Ae 3tu t 式中A为待定系数 将h t 代入原方程式有 即 解得A 2 因此 系统的冲激响应为 求导后 对含有 t 的项利用冲激信号 t 的取样特性进行化简 即 2 等效初始条件法 系统冲激响应h t 的求解还有另一种方法 称为等效初始条件法 冲激响应h t 是系统在零状态条件下 受单位冲激信号 t 激励所产生的响应 它属于零状态响应 例 已知某线性非时变 LTI 系统的动态方程式为 y t 3y t 2f t t 0 试求系统的冲激响应h t 解冲激响应h t 满足动态方程式 h t 3h t 2 t t 0 由于动态方程式右边最高次为 t 故方程左边的最高次h t 中必含有 t 故设 h t A t Bu t 因而有h t Au t 将h t 与h t 分别代入原动态方程有 A t Bu t 3Au t 2 t A t B 3A u t 2 t 解得 A 2 B 6 3 其它方法 系统的冲激响应h t 反映的是系统的特性 只与系统的内部结构和元件参数有关 而与系统的外部激励无关 但系统的冲激响应h t 可以由冲激信号 t 作用于系统而求得 在以上两种求解系统冲激响应h t 的过程中 都是已知系统的动态方程 2 2 2阶跃响应 一线性非时变系统 当其初始状态为零时 输入为单位阶跃函数所引起的响应称为单位阶跃响应 简称阶跃响应 用g t 表示 阶跃响应是激励为单位阶跃函数u t 时 系统的零状态响应 如图2 17所示 阶跃响应示意图 如果描述系统的微分方程是式 y n t an 1y n 1 t a1y 1 t a0y t bmf m t bm 1f m 1 t b1f 1 t b0f t 将f t u t 代入 可求得其特解上的特征根 i i 1 2 n 均为单根 则系统的阶跃响应的一般形式 n m 为 2 3卷积积分 2 3 1信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时 常常需要将信号分解为基本信号的形式 这样 对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析 从而将复杂问题简单化 且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰 信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例 信号分解为冲激序列 从上图可见 将任意信号f t 分解成许多小矩形 间隔为 各矩形的高度就是信号f t 在该点的函数值 根据函数积分原理 当 很小时 可以用这些小矩形的顶端构成阶梯信号来近似表示信号f t 而当 0时 可以用这些小矩形来精确表达信号f t 即 上式只是近似表示信号f t 且 越小 其误差越小 当 0时 可以用上式精确地表示信号f t 由于当 0时 k d 且 故式在 0时 有 2 3 2卷积积分法求解零状态响应 在求解系统的零状态响应yf t 时 将任意信号f t 都分解为冲激信号序列 然后充分利用线性非时变系统的特性 从而解得系统在任意信号f t 激励下的零状态响应yf t 由上式可得 上式表明 任意信号f t 可以分解为无限多个冲激序列的叠加 不同的信号f t 只是冲激信号 t k 前的系数f k 不同 系数亦即是该冲激信号的强度 这样 任一信号f t 作用于系统产生的响应yf t 可由诸 t k 产生的响应叠加而成 对于线性非时变系统 若系统的冲激响应为h t 则有下列关系式成立 系统的零状态响应yf t 为输入激励f t 与系统的冲激响应h t 的卷积积分 为 2 3 3卷积积分的性质 1 卷积积分的代数性质 卷积积分是一种线性运算 它具有以下基本特征 1 交换律 由上式说明两信号的卷积积分与次序无关 即系统输入信号f t 与系统的冲激响应h t 可以互相调换 其零状态响应不变 系统级联满足交换律 2 分配律 f1 t f2 t h t f1 t h t f2 t h t 上式的实际意义如下图所示 表明两个信号f1 t 与f2 t 叠加后通过某系统h t 将等于两个信号分别通过此系统h t 后再叠加 卷积分配律示意图 3 结合律 设有u t v t w t 三函数 则有 u t v t w t u t v t w t 由于 此时积分变量为 此时积分变量为 而从上式来看 对变量 而言 无异于一常数 可引入新积分变量x 则有 x d dx 将这些关系代入上式右边括号内 则有 交换积分次序 并根据卷积定义 即可得 4 卷积的微分特性 设 y t f t h t h t f t 则 y t f t h t h t f t 证明 5 卷积的积分特性 设 y t y t h t h t f t 则 y 1 t f 1 t h t h 1 t f t 式中y 1 t f 1 t 及h 1 t 分别表示y t f t 及h t 对时间t的一次积分 6 卷积的等效特性设 y t f t h t h t f t 则 y t f 1 t h t f t h 1 t 证明卷积微分特性 有 y t f t h t h t f t 将上式对时间t积分 即可证明式y t f 1 t h t f t h 1 t 上式说明 通过激励信号f t 的导数与冲激响应h t 的积分的卷积 或激励信号f t 的积分与冲激响应h t 的导数的卷积 同样可以求得系统的零状态响应 这一关系为计算系统的零状态响应提供了一条新途径 上述性质4 5 6 可以进一步推广 其一般形式如下 设 y t f t h t h t f t 则 y i j t f i t h j t h j t f i t 7 卷积的延时特性 若 f t h t y t 则有 f t t1 h t t2 y t t1 t2 2 奇异信号的卷积特性 含奇异信号的卷积积分具有以下特性 1 延时特性 f t k t t0 kf t t0 理想延时器及其冲激响应 同理 如果一个系统的冲激响应h t 为 t 则此系统称为理想放大器 其中k称为放大器的增益或放大系数 如图所示 当信号f t 通过该放大器时 其输出为 y t f t k t kf t 即输出是输入信号f t 的k倍 理想放大器及其冲激响应 2 微分特性 f t t f t 即 任意信号f t 与冲激偶信号 t 卷积 其结果为信号f t 的一阶导数 如果一个系统的冲激响应为冲激偶信号 t 则此系统称为微分器 如下图所示 微分器及其冲激响应 3 积分特性即 任意信号f t 与阶跃信号u t 卷积 其结果为信号f t 本身对时间的积分 如果一个系统的冲激响应为阶跃信号u t 则此系统称为积分器 如下图所示 积分器及其冲激响应 2 3 4卷积积分的计算 1 解析计算参与卷积的两个信号f1 t 与f2 t 都可以用解析函数式表达 可以直接按照卷积的积分定义进行计算 例 已知f1 t e 3tu t f2 t e 5tu t 试计算两信号的卷积f1 t f2 t 解根据卷积积分的定义 可得 在利用卷积的定义通过信号的函数解析式进行卷积时 对于一些基本信号可以通过查卷积积分表直接得到 避免卷积积分过程中重复与繁杂的计算 卷积积分表如下表所示 当然 在利用解析式进行求解信号卷积时 可以利用卷积的一些特性来简化运算 卷积积分常用公式表 2 图解计算 对于一些较简单的函数符号 如方波 三角波等 可以利用图解方式来计算 而且 熟练掌握图解卷积的方法 对理解卷积的运算过程是有帮助的 下面通过例题来介绍图解卷积的具体步骤 例 已知分别如下图 a b 所示 试用图解法求两信号的卷积y t f t h t 综合各段结果