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文档简介

第六章一元微积分的应用 本章学习要求 熟练掌握求函数的极值 最大最小值 判断函数的单调性 判断函数的凸凹性以及求函数拐点的方法 能运用函数的单调性 凸凹性证明不等式 掌握建立与导数和微分有关的数学模型的方法 能熟练求解相关变化率和最大 最小值的应用问题 知道平面曲线的弧微分 曲率和曲率半径的概念 并能计算平面曲线的弧微分 曲率 曲率半径和曲率中心 第六章导数的应用 第五节平面曲线的曲率 一 曲率的概念 二 曲率的计算公式 三 参数方程下曲率的计算公式 四 曲率圆 曲率中心 我们已经讨论过曲线的凹凸性 知道如 判定曲线的弯曲程度 而在许多实际问题中 何判断曲线的弯曲方向 但是还不能描述和 都必须考虑曲线的弯曲程度 例如 道路的 弯道设计 梁的弯曲程度 曲线形的切削工 具的设计等等 你认为应该如何描述 曲线的弯曲程度 单位弧长上的转角 一 曲率的概念 解 求半径为R的圆上任意一点处的曲率 如图所示 在圆上任取一点M 则 故 即圆上点的曲率处处相同 半径越小的圆 弯曲得越厉害 设曲线方程为 则在曲线上点 处的曲率为 二 曲率的计算公式 证 如图所示 曲线在 故 又 从而 解 直线上任意一点处的曲率均为零 俗话说 直线不弯曲 解 哪一点曲率最大 哪一点曲率最小 利用参数方程求导法求出 故 得驻点 故在各象限中 由此可得 将它们代入曲率计算公式中即可得 三 参数方程下曲率的计算公式 解 会出现导数的分母 为零的情形 相同 对称 故原问题可以转为求曲线 图形关于 在有些实际问题中 现在问你一下 假设单位是统一的 如果告诉你一条曲线在点M处的曲率为 你能想象出它的弯曲程度吗 如果告诉你有一个半径为5的圆 你能想象 出该圆上任何一点处的弯曲程度吗 由此及前面讲的例题1 你有什么想法 曲率圆 曲率半径 曲率中心 处可用一个相应的圆来描述曲线的弯曲程度 作其 法线 在法线指向曲线凹向的一侧上取一点Q 使 以Q为中心 R为半径所作的圆称为曲线在点 M处的曲率圆 圆心Q称为曲率中心 R称为 曲率半径 三 曲率圆 曲率中心 曲率圆与曲线在点M处相切 且在点M处 两者曲率相同 曲率圆与曲线在点M处具有相同的一 二 阶导数 当讨论曲线在点M处与一 二阶 导数有关的局部性质时 可以通过讨论其相 应的曲率圆的局部性质来实现 曲率圆的性质 则曲线在点 曲率中心的坐标 证 则 曲线在点 由于 故有 其斜率为 曲线在点M处切线的斜率为 从而 有 1 2 由 1 2 两式消去 由于曲率圆总是位于曲线凹向的一侧 所以 故对上式两边
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