三角函数关系

cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan sin 2 2sin cos 2 tan cot cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 tan 2 2tan 1 tan 2 它有六种基本函数 初等基本表示 斜边为 r 对边为 y 邻边为 x 在平面直角坐标系 xOy 中 从点 O 引出一条射线 OP 设旋转角为 设 OP r P 点的坐标为 x y 有 正弦函数 sin y r 正弦 sin 角 的对边比上斜边 余弦函数 cos x r 余弦 cos 角 的邻边比上斜边 正切函数 tan y x 正切 tan 角 的对边比上邻边 余切函数 cot x y 余切 cot 角 的邻边比上对边 正割函数 sec r x 正割 sec 角 的斜边比上邻边 余割函数 csc r y 余割 csc 角 的斜边比上对边 以及两个不常用 已趋于被淘汰的函数 正矢函数 versin 1 cos 余矢函数 covers 1 sin 编编辑辑本本段段 基基本本公公式式 同同角角三三角角函函数数关关系系式式 平方关系 sin 2 cos 2 1 cos 2 a 1 cos2a 2 tan 2 1 sec 2 sin 2 a 1 cos2a 2 cot 2 1 csc 2 积的关系 sin tan cos cos cot sin tan sin sec cot cos csc sec tan csc csc sec cot 倒数关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 商的关系 sin cos tan sec csc cos sin cot csc sec 直角三角形 ABC 中 角 A 的正弦值就等于角 A 的对边比斜边 余弦等于角 A 的邻边比斜边 正切等于对边比邻边 对称性 180 度 的终边和 的终边关于 y 轴对称 的终边和 的终边关于 x 轴对称 180 度 的终边和 的终边关于 原点对称 180 度 的终边关于 y x 对称 诱导公式 sin a sin a cos a cos a sin 2 a cos a cos 2 a sin a sin 2 a cos a cos 2 a sin a sin a sin a cos a cos a sin a sin a cos a cos a tgA tanA sinA cosA 两角和与差的三角函数 sin a b sin a cos b cos a sin b cos a b cos a cos b sin a sin b sin a b sin a cos b cos a sin b cos a b cos a cos b sin a sin b tan a b tan a tan b 1 tan a tan b tan a b tan a tan b 1 tan a tan b 三角函数和差化积公式 sin a sin b 2sin a b 2 cos a b 2 sin a sin b 2cos a b 2 sin a b 2 cos a cos b 2cos a b 2 cos a b 2 cos a cos b 2sin a b 2 sin a b 2 积化和差公式 sin a sin b 1 2 cos a b cos a b cos a cos b 1 2 cos a b cos a b sin a cos b 1 2 sin a b sin a b 二倍角公式 sin 2a 2sin a cos a cos 2a cosa 2 sina 2 2 cosa 2 1 1 2 sina 2 半角公式 sin 2a 2 1 cos a 2 cos 2 a 2 1 cos a 2 tan a 2 1 cosa sin a sin a 1 cos a 万能公式 sin a 2tan a 2 1 tan 2 a 2 cos a 1 tan 2 a 2 1 tan 2 a 2 tan a 2tan a 2 1 tan 2 a 2 其它公式 a sin a b cos a sqrt a 2 b 2 sin a c 其中 tan c b a a sin a b cos a sqrt a 2 b 2 cos a c 其中 tan c a b 1 sin a sin a 2 cos a 2 2 1 sin a sin a 2 cos a 2 2 其他非重点三角 函数 csc a 1 sin a sec a 1 cos a cos30 sin60 sin30 cos60 恒恒等等变变形形公公式式 两角和与差的三角函数 cos cos cos sin sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos sin tan tan tan 1 tan tan tan tan tan 1 tan tan 三角和的三角函数 sin sin cos cos cos sin cos cos cos sin sin sin sin cos cos cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos tan tan tan tan tan tan tan 1 tan tan tan tan tan tan 辅助角公式 Asin Bcos A 2 B 2 sin arctan B A 其中 sint B A 2 B 2 cost A A 2 B 2 tant B A Asin Bcos A 2 B 2 cos t tant A B 倍角公式 sin 2 2sin cos 2 tan cot cos 2 cos 2 sin 2 2 cos 2 1 1 2 sin 2 tan 2 2tan 1 tan 2 三倍角公式 sin 3 3sin 4sin 3 4sin sin 60 sin 60 cos 3 4cos 3 3cos 4cos cos 60 cos 60 tan 3 3tan tan 3 1 3tan 2 tan tan 3 tan 3 半角公式 sin 2 1 cos 2 cos 2 1 cos 2 tan 2 1 cos 1 cos sin 1 cos 1 cos sin 降幂公式 sin 2 1 cos 2 2 versin 2 2 cos 2 1 cos 2 2 covers 2 2 tan 2 1 cos 2 1 cos 2 万能公式 sin 2tan 2 1 tan 2 2 cos 1 tan 2 2 1 tan 2 2 tan 2tan 2 1 tan 2 2 积化和差公式 sin cos 1 2 sin sin cos sin 1 2 sin sin cos cos 1 2 cos cos sin sin 1 2 cos cos 和差化积公式 sin sin 2sin 2 cos 2 sin sin 2cos 2 sin 2 cos cos 2cos 2 cos 2 cos cos 2sin 2 sin 2 推导公式 tan cot 2 sin2 tan cot 2cot2 1 cos2 2cos 2 1 cos2 2sin 2 1 sin sin 2 cos 2 2 其他 sin sin 2 n sin 2 2 n sin 2 3 n sin 2 n 1 n 0 cos cos 2 n cos 2 2 n cos 2 3 n cos 2 n 1 n 0 以及 sin 2 sin 2 2 3 sin 2 2 3 3 2 tanAtanBtan A B tanA tanB tan A B 0 cosx cos2x cosnx sin n 1 x sinnx sinx 2sinx 证明 左边 2sinx cosx cos2x cosnx 2sinx sin2x 0 sin3x sinx sin4x sin2x sinnx sin n 2 x sin n 1 x sin n 1 x 2s inx 积化和差 sin n 1 x sinnx sinx 2sinx 右边 等式得证 sinx sin2x sinnx cos n 1 x cosnx cosx 1 2sinx 证明 左边 2sinx sinx sin2x sinnx 2sinx cos2x cos0 cos3x cosx cosnx cos n 2 x cos n 1 x cos n 1 x 2sinx cos n 1 x cosnx cosx 1 2sinx 右边 等式得证 三三倍倍角角公公式式推推导导 sin3a sin 2a a sin2acosa cos2asina 2sina 1 sin 2a 1 2sin 2a sina 3sina 4sin 3a cos3a cos 2a a cos2acosa sin2asina 2cos 2a 1 cosa 2 1 cos 2a cosa 4cos 3a 3cosa sin3a 3sina 4sin 3a 4sina 3 4 sin 2a 4sina 3 2 2 sin 2a 4sina sin 260 sin 2a 4sina sin60 sina sin60 sina 4sina 2sin 60 a 2 cos 60 a 2 2sin 60 a 2 cos 60 a 2 4sinasin 60 a sin 60 a cos3a 4cos 3a 3cosa 4cosa cos 2a 3 4 4cosa cos 2a 3 2 2 4cosa cos 2a cos 230 4cosa cosa cos30 cosa cos30 4cosa 2cos a 30 2 cos a 30 2 2sin a 30 2 sin a 30 2 4cosasin a 30 sin a 30 4cosasin 90 60 a sin 90 60 a 4cosacos 60 a cos 60 a 4cosacos 60 a cos 60 a 上述两式相比可得 tan3a tanatan 60 a tan 60 a 诱诱导导公公式式 公式一 设 为任意角 终边相同的角的同一三角函数的值相等 sin 2k sin cos 2k cos tan k tan cot k cot 公式二 设 为任意角 的三角函数值 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式三 任意角 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式四 利用公式二和公式三可以得到 与 的三角函数值之间的关系 sin sin cos cos tan tan cot cot 公式五 利用公式一和公式三可以得到2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 sin cos 2 cos tan 2 tan cot 2 cot 公式六 2 及 3 2 与 的三角函数值之间的关系 sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan 以上 k Z 补充 6 9 54 种诱导公式的表格以及推导方法 定名法则和定号法则 f f sin cos tan cot sec csc 360k sin cos tan cot sec csc 90 cos sin cot tan csc sec 90 cos sin cot tan csc sec 180 sin cos tan cot sec csc 180 sin cos tan cot sec csc 270 cos sin cot tan csc sec 270 cos sin cot tan csc sec 360 sin cos tan cot sec csc sin cos tan cot sec csc 定名法则 90 的奇数倍 的三角函数 其绝对值与 三角函数的绝对值互为 余函数 90 的偶数倍 的三角函数与 的三角函数绝对值相同 也就是 奇余偶同 奇变偶不变 定号法则 将 看做锐角 注意是 看做 按所得的角的象限 取三角函数的符号 也就 是 象限定号 符号看象限 或为 奇奇变变偶偶不不变变 符符号号看看象象限限 2 在 K 中如果 K 为奇数时函数名不变 若为偶数时函数名变为相反的函数名 正负号看原函数中 所在象限的正负号 关于 正正负负号号有有可可口口诀诀 一一全全二二正正弦弦 三三切切四四 余余弦弦 即第一象限全部为正 第二象限角正弦为正 第三为正切为正 第四象限余弦为 正 比如 90 定名 90 是 90 的奇数倍 所以应取余函数 定号 将 看做锐 角 那么 90 是第二象限角 第二象限角的正弦为正 余弦为负 所以sin 90 cos cos 90 sin 这个非常神奇 屡试不爽 还有一个口诀 纵纵变变横横不不变变 符符号号看看象象限限 例如 sin 90 90 的终边在纵轴 上 所以函数名变为相反的函数名 即cos 将 看做锐角 那么 90 是第二象 限角 第二象限角的正弦为正 所以sin 90 cos 编编辑辑本本段段 相相关关计计算算 幂级数 c0 c1x c2x2 cnxn cnxn n 0 c0 c1 x a c2 x a 2 cn x a n cn x a n n 0 它们的各项都是正整数幂的 幂函数 其中 c0 c1 c2 及 a 都是常数 这种级 数称为幂级数 泰勒展开式 幂级数展开法 f x f a f a 1 x a f a 2 x a 2 f n a n x a n 实用幂级数 ex 1 x x2 2 x3 3 xn n ln 1 x x x2 3 x3 3 1 k 1 xk k x 1 sin x x x3 3 x5 5 1 k 1 x2k 1 2k 1 x cos x 1 x2 2 x4 4 1 k x2k 2k x arcsin x x 1 2 x3 3 1 3 2 4 x5 5 x 1 arccos x x 1 2 x3 3 1 3 2 4 x5 5 x 1 arctan x x x 3 3 x 5 5 x 1 sinh x x x3 3 x5 5 1 k 1 x2k 1 2k 1 x cosh x 1 x2 2 x4 4 1 k x2k 2k x arcsinh x x 1 2 x3 3 1 3 2 4 x5 5 x 1 arctanh x x x 3 3 x 5 5 x 1 在解初等三角函数时 只需记住公式便可轻松作答 在竞赛中 往往会用到与图像 结合的方法求三角函数值 三角函数不等式 面积等等 傅立叶级数 三角级数 f x a0 2 n 0 ancosnx bnsinnx a0 1 f x dx an 1 f x cosnx dx bn 1 f x sinnx dx 三角函数的数值符号 正弦 第一 二象限为正 第三 四象限为负 余弦 第一 四象限为正 第二 三象限为负 正切 第一 三象限为正 第二 四象限为负 编编辑辑本本段段 相相关关概概念念 三三角角形形与与三三角角函函数数 1 正弦定理 在三角形中 各边和它所对的角的正弦的比相等 即a sinA b si nB c sinC 2R 其中 R 为外接圆的半径 2 第一余弦定理 三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积的 和 即 a c cosB b cosC 3 第二余弦定理 三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两边 与它们夹角的余弦的积的 2 倍 即 a b c 2bc cosA 4 正切定理 napier 比拟 三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的 正切比值 即 a b a b tan A B 2 tan A B 2 tan A B 2 cot C 2 5 三角形中的恒等式 对于任意非直角三角形中 如三角形 ABC 总有 tanA tanB tanC tanAtanBtanC 证明 已知 A B C 所以 tan A B tan C 则 tanA tanB 1 tanAtanB tan tanC 1 tan tanC 整理可得 tanA tanB tanC tanAtanBtanC 类似地 我们同样也可以求证 当 n n Z 时 总有 tan tan tan tan tan tan 三角函数图像 三三角角函函数数图图像像 定定义义域域和和值值域域 sin x cos x 的定义域为 R 值域为 1 1 tan x 的定义域为 x 不等于 2 k 值域为 R cot x 的定义域为 x 不等于 k 值域为 R 初初等等三三角角函函数数导导数数 y sinx y cosx y cosx y sinx y tanx y 1 cosx secx y cotx y 1 sinx cscx y secx y secxtanx y cscx y cscxcotx y arcsinx y 1 1 x y arccosx y 1 1 x y arctanx y 1 1 x y arccotx y 1 1 x 倒数关系 商的关系 平方关系 tan cot 1 sin csc 1 cos sec 1 sin cos tan sec cs c cos sin cot csc se c sin2 cos2 1 1 tan2 sec2 1 cot2 csc2 诱导公式诱导公式 sin sin cos cos tan tan cot cot sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin 2 cos cos 2 sin tan 2 cot cot 2 tan sin sin cos cos tan tan cot cot sin sin cos cos tan tan cot cot sin 3 2 cos cos 3 2 sin tan 3 2 cot cot 3 2 tan si