《复数》知识点总结

第 1 页 复数复数 知识点总结知识点总结 1 复数的概念 形如的数叫做复数 其中 叫做虚数单位 满足 叫做复数 abi a bR i 2 1i a 的实部 叫做复数的虚部 b 1 纯虚数 对于复数 当时 叫做纯虚数 zabi 00ab 且 2 两个复数相等 相等的充要条件是 abi cdi abcdR acb d 且 3 复平面 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面 横轴为实轴 竖轴除去原点 为虚轴 4 复数的模 复数可以用复平面内的点表示 向量的模叫做复数zabi Z a bOZ 的模 表示为 zabi 22 zabiab 5 共轭复数 两个复数的实部相等 虚部互为相反数时 这两个复数叫做共轭复数 2 复数的四则运算 1 加减运算 abicdiacbd i 2 乘法运算 abicdiacbdadbc i 3 除法运算 2222 0 acbdbcad abicdii cdi cdcd 4 的幂运算 i 4 1 n i 41n ii 42 1 n i 43n ii nZ 5 22 zzzz 3 规律方法总结 1 对于复数必须强调均为实数 方可得出实部为 虚部为 zabi a bR a ba b 2 复数是由它们的实部和虚部唯一确定的 两个复数相等的充要 zabi a bR 条件是把复数问题转化为实数问题的主要方法 对于一个复数 既要 zabi a bR 从整体的角度去认识它 把复数看成一个整体 又要从实部 虚部的角度分解成两部分去 认识 3 对于两个复数 若不全是实数 则不能比较大小 在复数集里一般没有大小之分 但却有相等与不等之分 4 数系扩充后 数的概念由实数集扩充到复数集 实数集中的一些运算性质 概念 关系就不一定适用了 如绝对值的性质 绝对值的定义 偶次方非负等 第 2 页 1 基本概念计算类 例 1 若 43 2 21 iziaz 且 2 1 z z 为纯虚数 则实数 a 的值为 解 因为 2 1 z z 25 46 83 25 8463 43 43 43 2 43 2iaaiaia ii iia i ia 又 2 1 z z 为纯虚数 所以 3a 8 0 且 6 4a 0 3 8 a 2 复数方程问题 例 2 证明 在复数范围内 方程 i i ziz 2 55 1 2 i 为虚数单位 无解 证明 原方程化简为 31 1 1 iziziz 设 z x yi x yR 代入上述方 程得 322 1 3122 22 22 yx yx iyixiyx 整理得05128 2 xx 0 16 方程无实数解 所以原方程在复数范围内无解 3 综合类 例 3 设 z 是虚数 z z 1 是实数 且 1 2 1 求 z 的值及 z 的实部的取值范围 2 设 z z M 1 1 求证 M 为纯虚数 3 求 2 M 的最小值 解 1 设 z a bi a b0 bR 1 2222 i ba b b ba a a bia bia 因为 是实数 0 b 所以 1 22 ba 即 z 1 因为 2a 1 0 所以 2 M 2 2 3 1 当 a 1 1 1 a 即 a 0 时上式取等号 所以 2 M 的最小值是 1 4 创新类 例 4 对于任意两个复数Ryyxxiyxziyxz 2121222111 定义运算 为 1 z 2 z 2121 yyxx 设非零复数 21 在复平面内对应的点分别为 21 P P 点 O 为坐标 原点 若 1 2 0 则在 21OP P 中 21OP P 的大小为 解法一 解析法 设 0 21222111 aaibaiba 故得点 111 baP 222 baP 且 2121 bbaa 0 即1 2 2 1 1 a b a b 从而有 21 21 OPOP kk 1 2 2 1 1 a b a b 故 21 OPOP 也即 0 21 90 OPP 解法二 用复数的模 同法一的假设 知 2 1 2 1 2 1 2 1 baOP 2 2 2 2 2 2 2 2 baOP 2 2121 2 21 2 21 ibbaaPP 2 1 2 1 ba 2 2 2 2 ba 2 2121 bbaa 2 1 2 1 ba 2 2 2 2 ba 2 0 2 1 2 1 ba 2 2 2 2 ba 2 1 OP 2 2 OP 由勾股定理的逆定理知 0 21 90 OPP 解法三 用向量数量积