3-2-4( 分式的恒等变形题库教师版

3式的恒等变形 题库教师版 2 一、 化分式为 部分分式 的和 【例 1】 下面的等式成立： 22 4 6 5 ( ) ( )x y x y x y A x y B ，求 A 、 B . 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型】 解答 【关键词】 第 10届华罗庚金杯决赛 【解析】 2 2 2 24 6 5 ( ) ( ) ( ) ( )x y x y x y A x y B x y B A x A B y A B ， 故有 4 ， 6，所以 1A ， 5B . 【答案】 1A ， 5B . 【例 2】 若代数式 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )x x x x p 恰好能分解为两个二次整式的乘积 (其中二次项系数均为 1，且 一次项系数相同 )，则 p 的最大值是 . 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型】 填空 【关键词】 【解析】 设原式可分解为 22( ) ( )x a x m x a x n ，展开可得： 2 2 4 3 2 2( ) ( ) 2 ( ) ( )x a x m x a x n x a x a m n x a m n x m n . 比较等号两边的系数可得： 3 2p ， 故 22( 2 ) 2 1 ( 1 ) 1p m m m m m ，最大值为 1. 【答案】 1 【例 3】 若2131 1 1a M Na a a ，求 M 、 N 的值 . 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 5 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】221 3 ( ) ( )1 1 1 1a M N M N a M Na a a a ，所以 31 ，所以 12例题精讲 分式 恒等变形（竞赛部分） 3式的恒等变形 题库教师版 2 【答案】 12【例 4】 已知正整数 , 1 14，则 的最 小 值是 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型】 填空 【关键词】 【解析】 略 【答案】 16 【例 5】 已知22和等于24 4，求 a ， b . 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 3 星 【题型】 解答 【关键词】 06 年，宁波市重点中学，自主招生试题 【解析】22( ) 2 ( ) 42 2 4 4a b a b x a b xx x x x 所以 40，解得 22【答案】 22【例 6】 若对于 3 以外的一切数，283 3 9m n xx x x 均成立，求 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】22( ) 3 ( ) 83 3 9 9m n m n x m n xx x x x 所以 80，解得 44，所以 16 【答案】 16 【例 7】 若关于 x 的恒等式2 22M x N cx x x a x b 中，2 2为最简分式，且有 ， a b c ， 求 N . 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 5 星 3式的恒等变形 题库教师版 2 【题型】 解答 【关键词】 【解析】222 ( 2 ) ( 2 )2 ( )M x N c c x b a cx x x a x b x a b x a b ，所以1222a b ， 利用配方思想解得： 12或 21， ， 21， 4N 【答案】 4N 【例 8】 将269x 化为部分分式 . 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型】 解答 【关 键词】 【解析】 2 9 3 3x x x , 故设26 9x 33. ( 3 ) ( 3 ) ( ) ( 3 3 )3 3 ( 3 ) ( 3 ) ( 3 ) ( 3 )A B A x B x A B x A Bx x x x x x 26 ( ) ( 3 3 )9 ( 3 ) ( 3 )A B x A Bx x x 比较两边分子对应项的系数，得 03 3 6 解之得 112 6 1 19 3 3x x x . 【答案】 1133【例 9】 化 21( 1)( 2)为部分分式 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 设 21( 1 ) ( 2 ) 1 2x A Bx x x x ， 通分后比较对应项的系数，得 221解得 13， 2 1 1 3( 1 ) ( 2 ) 1 2xx x x x . 3式的恒等变形 题库教师版 2 【答案】 1312【例 10】 将下列分式写成部分分式的和的形式：2342. 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 因为23 4 3 42 ( 2 ) ( 1 )x x x ，所以我们假设其具有 21的形式 2)( 1)， 得 ： 3 4 ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2x A x B x A B x A B . 比较同次幂的系数可得 324，解得 103A， 13B，从而23 4 1 0 12 3 ( 2 ) 1xx x x x 3 （ ）. 【答案】 1 0 13 ( 2 ) 13（ ）【例 11】 将下列分式写成部分分式的和的形式： 32222 3 6 1( 1)( 3 )x x . 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型 】 解答 【关键词】 【解析】 因为 3 2 3 24 2 2 22 3 6 1 2 3 6 14 3 ( 1 ) ( 3 )x x x x x xx x x x ，故可假设其具有 2213 的形式，则有： 3 2 2 22 3 6 1 ( ) ( 3 ) ( ) ( 1 )x x x A x B x C x D x 32( ) ( ) ( 3 ) ( 3 )A C x B D x A C x B D . 比较 3x 和 x 的系数，可得方程组233631 ，从而2205 ，因此 322 2 2 22 3 6 1 2 2 5( 1 ) ( 3 ) 1 3x x x xx x x x 【答案】222 2 513【例 12】 将下列分式写成部分分式的和的形式： 3224 1 3 3 8( 1 ) ( 2 ) ( 1 )x x xx x x . 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 5 星 【题型】 解答 3式的恒等变形 题库教师版 2 【关键词】 【解析】 首先我们要仔细观察分母的结构，根据前面所提及的知识，此处可以设部分分式的和的形式为32224 1 3 3 8( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 1 2 1 ( 1 )x x x A B C Dx x x x x x x . 通分之后，两边的分子应该相 等 3 2 2 24 1 3 3 8 ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )x x x A x x B x x C x x x D x x . 令 1x ，得到 1A ；令 2x ，得到 2B ；令 1x ，得到 1D ；比较 3x 的系数，得到 45C A B 32224 1 3 3 8 1 2 5 1( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) 1 2 1 ( 1 )x x xx x x x x x x . 【点评】 请注意，除非万不得已，要尽量避免将右边的式子全部展开之后再与左边的式子比较系数，这种方法会占用大家不少时间，并且可能会造成错误 . 【答案】21 2 5 11 2 1 ( 1 )x x x x 【例 13】 计算：2 132 2 6 2 2 104 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 设2 132 1 22 1 2A B x A x x 121 解之得 232 1 2 33 2 1 2xx x x x . 同理：2 6 2 22x 21x，2 104 32x 22x 原式 21x+ 32x 22x + 21x 32x + 2 02x 【答案】 0 【例 14】 将下列分式写成部分分式的和的形式： 4 3 22231( 1) ( 1)x x . 【考点】 化分式为部分分式和 【难度】 4 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 观察分母的结构，我们可以设 4 3 22 2 2 2 231( 1 ) ( 1 ) 1 1 ( 1 )x x x A B x C D x Ex x x x x . 通分之后比较分子，可得： 24 3 2 2 23 1 1 1 1 1x x x A x B x C x x D x E x . 令 1x ，得到 44A ，即 1A ； 令 0x ，得到 1A C E ，即 2； 3式的恒等变形 题库教师版 2 令 1x ，得到 2 2 2 1A B C D E ,即 2 2 1B C D E ； 令 2x ，得到 2 5 1 0 5 2 1 0A B C D E ,即 1 0 5 2 1 0B C D E ； 令 2x ，得到 2 5 3 0 1 5 6 3 1 9A B C D E ，即 3 0 1 5 6 3 6B C D E ； 由此解得 0 1 2 1B C D E ， ， ， 从而 4 3 2222223 1 1 1 2 1111 1 1x x x x x 【 答案】 22 21 1 2 111 1x 二、 分式 的 恒等 证明 【例 15】 求证： 332 2 2 2 2 2 2 222a b b a a b b a a b b a a b ba b a b 【考点】 分式恒等证明 【难度】 4 星 【题型】 解答 【关键词】 1994 年，广东潮州市初中数学竞赛 【解析】 略 【答案】 左边 3 3 3 33 3 3 3 3 322 a b a ba b a a b aa b a b a b a b a b a b 3 3 3 32 2 2 2a b a b a a b b a a b ba b a b 右边。 【例 16】 已知 x 、 y 、 z 为三个不相等的实数，且 1 1 1x y zy z x ，求证： 2 2 2 1x y z . 【考点】 分式恒等证明 【难度】 5 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】 略 【答案】 由 11 ，得 11 y ，故 ，同理可得 ， ， 故2 2 2 1y z z x x yx y z x y y z z x 【例 17】 已知： 求证： 2 2 2 22 2 2 2 a b c da b c d a b c d . 【考点】 分式恒等证明 【难度】 5 星 【题型】 解答 3式的恒等变形 题库教师版 2 【关键词】 【解析】 略 【答案】 由 ad ，故 22a d ， 22b c ， 2 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1a b c d a b c d 2 2 2 22 2 2 2a d b ca d b c2 2 2 2 2 2 2 2a d b c a b c da b c d a b c d a b c d 【例 18】 若 ， ， ， 求证： ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )x y z x y z 【考点】 分式恒等证明 【难度】 5 星 【题 型】 解答 【关键词】 【解析】 略 【答案】 (1 )(1 )(1 )x y z 1 1 1a b b c c aa b b c c a 2 2 2 8( ) ( ) ( )a b c a b ca b b c c a a b b c c a (1 )(1 )(1 )x y z 1 1 1a b b c c aa b b c c a 2 2 2b c aa b b c c a 8( ) ( ) ( )b b c c a 【例 19】 若 1，求证： 11 1 1a b ca a b b b c c c a . 【考点】 分式恒等证明 【难度】 5 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】略 【 答案 】 解法 1：因为 1，故 0a ， 0b ， 0c . 则1 1 1a b ca a b b b c c c a 1 1 1a a b a b ca a b a b b c a b c c a 1 a a b a b ca a b a a b b c a b a b c a b c a ， 注意到 1，故上式 1111a a ba a b a a b a a b 11 a 1 . 解法 2：因为 1，故 0a ， 0b ， 0c . 则1 1 1a b ca a b b b c c c a 11a b b ca b c a a b b b c b c c a 111 b b cb b c b b c b b c a b c 1111b b cb b c b b c b b c 11 b 1 . 解法 3：由 1可得 1 3式的恒等变形 题库教师版 2 则1 1 1a b ca a b b b c c c a 11 1 1111b cb c cb c b c b c 1111b b cb b c b b c b b c 11 b 1 . 点评：使用各种各样的代入方法进行化简，题目赋予的信息要充分利用 是细微之处需要大家用心揣摩，尤其是 “1 ”在其中的使用，更是值得细细品味 . 当然，我们也可以通分后再代入计算，但是存在一个问题 过于 烦琐，有兴趣的学生可以尝试一下这种思路 【例 20】 已知 11 1 1a b ca a b b b c c c a ，求证： 1. 【考点】 分式恒等证明 【难度】 5 星 【题型】 解答 【关键词】 2003 年，第 1 届 “创新杯 ”数学邀请赛初中二年级第二试试题 【解析】略 【 答案 】11b c c 1 1 aa 11 ， 即 2 111b a b a b c a c a b c b c c c a ，故 2 11 111 c c a a b cb a b a b b c c c a ， 则 2 1 1111b a b a b a b c b c c c a ，故 2 111b a b a b a b c b c c c a . 等式两边同时除以 可得 111 1a bb b c c c a ， 进而 1 11 111b b c b c ca b c c c a ，则 1 11111bc ca b c c c a ， 故 1 1 011bc ca b c c c a ，从而 1 111bc ca b c c ， 故 11b c c c a c b b ca a b ，展开并化简，可得2 1c ， 即 2 2 2 1a b c a b c a b c ，从而 2( 1) 0，故 1. 点评：本题的证明过程非常复杂，其中有一个步骤很关键，就是拆分部分分式的时候，我们从左边的式子里面提出两个 1 ，从而让整个式子得到简化 . 【例 21】 已知 0a b cb c c a a b ，求证：2 2 2 0( ) ( ) ( )a b cb c c a a b . 【考点】 分式恒等证明 【难度】 6 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】略 【 答案 】 本题在形式上和上题如出一辙，我们不妨沿袭上面的解法 3式的恒等变形 题库教师版 2 因为 0a b cb c c a a b ， 故 22()( ) ( )a b c a b b c c ab c c a a b c a a b ， 则 222( ) ( ) ( ) ( )a a b b c c ab c b c c a a b ， 同理， 222( ) ( ) ( ) ( )b b c c a a bc a c a a b b c ， 222( ) ( ) ( ) ( )c c a a b b ca b a b b c c a . 从而2 2 2( ) ( ) ( )a b cb c c a a b 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )a b b c c a b c c a a b c a a b b ca b b c c a 0 . 点评：我们把已知条件 a b cb c c a a b 这一形式向要证明的结论2 2 2( ) ( ) ( )a b cb c c a a b 作 一个过渡： 1 1 1a b cb c c a a b b c c a a b 2 2 2 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c a b a c b cb c c a a b b c c a a b b c c a a b ， 而( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b a c b cb c c a a b b c c a a b 2 2 2 2 2 2a b c a b cc c a a b 0 ， 故 2 2 2 0a b cb c c a a b . 点评： 1 1 1b c c a a b 这一因子并不突兀，因为我们要在已知条件和要证结论之间搭起桥梁，而乘上 1 1 1b c c a a b 恰好可以达到这一目的 . 在数学竞赛中，有一个技能无论怎么强调都不过分，它就是 “恒等变形 ”是一个极其重要 (甚至是不可或缺 )的工具，多处展现了其高超的技巧性，而这种 “技巧 ”有时是靠灵光突至，有时靠的是丰富的解题经验和优良的解题素养，有时靠的是观察的细致入微，希望大家平时能多加练习、多加积累 . 【例 22】 已知 0，证明：下列四个数 3333( ) ( ) ( ) ( ),a b c b c a c a b a b ca b c a b c a b c a b c 中至少有一个不小于6 【考点】 分式恒等证明 【难度】 5 星 【题型】 解答 【关键词】 2002 年，北京市中学生数学竞赛初二复赛题 【解析】略 【 答案 】 将 4 个数相加得 3 3 3 3a b c b c a c a b a b 3式的恒等变形 题库教师版 0 2 2 2 2 2 2 22 3 3 6 2 3 3 6b a b c a c b a b c a 24 24故四个数中至少有一个不小于 6 ，因为，如果不然，则 它们的和一定小于 24 【例 23】 已知2 2 3 3 4 43 7 1 6 4 2a b a b a b a bx y x y x x x y ， ， ，求证：5520。 【考点】 分式恒等证明 【难度】 5 星 【题型】 【关键词】 【解析】 【 答案 】 221 1 1 17y x y x y ， 331 1 17a b a bx y x y x y x y 将已知条件代入，得 3 1 11 6 7xy x y 7 1 14 2 1 6x y x y 。 联立 、 ，解得 1 1 11 4 3 8x y x y ，故 5 5 4 4 3 31 1 1 4 2 1 4 3 8 1 6 2 0a b a b a bx y x y x y x y x y 【例 24】 已知 3 1 4 2a b a b c d c d ， ， ， 且 a b c d Bb c d c d a d a b a b c 。求证： （ 1） 2 2 2 2 77a b c d Bb c d c d a d a b a b c （ 2） 3 3 3 3 4 9 6 8a b c d Bb c d c d a d a b a b c 【考点】 分式恒等证明 【难度】 5 星 【题型】 解答 【关键词】 武汉等五市初中数学竞赛试题 【解析】 略 【 答案 】 因为 3 1 4 2a b a b c d c d ， ， ， 所以 7a b c d ， 222 2 2 2 2 2 1 9a b c d a b c d a b c d （ 1） 2 7a a b c c d a b c b c d 2 7aa ab c d b c d ，其余类似可得， 3式的恒等变形 题库教师版 1 2 故 2 2 2 2a b c db c d c d a d a b a b c 7 7 7 7 77a b c d a b c d Bb c d c d a d a b a b c （ 2） 2322 7a a b c c d b c d b c d ，其余各式类似可得， 3 3 3 3a b c db c d c d a d a b a b c 2 2 2 2 2 2 2 27 7 7 7 7 7 7 1 9 4 9 6 8a b c d a b c d B Bb c d c d a d a b a b c 【例 25】 已知2 2 2 0a b cb c a a c b a b c ，求证： 2 2 22 2 2 0a b cb c a a c b a b c 【考点】 分式恒等证明 【难度】 5 星 【题型】 解答 【关键词】 【解析】略 【 答案 】 由已知条件得 2 2 2 22 2 2 22a b c a b b c a c b cb c a a c b a b c a c b a b c 故 2 2 2 22 2 2 22a a b b c a c b cb c a a c b a b cb c a 。 同理