人教八年级数学特殊平行四边形相关知识归纳总结与例题精讲

龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 特殊的平行四边形相关知识归纳特殊的平行四边形相关知识归纳 和常见题型精讲和常见题型精讲 附附 矩形菱形正方形的性质和判定总表矩形菱形正方形的性质和判定总表 矩形矩形菱形菱形正方形正方形 边边对边平行且相等对边平行且相等对边平行 四边相等对边平行 四边相等对边平行 四边相等对边平行 四边相等 角角四个角都是直角四个角都是直角对角相等对角相等四个角都是直角四个角都是直角 性性 质质 对对 角角 线线 互相平分且相等互相平分且相等 互相垂直平分 且每条互相垂直平分 且每条 对角线平分一组对角对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等互相垂直平分且相等 每条对角线平每条对角线平 分一组对角分一组对角 判定判定 有三个角是直角有三个角是直角 是平行四边形且是平行四边形且 有一个角是直角有一个角是直角 是平行四边形且是平行四边形且 两条对角线相等两条对角线相等 四边相等的四边形 四边相等的四边形 是平行四边形且有一是平行四边形且有一 组邻边相等 组邻边相等 是平行四边形且两条是平行四边形且两条 对角线互相垂直 对角线互相垂直 是矩形 且有一组邻边相等 是矩形 且有一组邻边相等 是菱形 且有一个角是直角 是菱形 且有一个角是直角 对称性对称性既是轴对称图形 又是中心对称图形既是轴对称图形 又是中心对称图形 一一 矩形矩形 矩形定义矩形定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 通常也叫长方形或正方形 矩形是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 矩形也是轴对称图形 对称轴是通 过对边中点的直线 有两条对称轴 矩形的性质矩形的性质 具有平行四边形的一切特征 矩形性质矩形性质 1 矩形的四个角都是直角 矩形性质矩形性质 2 矩形的对角线相等且互相平分 如图 在矩形 ABCD 中 AC BD 相交于点 O 由性质 2 有 AO BO CO DO AC 2 1 BD 因此可以得到直角三角形的一个性质 直角三角形的一个性质 直角三角形斜边上 2 1 的中线等于斜边的一半 矩形的判定方法 矩形的判定方法 矩形判定方法矩形判定方法 1 对角钱相等的平行四边形是矩形 龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 矩形判定方法矩形判定方法 2 有三个角是直角的四边形是矩形 矩形判定方法矩形判定方法 3 有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形判定方法矩形判定方法 4 4 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 例例 1 已知 如图 矩形 ABCD AB 长 8 cm 对角线比 AD 边长 4 cm 求 AD 的长及点 A 到 BD 的距离 AE 的长 例例 2 已知 如图 矩形 ABCD 中 E 是 BC 上一点 DF AE 于 F 若 AE BC 求证 CE EF 例例 3 如图 已知矩形 ABCD 中 E 是 AD 上的一点 F 是 AB 上的一点 EF EC 且 EF EC DE 4cm 矩形 ABCD 的周长为 32cm 求 AE 的长 例例 4 如图 在 ABCD 中 E 为 BC 的中点 连接 AE 并延长交 DC 的延长线于点 F 1 求证 AB CF 2 当 BC 与 AF 满足什么数量关系时 四边形 ABFC是矩形 并说明理由 F E D C B A 龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 二 菱形二 菱形 菱形定义 菱形定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 强调强调 菱形 1 是平行四边形 2 一组邻边相等 菱形的性质菱形的性质 性质性质 1 菱形的四条边都相等 性质性质 2 菱形的对角线互相平分 并且每条对角线平分一组对角 菱形的判定菱形的判定 菱形判定方法菱形判定方法 1 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 注意此方法包括两个条件 1 是一个平行四边形 2 两条对角线互 相垂直 菱形判定方法菱形判定方法 2 四边都相等的四边形是菱形 例例 1 已知 如图 四边形 ABCD 是菱形 F 是 AB 上一点 DF 交 AC 于 E 求证 AFD CBE 例例 2 已知 如图ABCD 的对角线 AC 的垂直平分线与边 AD BC 分别交于 E F 求证 四边形 AFCE 是菱形 例例 3 如图 在 ABCD 中 O 是对角线 AC 的中点 过点 O 作 AC 的垂线与边 AD BC 分别交于 E F 求证 四边形 AFCE 是菱形 A B C D E F O 1 2 龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 例例 4 已知如图 菱形 ABCD 中 E 是 BC 上一点 AE BD 交于 M 若 AB AE EAD 2 BAE 求证 AM BE 例例 5 10 湖南益阳 如图 在菱形 ABCD 中 A 60 AB 4 O 为对角线 BD 的 中点 过 O 点作 OE AB 垂足为 E 1 求线段BE的长 例例 6 2008 四川自贡 四川自贡 如图 四边形 ABCD 是菱形 DE AB 交 BA 的延长线于 E DF BC 交 BC 的延长线于 F 请你猜想 DE 与 DF 的大小有什么关系 并证明你 的猜想 例例 7 2008 山东烟台 山东烟台 如图 菱形 ABCD 的边长为 2 BD 2 E F 分别是边 AD CD 上的两个动点 且满 足 AE CF 2 1 求证 BDE BCF 2 判断 BEF 的形状 并说明理由 3 设 BEF 的面积为 S 求 S 的取值范围 B M A D C E D A B C O E 60 龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 三 正方形三 正方形 正方形是在平行四边形的前提下定义定义的 它包含两层意思 有一组邻边相等的平行四边形 菱形 有一个角是直角的平行四边形 矩形 正方形不仅是特殊的平行四边形 并且是特殊的矩形 又是特殊的菱形 正方形定义 正方形定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 正方形是中心对称图形 对称中心是对角线的交点 正方形又是轴对称 图形 对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线 共有四条对称轴 因为正方形是平行四边形 矩形 又是菱形 所以它的性质是它们性质的综合 正方正方 形的性质总结如下 形的性质总结如下 边 边 对边平行 四边相等 角 角 四个角都是直角 对角线 对角线 对角线相等 互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 注意 注意 正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形 对角线与边的 夹角是 45 正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形 这是正方形的特 殊性质 正方形具有矩形的性质 同时又具有菱形的性质 正方形的判定方法 正方形的判定方法 1 有一个角是直角的菱形是正方形 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 注意 注意 1 正方形概念的三个要点 1 是平行四边形 2 有一个角是直角 3 有一组邻边相等 2 要确定一个四边形是正方形 应先确定它是菱形或是矩形 然后再加上 相应的条件 确定是正方形 龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 例例 1 已知 如图 正方形 ABCD 中 对角线的交点为 O E 是 OB 上的一点 DG AE 于 G DG 交 OA 于 F 求证 OE OF 例例 2 已知 如图 四边形 ABCD 是正方形 分别过点 A C 两点作 l1 l2 作 BM l1 于 M DN l1于 N 直线 MB DN 分别交 l2于 Q P 点 求证 四边形 PQMN 是正方形 例例 3 2008 海南 海南 如图 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 对角线 AC 上一动点 P 与 A C 不重合 点 E 在射线 BC 上 且 PE PB 1 求证 PE PD PE PD 2 设 AP x PBE 的面积为 y 求出 y 关于 x 的函数关系式 并写出 x 的取值范围 当 x 取何值时 y 取得最大值 并求出这个最大值 A BC P D E 例例 4 4 2006 年河南省 如图 梯形 ABCD 中 AD BC AB AD DC E 为底边 BC 的中点 且 DE AB 试判断 ADE 的形状 并给出证明 龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 图 5 E DC B A 例 5 2008 深圳 如图 在梯形 ABCD 中 AB DC DB 平分 ADC 过点 A 作 AE BD 交 CD 的延长线于点 E 且 C 2 E 1 求证 梯形 ABCD 是等腰梯形 2 若 BDC 30 AD 5 求 CD 的长 例题讲解例题讲解 例一 分析 1 因为矩形四个角都是直角 因此矩形中的计算经常要用到直角三角 形的性质 而此题利用方程的思想 解决直角三角形中的计算 这是几何计算题中常用的 方法 解 设 AD xcm 则对角线长 x 4 cm 在 Rt ABD 中 由勾股定理 解得 x 6 则 AD 6cm 222 4 8 xx 2 直角三角形斜边上的高 是一个基本图形 利用面积公式 可得到两直角边 斜边及 斜边上的高的一个基本关系式 AE DB AD AB 解得 AE 4 8cm 例二分析 分析 CE EF 分别是 BC AE 等线段上的一部分 若 AF BE 则问题解决 而证 明 AF BE 只要证明 ABE DFA 即可 在矩形中容易构造全等的直角三角形 证明 四边形 ABCD 是矩形 B 90 且 AD BC 1 2 DF AE AFD 90 B AFD 又 AD AE ABE DFA AAS AF BE EF EC 此题还可以连接 DE 证明 DEF DEC 得到 EF EC 菱形 例 1 证明 证明 四边形 ABCD 是菱形 CB CD CA 平分 BCD BCE DCE 又 CE CE BCE COB SAS 龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 CBE CDE 在菱形 ABCD 中 AB CD AFD FDC AFD CBE 例例 2 证明证明 四边形 ABCD 是平行四边形 AE FC 1 2 又 AOE COF AO CO AOE COF EO FO 四边形 AFCE 是平行四边形 又 EF AC AFCE 是菱形 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 例 6 解 DE DF 证明如下 连结 BD 四边形 ABCD 是菱形 CBD ABD 菱形的对角线平分一组对角 DF BC DE AB DF DE 角平分线上的点到角两边的距离相等 例 7 龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 正方形正方形 例 1 分析 要证明 OE OF 只需证明 AEO DFO 由于正方形的对角线 垂直平分且相等 可以得到 AOE DOF 90 AO DO 再由同角或等角的余角相等可 以得到 EAO FDO 根据 ASA 可以得到这两个三角形全等 故结论可得 证明 四边形 ABCD 是正方形 AOE DOF 90 AO DO 正方形的对角线垂直平分且相等 又 DG AE EAO AEO EDG AEO 90 EAO FDO AEO DFO OE OF 例 2 分析 由已知可以证出四边形 PQMN 是矩形 再证 ABM DAN 证出 AM DN 用同样的方法证 AN DP 即可证出 MN NP 从而得出结论 证明 证明 PN l1 QM l1 PN QM PNM 90 PQ NM 四边形 PQMN 是矩形 四边形 ABCD 是正方形 BAD ADC 90 AB AD DC 正方形的四条边都相等 四个角都是直角 1 2 90 又 3 2 90 1 3 ABM DAN AM DN 同理 AN DP AM AN DN DP 即 MN PN 四边形 PQMN 是正方形 有一组邻边相等的矩形是正方形 龙文学校 您值得信赖的专业个性化辅导学校 例 3 1 证法一 四边形 ABCD 是正方形 AC 为对角线 BC DC BCP DCP 45 PC PC PBC PDC SAS PB PD PBC PDC 又 PB PE PE PD i 当点 E 在线段 BC 上 E 与 B C 不重合 时 PB PE PBE PEB PEB PDC PEB PEC PDC PEC 180 DPE 360 BCD PDC PEC 90 PE PD ii 当点 E 与点 C 重合时 点 P 恰好在 AC 中点处 此时 PE PD iii 当点 E 在 BC 的延长线上时 如图 PEC PDC 1 2 DPE DCE 90 PE PD 综合 i ii iii PE PD 2 过点 P 作 PF BC 垂足为 F 则 BF FE AP x AC 2 PC x PF FC 2 xx 2 2 1 2 2 2 BF FE 1 FC 1 x 2 2 1 x 2 2 S PBE BF PF x 2 2 x 2 2 1 xx 2 2 2 1 2 即 0 x xxy 2 2 2 1 2 2 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 22 xxxy 0 2 1 a 当时 y最大值 2 2 x 4 1 1 证法二 过点 P 作 GF AB 分别交 AD BC 于 G F 如图所示 四边形 ABCD 是正方形 四边形 ABFG 和四边形 GFCD 都是矩形 AGP 和 PFC 都是等腰直角三角形 GD FC FP GP AG BF PGD PFE 90 又 PB PE A BC P D EF A