函数的基本性(教师版）

1 函数的基本性质 基础训练 函数的基本性质 基础训练 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头已知函数 则的奇偶性依次为 0f xxaxa a 2 2 0 0 xx x h x xx x f xh x A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 偶函数 奇函数 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 奇函数 偶函数 C 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 偶函数 偶函数 D 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 奇函数 奇函数 答案 D 解析 fxxaxaxaxaf x 画出的图象可观察到它关于原点对称 h x 或当时 则0 x 0 x 22 hxxxxxh x 当时 则0 x 0 x 22 hxxxxxh x hxh x 2 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头若 是偶函数 其定义域为 且在上是减函数 则的大小关 xf 0 2 5 2 2 3 2 aaff与 系是 A 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 B 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 时 f x 单调递增 如果x1 x2 4 且 x1 2 x2 2 f a 则实数a的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 4 如果函数 2 3 4 f xxax 在区间 上单调 递减 则实数a满足的条件是 A 8 B 8 C 8 D 8 5 函数y 的单调递减区间为 x2 2x 3 A 3 B 1 C 1 D 3 1 二 填空题二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 6 函数f x 2x2 mx 3 当x 2 时 是增函数 当 2 时是减函数 则 f 1 7 已知函数 1 2 2 1 21f xxxx 则是 填序号 f x 1 2 上的增函数 1 2 上的减函数 2 3 上的增函数 2 3 上的减函数 8 已知定义在区间 0 1 上的函数y f x 的图 象如图1所示 对于满足0 x1 x2x2 x1 x2f x1 x1f x2 0 则f x 的定义域是 三 解答题三 解答题 本大题共 3 小题 共 46 分 10 14 分 若函数f x 在区间 ax 1 x 2 2 上递增 求实数a的取值范 围 图 1 7 11 16 分 已知定义域为 0 1 的函数f x 同时满足 对于任意的x 0 1 总有 f x 0 f 1 1 若 x1 0 x2 0 x1 x2 1 则有f x1 x2 f x1 f x2 1 求f 0 的值 2 求f x 的最大值 12 16 分 定义在 R R 上的函数f x 满足 对任意实数m n总有f m n f m f n 且当x 0 时 0 f x 1 1 试求f 0 的值 2 判断f x 的单调性并证明你的结论 8 1 3 11 3 1 单调性与最大 小 值 必修单调性与最大 小 值 必修 1 1 人教人教 A A 版版 得分 得分 一 选择题一 选择题 题号 12345 答案 二 填空题二 填空题 6 7 8 9 三 解答题三 解答题 10 10 11 11 12 12 9 1 3 11 3 1 单调性与最大 小 值 必修单调性与最大 小 值 必修 1 1 人教人教 A A 版版 一 选择题一 选择题 1 D 解析 由函数单调性定义知选 D 2 A 解析 因为 x1 2 x2 2 0 若x1 x2 则有x1 2 x2 即 2 x22 时 f x 单 调递增且f x f x 4 所以有f x2 f 4 x1 f x1 即f x1 f x2 0 若x2 x1 同 理f x1 f x2 f a 得 2 a2 a 即a2 a 2 0 解得 2 ax2 x1 可得 1 即两点 x1 f x1 与 x2 f x2 f x2 f x1 x2 x1 连线的斜率大于 1 显然 不正确 由x2f x1 x1f x2 得 即表示两点 x1 f x1 f x1 x1 f x2 x2 x2 f x2 与原点连线的斜率的大小 可以看出结论 正确 结合函数图象 容易判断结论 是 正确的 9 解析 当a 0 且a 1 时 由 3 ax 0 得x 即此时函数f x 的定义域是 3 a 3 a 3 a 三 解答题三 解答题 10 解 f x a ax 1 x 2 a x 2 1 2a x 2 1 2a x 2 任取x1 x2 2 且x1 x2 则f x1 f x2 1 2a x1 2 1 2a x2 2 1 2a x2 x1 x1 2 x2 2 函数f x 在区间 2 上为增函数 f x1 f x2 0 x1 2 0 x2 2 0 1 2a 1 2 即实数a的取值范围是 1 2 点评 对于函数单调性的理解 应从文字语言 图形语言和符号语言三个方面进行辨析 做好定性 10 刻画 图形刻画和定量刻画 逆用函数单调性的定义 根据x1 x2与f x1 f x2 是同号还是异号 构造不等式 通 过分离参数来求其取值范围 11 解 1 对于条件 令x1 x2 0 得f 0 0 又由条件 知f 0 0 故f 0 0 2 设 0 x1 x2 1 则x2 x1 0 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 f x1 f x2 x1 0 即f x2 f x1 故f x 在 0 1 上递增 从而f x 的最大值是f 1 1 12 解 1 在f m n f m f n 中 令m 1 n 0 得f 1 f 1 f 0 因为f 1 0 所以f 0 1 2 函数f x 在 R R 上单调递减 证明如下 任取x1 x2 R R 且设x10 所以 0 f x2 x1 0 时 0 f x 1 0 1 又f 0 1 所以对于任意的x1 R R 均有f x1 0 所以f x2 f x1 f x1 f x2 x1 1 0 即f x2 f x1 所以函数f x 在 R R 上单调递减 1 3 21 3 2 奇偶性 必修奇偶性 必修 1 1 人教人教 A A 版 版 建议用时实际用时满分实际得分 45 分钟100 分 一 选择题一 选择题 本大题共 5 个小题 每小题6 分 共 30 分 1 已知函数f x ax2 bx 3a b是偶函 数 且其定义域为 a 1 2a 则 A b 0 B a 1 b 0 3 1 a C a 1 b 0 D a 3 b 0 2 已知定义在 R R 上的奇函数f x 满足f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 A f 25 f 11 f 80 B f 80 f 11 f 25 C f 11 f 80 f 25 D f 25 f 80 f 11 3 若函数f x ax a R R 则下列结论正 1 x 确的是 A 任意a R R 函数f x 在 0 上是 增 函数 B 任意a R R 函数f x 在 0 上是 减 函数 C 存在a R R 函数f x 为奇函数 D 存 在a R R 函数f x 为偶函数 4 若函数f x 为奇函数 且在 0 上 是 增函数 又f 2 0 则 的解集为 f xfx x f 3 f 2 B f f 2 f 3 C f f 3 f 2 D f f 2 2 或 2 x0 x 2 或 0 x 2 时 f x 0 0 即 0 可知 2 x 0 或 0 x 2 5 A 解析 因为是偶函数 所以因为当 f x 22 33 ffff 0 x 时是增函数 所以 23 23ffffff 二 填空题二 填空题 6 解析 当 0 x 时 3 21xx 0 x 3 3 2121f xfxxxxx 7 0 解析 因为函数y m 1 x2 2mx 3 为偶函数 f x f x 即 m 1 x 2 2m x 3 m1 x2 2mx 3 整理 得m 0 8 1 解析 令x0 所以f x x 1 x 又f x 为奇函数 所以当x 0 时 f x x 1 x 当 1 2 2 2 0 9 0 5 解析 由f x 2 得f x 4 f x 故f x 1 1 2 图 2 2 4 16 的周期是 4 得f 6 5 f 2 5 因为f x 是偶函数 得f 2 5 f 2 5 f 1 5 而 1 x 2 时 f x x 2 f 1 5 0 5 故f 6 5 0 5 三 解答题三 解答题 10 解 1 函数的定义域为 x x 1 不关于原点对称 函数f x 既不是奇函数也不是偶函数 2 由得x 1 此时f x 0 x 1 1 2 2 10 1 0 x x f x 既是奇函数又是偶函数 3 Error f x 的定义域为 2 0 0 2 关于原点对称 此时f x 又f x f x 4 x2 x 2 2 4 x2 x 2 4 x x 4 x2 x f x 为奇函数 4 x2 x 2 2 11 证明 由x1 x2R R 且不为 0 的任意性 令x1 x2 1 则f 1 2f 1 f 1 0 又令x1 x2 1 则 f 1 1 2f 0 1 1 0 又令x1 1 x2 x f x f 1 f x 0 f x f x 即f x 为偶函数 点评 点评 抽象函数要注意变量的赋值 特 别要注意一些特殊值 如 x1 x2 1 x1 x2 1 或x1 x2 0 等 然后再结合具体题目要求构造出适合结论特征的 式子即可 12 解 1 设x0 所以f x x 2 2 x x2 2x 又f x 为奇函数 所以f x f x 于是x0 则必 f a f b a b 有 A 函数f x 先增后减 B 函数f x 先减后增 C 函数f x 是 R R 上的增函数 D 函数f x 是 R R 上的减函数 解析 由 0 知 当a b时 f a f b 当a b时 f a f b 所以函数 f a f b a b f x 是 R R 上的增函数 答案 C 3 下列说法中正确的有 若x1 x2 I 当x1 x2时 f x1 f x2 则y f x 在I上是增函数 函数y x2在 R R 上是增函数 函数y 在定义域上是增函数 1 x y 的单调区间是 0 0 1 x A 0 个 B 1 个 C 2 个 D 3 个 解析 函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1 x2 强调的是任意 从而 不对 y x2在x 0 时是增函数 x 0 时是减函数 从而y x2在整个定义域上不具有 单调性 y 在整个定义域内不是单调递增函数 如 3f 5 y 的 1 x 1 x 单调递减区间不是 0 0 而是 0 和 0 注意写法 18 答案 A 4 函数f x 2x2 mx 1 在区间 1 4 上是单调函数 则实数m的取值范围是 解析 二次函数f x 的对称轴是直线x 又二次函数在对称轴的两侧的单调性相反 则 m 4 1 或 4 即m 4 或m 16 m 4 m 4 答案 4 16 5 函数y x 3 x 的递增区间为 解析 y x 3 x Error 作出其图象如图 观察图象知递增区间为 0 3 2 答案 0 3 2 6 已知f x 是定义在 1 1 上的增函数 且f x 1 f 1 3x 求x的取值范围 解 由题意可得Error 即Error 0 xf m 9 则实数m的取值范围是 A 3 B 0 C 3 D 3 3 解析 因为函数y f x 在 R R 上为增函数 且f 2m f m 9 所以 2m m 9 即m 3 19 答案 C 9 已知函数f x 为区间 1 1 上的增函数 则满足f x f的实数x的取值范围为 1 2 解析 由题设得Error 即 1 x 1 2 答案 1 x 1 2 10 已知函数y 8x2 ax 5 在 1 上递增 那么a的取值范围是 解析 函数y 8x2 ax 5 的对称轴为 结合函数图象知 1 即a 16 a 16 a 16 答案 a 16 11 已知函数f x x2 2ax 3 在区间 1 2 上单调 求实数a的取值范围 解 函数f x x2 2ax 3 的图象开口向上 对称轴为直线x a 画出草图如图所示 由图象可知函数在 a 和 a 上分别单调 因此要使函数f x 在区间 1 2 上 单调 只需a 1 或a 2 其中当a 1 时 函数f x 在区间 1 2 上单调递增 当a 2 时 函数f x 在区间 1 2 上单调递减 从而a 1 2 12 创新拓展 若f x x2 bx c 且f 1 0 f 3 0 1 求b与c的值 2 试证明函数y f x 在区间 2 上是增函数 1 解 f 1 0 f 3 0 Error 解得b 4 c 3 2 证明 f x x2 4x 3 设x1 x2 2 且x1 x2 由f x1 f x2 x 4x1 3 x 4x2 3 2 12 2 x x 4 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4 2 12 2 x1 x22 x2 2 x1 x2 4 0 f x1 f x2 0 即f x1 0 在 2 4 上的最小值为 5 则k的值为 k x 解析 因为k 0 所以函数y 在 2 4 上是减函数 所以当x 4 时 y 最小 由题意 k x k 4 知 5 k 20 k 4 答案 20 6 画出函数f x Error 的图象 并写出函数的单调区间 函数最小值 解 f x 的图象如图所示 f x 的单调递增区间是 0 和 0 函数的最小值为f 0 1 综合提高 限时25分钟 7 函数y 在区间 2 4 上的最大值 最小值分别是 2 x A 1 B 1 C D 1 2 1 2 1 2 1 4 1 4 1 2 解析 y 在 2 4 上是减函数 ymax 1 ymin 2 x 1 2 答案 A 8 函数f x 的最大值是 1 1 x 1 x A B C D 4 5 5 4 3 4 4 3 解析 f x 1 x 1 2 2 3 4 4 3 答案 D 9 已知函数y f x 是 0 上的减函数 则f a2 a 1 与f的大小关系是 3 4 解析 a2 a 1 2 a 1 2 3 4 3 4 又f x 在 0 上是减函数 f a2 a 1 f 3 4 22 答案 f a2 a 1 f 3 4 10 已知函数f x x2 6x 8 x 1 a 并且f x 的最小值为f a 则实数a的取 值范围是 解析 由题意知 f x 在 1 a 内是单调递减的 又 f x 的单调减区间为 3 10 B f x f x 0 C f x f x 0 D f x f x 0 解析 对任意奇函数f x 有f x f x f x f x f x 2 0 故选 C 答案 C 3 已知函数f x x 0 则这个函数 1 x2 A 是奇函数 B 既是奇函数又是偶函数 C 是偶函数 D 既不是奇函数又不是偶函数 解析 x 0 f x f x 1 x 2 1 x2 f x 是偶函数 答案 C 4 已知函数y f x 为奇函数 若f 3 f 2 1 则f 2 f 3 解析 函数y f x 为奇函数 故f x f x 则f 2 f 3 f 2 f 3 1 答案 1 5 如果定义在区间 2 a 4 上的函数y f x 为偶函数 那么a 解析 因为奇偶函数的前提是定义域必须关于原点对称 所以 2 a 4 a 6 答案 6 6 如图是偶函数y f x 在x 0 时的图象 请作出y f x 在x 0 时的图象 24 解 偶函数的图象关于y轴对称 由对称性可以作出函数y f x 在x 0 时的图象 如图 中y轴左边的部分 综合提高 限时25分钟 7 若函数f x x 1 x a 为偶函数 则a等于 A 2 B 1 C 1 D 2 解析 f x x 1 x a 为偶函数 f x f x 即 x 1 x a x 1 x a x a 1 x 1 a 故 1 a 0 a 1 故选 C 答案 C 8 奇函数y f x x R R 的图象必定经过点 A a f a B a f a C a f a D a f 1 a 解析 y f x 是奇函数 f a f a 选 C 答案 C 9 已知函数f x ax2 bx 3a b为偶函数 其定义域为 a 1 2a 则a的值为 解析 偶函数的定义域关于原点对称 a 1 2a a 1 3 答案 1 3 10 若f x m 1 x2 6mx 2 是偶函数 则f 0 f 1 f 2 从小到大的顺序是 解析 因为f x 是偶函数 所以f x f x 恒成立 即 m 1 x2 6mx 2 m 1 x2 6mx 2 恒成立 所以m 0 即f x x2 2 因为f x 的图象开口向下 对称轴为y轴 所以f 2 f 1 f 0 即f 2 f 1 f 0 25 答案 f 2 f 1 0 时 x 0 f x x 2 2 x2 2 f x 当x0 f x x 2 2 x2 2 f x 当x 0 时 f 0 0 故该函数为奇函数 4 函数的定义域为 x x R R 且x 1 不关于原点对称 所以函数f x 既不是奇函数也不是偶函数 x3 x2 x 1 12 创新拓展 已知定义在 R R 上的奇函数f x 满足f x 2 f x 求f 6 的值 解 f x 2 f x f 6 f 4 2 f 4 f 2 2 f 2 f 0 2 f 0 f x 是定义在 R R 上的奇函数 f 0 0 f 6 0 创新设计创新设计 2014 2014 届高考数学届高考数学 1 3 2 21 3 2 2 函数奇偶性的应用配套训练函数奇偶性的应用配套训练 新人教新人教 A A 版必修版必修 1 1 双基达标 限时20分钟 1 若点 1 3 在奇函数y f x 的图象上 则f 1 等于 A 0 B 1 C 3 D 3 26 解析 由题知 f 1 3 因为f x 为奇函数 所以 f 1 3 f 1 3 答案 D 2 已知函数y f x 是偶函数 其图象与x轴有四个交点 则方程f x 0 的所有实根之 和是 A 0 B 1 C 2 D 4 解析 偶函数的图象关于y轴对称 f x 与x轴的四个交点也关于y轴对称 若y轴右侧的两根为x1 x2 则y轴左侧的两根为 x1 x2 四根和为 0 答案 A 3 下面四个结论 偶函数的图象一定与y轴相交 奇函数的图象一定通过原点 偶函数的图