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二 第一 四章 120分钟150分 第I卷 选择题共60分 一 选择题 本大题共12小题 每小题5分 共60分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 滚动单独考查 2011 厦门模拟 已知集合M x x 1 N x 2x 1 则M N A B x x 0 C x x 1 D x 0 x 1 解析 选D 2x 1 x 0 M N x 0 x 1 2 下列命题正确的是 向量是共线向量 则A B C D四点必在同一直线上 单位向量都相等 任一向量与它的相反向量不相等 模为0是一个向量方向不确定的充要条件 共线的向量 若起点不同 则终点一定不同 A B C D 解析 选C 不正确 共线向量即平行向量 只要求方向相同或相反即可 并不要求两个向量在同一直线上 不正确 单位向量的模均相等且为1 但方向并不确定 不正确 零向量的相反向量仍是零向量 但零向量与零向量是相等的 正确 不正确 如图与共线 虽起点不同 但其终点却相同 3 滚动单独考查 以下有关命题的说法错误的是 A 命题 若x2 3x 2 0 则x 1 的逆否命题为 若x 1 则x2 3x 2 0 B x 1 是 x2 3x 2 0 的充分不必要条件 C 若p q为假命题 则p q均为假命题 D 对于命题p x R 使得x2 x 1 0 则p x R 均有x2 x 1 0 解析 选C 若p q为假命题 则p q中至少一个为假命题即可 4 2011 宣武模拟 设平面向量 1 2 2 y 若 则等于 解析 选A y 4 2 4 3 1 2 2 4 1 2 5 滚动交汇考查 对于函数f x 0 x 下列结论正确的是 A 有最大值而无最小值 B 有最小值而无最大值 C 有最大值且有最小值 D 既无最大值又无最小值 解析 选B 依题意 0 x 0 sinx 1 所以有最小值而无最大值 选择B 6 如果实数b与纯虚数z满足关系式 2 i z 4 bi 其中i为虚数单位 那么b等于 A 8 B 8 C 2 D 2 解析 选B z为纯虚数 可设z ai a 0 由 2 i z 4 bi 得 2 i ai 4 bi 2ai a 4 bi 即b 8 方法技巧 复数相等的充要条件的应用两个复数相等当且仅当它们的实部与虚部分别对应相等 利用这一性质可以把复数问题实数化 设出复数的代数形式z a bi a b R 由复数相等 可以得到由两个实数等式所组成的方程组 从而可以确定两个独立的基本量 7 2011 淄博模拟 已知O是 ABC所在平面内一点 D为BC边中点 且 那么 解析 选A 又D是BC边中点 O是AD的中点 且 8 滚动单独考查 设A B C是 ABC的三个内角 且tanA tanB是方程3x2 5x 1 0的两个实根 那么 ABC是 A 钝角三角形 B 锐角三角形 C 等腰直角三角形 D 以上均有可能 解析 选A 由题意得又 角C为钝角 故 ABC是钝角三角形 9 2011 双鸭山模拟 复数的虚部是 解析 选B 原式 10 滚动交汇考查 设函数f x xsinx x 若f x1 f x2 则下列不等式必定成立的是 A x1x2 C x12x22 解析 选D 显然f x xsinx为偶函数 且在上单调递增 f x1 f x2 f x1 f x2 x1 x2 x12 x22 11 滚动单独考查 已知函数y sin x 且此函数的图象如图所示 则点P 的坐标为 解析 选B 依题意 T 所以 2 排除C D 又由2 选择B 12 滚动交汇考查 已知M是 ABC内的一点 且 BAC 30 若 MBC MCA和 MAB的面积分别为 x y 则的最小值是 A 9 B 18 C 16 D 20 解析 选B ABC的面积为 第 卷 非选择题共90分 二 填空题 本大题共4小题 每小题5分 共20分 请把正确答案填在题中横线上 13 滚动单独考查 命题 任意常数列都是等比数列 的否定形式是 解析 全称命题的否定是存在性命题 答案 存在一个常数列不是等比数列 14 在复平面内 复数对应的点位于第 象限 解析 其对应的点为 故位于第四象限 答案 四 15 2011 天水模拟 已知二次项系数为正的二次函数f x 对任意x R 都有f 1 x f 1 x 成立 设向量 sinx 2 2sinx cos2x 1 1 2 当x 0 时 不等式的解集为 解析 2sin2x 1 1 cos2x 2 1 且f x 在 1 上单调递增 据条件知2sin2x 1 cos2x 2 化简得sin2x x 0 sinx 0 答案 16 滚动交汇考查 定义区间 m n m n m n m n 的长度均为n m 其中n m 已知关于x的不等式组的解集构成的各区间的长度和为5 则实数t的取值范围是 解析 由题意 得 由不等式组中的前两个不等式可知t 0 显然0 x 5对应的区间长度为5 若原不等式组的解集构成的区间的长度和为5 则 0 5 必须是tx2 tx 30 0的解集的子集 令f x tx2 tx 30 则综上 0 t 1 答案 0 1 三 解答题 本大题共6小题 共70分 解答时应写出必要的文字说明 证明过程或演算步骤 17 10分 已知复数z1 a bi z2 c di a b c d R 1 在复平面中 若OZ1 OZ2 O为坐标原点 复数z1 z2分别对应点Z1 Z2 求a b c d满足的关系式 2 若 z1 z2 1 z1 z2 求 z1 z2 解析 1 由OZ1 OZ2 得即ac bd 0 2 由 z1 z2 1可得a2 b2 1 c2 d2 1 又 z1 z2 即 a c 2 b d 2 3 结合 可得2ac 2bd 1 18 12分 滚动单独考查 设函数f x ax2 b 2 x 3 a 0 若不等式f x 0的解集为 1 3 1 求a b的值 2 若函数f x 在x m 1 上的最小值为1 求实数m的值 解析 1 由条件得解得 a 1 b 4 2 f x x2 2x 3 对称轴方程为x 1 f x 在x m 1 上单调递增 x m时 f x min m2 2m 3 1 解得 m 1 19 12分 2011 淄博模拟 已知向量 cos sin cos sin 设且满足 1 写出y关于x的函数关系式y f x 2 设函数g x f x ax在 1 1 上单调递减 求a的取值范围 解析 1 由已知得 cos sin cos sin sin cos 0 y x x2 3 0 y x x2 3 2 g x f x ax x x2 3 ax x3 3 a x g x 3x2 3 a 函数g x 在 1 1 上单调递减 g x 0在 1 1 上恒成立 即3x2 3 a 0 3x2 3 a 0即a 3 3x2 x 1 1 时恒成立 a 3 3 即a 6 20 12分 滚动单独考查 ABC的面积是30 内角A B C所对边长分别为a b c 1 求 2 若c b 1 求a的值 解析 由得又 1 2 a2 b2 c2 2bccosA c b 2 2bc 1 cosA a 5 21 12分 2011 黄冈模拟 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 向量 2sinB cos2B 且 1 求锐角B的大小 2 如果b 2 求 ABC的面积S ABC的最大值 解析 1 2sinB 2cos2 1 sin2B即tan2B 又 B为锐角 2B 0 2 B b 2 由余弦定理cosB 得a2 c2 ac 4 0 又 a2 c2 2ac 代入上式得 ac 4 当且仅当a c 2时等号成立 S ABC 当且仅当a c 2时等号成立 故 ABC的面积S ABC的最大值为 22 12分 滚动单独考查 2011 长沙模拟 已知f x 是二次函数 不等式f x 0的解集是 0 5 且f x 在区间 1 4 上的最大值是12 1 求f x 的解析式 2 是否存在自然数m 使得方程在区间 m m 1 内有且只有两个不等的实数根 若存在 求出m的取值范围 若不存在 说明理由 解析 1 f x 是二次函数 且f x 0 f x 在区间 1 4 上的最大值是f 1 6a 由已知得6a 12 a 2 f x 2x x 5 2x2 10 x 2 方程等价于方程2x3 10 x2 37 0 设h x 2