三角形培优训练100题集锦(学生用)

第 1 页 共 49 页 三角形培优训练专题三角形培优训练专题 三角形辅助线做法三角形辅助线做法 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 常见辅助线的作法有以下几种常见辅助线的作法有以下几种 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式是全等变 换中的 对折 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用的 思维模式是全等变换中的 旋转 3 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利用的思维模式是三角 形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某条 线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法 适合于 证明线段的和 差 倍 分等类的题目 6 已知某线段的垂直平分线 那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线 出一对全等三角形 7 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段连 接起来 利用三角形面积的知识解答 1 已知 如图中 求中线 AD 的取值范围 ABC 5 AB3 AC 分析 分析 本题的关键是如何把 AB AC AD 三条线段转化到同一个三角形当中 解 延长 AD 到 E 使 连接 BEDADE 又 CDBD CDABDE SASCDABDE 3 ACBE 三角形三边关系定理 BEABAEBEAB 即822 AD 41 AD 2 如图 中 E F 分别在 AB AC 上 D 是中点 试比较与ABC DFDE CFBE EF 的大小 证明 延长 FD 到点 G 使 连接 BG EGDFDG CDBD DGFD CDFBDG CDFBDG E C A B D G F E C A BD 第 2 页 共 49 页 CFBG DFDE EGEF 在中 BEG EGBGBE CFBG EGEF EFCFBE 3 如图 中 E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 ABC ACDCBD BAE 证明方法一 利用相似论证 证明方法一 利用相似论证 证明 ACDCBD BCAC 2 1 E 是 DC 中点 ACDCEC 2 1 2 1 BCAACE BCA ACE CAEABC DCAC DACADC BADABCADC CAEDAEBADABC DAEBAD 即 AD 平分BAE 证明方法二 利用全等论证 证明方法二 利用全等论证 证明 延长 AE 到 M 使 连结 DMAEEM 易证CEADEM MDEC DMAC 又 ACDCBD DMBD CADADC 又 CADCADB ADCMDEADM ADBADM ADBADM DAEBAD 即 AD 平分BAE 4 以的两边 AB AC 为腰分别向外作等腰 Rt和等腰 Rt ABC ABD ACE 连接 DE M N 分别是 BC DE 的中点 探究 AM 与 DE 的位置关系 90CAEBAD 及数量关系 1 如图 1 当为直角三角形时 AM 与 DE 的位置关系是 线段ABC AM 与 DE 的数量关系是 2 将图 1 中的等腰 Rt绕点 A 沿逆时针方向旋转 后 如图 2 所ABD 900 EC A B D M EC A B D 第 3 页 共 49 页 图 1 M N C A B D N E C A B D M 图 2 示 1 问中得到的两个结论是否发生改变 并说明理由 解 1 AMED2 EDAM 证明 延长 AM 到 G 使 连 BG 则 ABGC 是平行四边形AMMG BGAC 180BACABG 又 180BACDAE DAEABG 再证 ABGDAE AMDE2 EDABAG 延长 MN 交 DE 于 H 90DAHBAG 90DAHHDA EDAM 2 结论仍然成立 证明 如图 延长 CA 至 F 使 FA 交 DE 于点 P 并连接 BFFAAC BADA AFEA EADDAFBAF 90 在和中FAB EAD DABA EADBAF AEFA SAS EADFAB DEBF AENF 90AENAPEFFPD DEFB 又 AFCA MBCM 且FBAM FBAM 2 1 DEAM DEAM 2 1 5 5 如图 中 AD 平分 且 求证 ABC ACAB2 BAC BDAD ACCD 证明 过 D 作 垂足为 MABDM 90BMDAMD 又 BDAD DMDM G C H A B D M N E F C P A B D M N E M C A B D 第 4 页 共 49 页 BDMADM BMAM ACAB2 AMAC AD 平分BAC CADBAD 在和中ADC ADM AMAC CADBAD ADAD ADCADM 90ADMACD 即 ACCD 6 6 如图 EA EB 分别平分 CD 过点 E 求证 BDAC CAB DBA BDACAB 证明 在 AB 上截取 连接 EFACAF 在和中CAE FAE AEAE FAECAE AFAC FAECAE FEACEA 90FEBFEABEDCEA 即DEBFEB 在和中DEB FEB DBEFBE BEBE DEBFEB ASA FEBDEB BFBD BDACBFAFAB 7 7 如图 已知在内 P Q 分别在 BC CA 上 并且ABC 60BAC 40C AP BQ 分别是 的角平分线 求证 BAC ABC BPABAQBQ 证明 延长 AB 到 D 使 连接 PD 则BPBD 5 D AP BQ 分别是 的角平分线 BAC ABC 60BAC 40C 3021 804060180ABCC 4043 QCQB 又 80435D 40D F E D A B C 4 5 2 3 2 DQ P C A B 1 第 5 页 共 49 页 在与中APD APC APAP 21 40CD AAS APCAPD ACAD 即 QCAQBDAB BPABAQBQ 8 8 如图 在四边形 ABCD 中 BD 平分 BABC CDAD ABC 求证 180CA 解 过点 D 作于 E 过点 D 作交 BA 的延长线于 FBCDE ABDF BD 平分ABC DFDE 90DEBF 在和中CDERt ADFRt DFDE CDAD HL CDERtADFRt CFAD 180FADBADCBAD 9 如图 在中 P 为 AD 上任意一点 ABC ACAB CADBAD 求证 PCPBACAB 证明 如图 在 AB 上截取 AE 使 连接 PEACAE 在和中AEP ACP APAP CADBAD ACAE SAS ACPAEP PCPE 在中 即PBE PEPBBE PCPBACAB 1010 在四边形 ABCD 中 点 E 是 AB 上一个动点 若 且BCAD 60BBCAB 判断与的关系并证明你的结论 60DECAEAD BC 分析 分析 此题连接 AC 把梯形的问题转化成等边三角形的问题 然后利用已知条件和等边三 角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问题 解 有AEADBC 连接 AC 过 E 作并 AC 于 F 点BCEF 则可证为等边三角形AEF D E A C B E F D C A B E D A P CB 第 6 页 共 49 页 即 EFAE 60AFEAEF 120CFE 又 BCAD 60B 120BAD 又 60DEC FECAED 在与中ADE FCE CFEEAD EFAE FECAED FCEADE FCAD AEADBC 点评 点评 此题的解法比较新颖 把梯形的问题转化成等边三角形的问题 然后利用全等三角形 的性质解决 11 如图 D 为的角平分线 直线于 A E 为 MN 上一点 周长记为ABC ADMN ABC 周长记为 求证 A PEBC B P AB PP 证明 延长 BA 到 F 使 连接 EFACAF AD 为的角平分线ABC CADBAD ADMN CAECADBADFAE 9090 ACAF AEAE ACEAFE ECEF BFEFBE ACABAFABECBE BC BE CE AB AC BCBCACABBCECBE 的周长小于的周长 即ABC EBC AB PP 12 已知 ABC 和 ADE 是两个不全等的等腰直角三角形 其中 BA BC DA DE 联结 EC 取 EC 的中点 M 联结 BM 和 DM 1 如图 1 如果点 D E 分别在边 AC AB 上 那么 BM DM 的数量关系与位置关系是 2 将图 1 中的 ADE 绕点 A 旋转到图 2 的位置时 判断 1 中的结论是否仍然成立 并说 明理由 D E A C B F F N M D E A C B DC B A E M M E A B C D 第 7 页 共 49 页 解 1 BM DM 且 BM DM 2 分 2 成立 3 分 理由如下 延长 DM 至点 F 使 MF MD 联结 CF BF BD 易证 EMD CMF 4 分 ED CF DEM 1 AB BC AD DE 且 ADE ABC 90 2 3 45 4 5 45 BAD 2 4 6 90 6 8 360 5 7 1 7 180 6 9 8 360 45 180 6 9 3 9 360 45 180 6 9 45 9 90 6 8 BAD 又 AD CF ABD CBF BD BF ABD CBF DBF ABC 90 MF MD BM DM 且 BM DM 13 如图 已知在中 的角平分线 AD CE 相交于点 O ABC 60BABC 求证 ODOE 证明 在 AC 上取点 F 使 连接 OFAEAF AD 是的平分线A FAOEAO AOAO AFOAEO FOEO AOFAOE CE 是的平分线C FCODCO 60B 120ACBBAC OCACAOCOD 60 2 1 ACBBAC 606060180180AOFCODCOF CODCOF OCOC OCFOCD F O D E A C B 9 第 8 页 共 49 页 OP A M N E B C DF A C E F B D 图 图 图 OFOD CDAECFAFAC ODOE 即 CDAEAC 14 如图 中 AD 平分 且平分 BC 于 E ABC BAC BCDG ABDE 于 F 1 说明的理由 2 如果 求 AE BE 的长 ACDF CFBE aAB bAC 1 证明 连接 DB DC 且平分 BCBCDG DCDB AD 平分ABDE ACDF BAC DFDE DFCRtDEBRt CFBE 2 解 DFDE ADAD AFDRtAEDRt AFAE 即 AEAFAECFAFBEAEACAB2 AEba2 2 ba AE BECFAFBEAEACAB2 BEba2 2 ba BE 15 如图 OP 是的平分线 请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的MON 全等三角形 请你参考这个作全等三角形的方法 解答下列问题 1 如图 在中 是直角 AD CE 分别是 的ABC ACB 60BBAC BCA 平分线 AD CE 相交于点 F 请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系 2 如图 在中 如果不是直角 而 1 中的其它条件不变 请问 你在ABC ACB 1 中所得结论是否仍然成立 若成立 请证明 若不成立 请说明理由 解 1 FE 与 FD 之间的数量关系为FDFE 2 答 1 中的结论仍然成立 FDFE 证法一 证法一 如图 1 在 AC 上截取 连结 FG AEAG AF 为公共边 21 AGFAEF AFGAFE FGFE G F D E A C B 第 9 页 共 49 页 AD CE 分别是 的平分线 60BBAC BCA 6032 60AFGCFDAFE 60CFG 及 FC 为公共边43 CFDCFG FDFG FDFE 证法二 证法二 如图 2 过点 F 分别作于点 G 于点 H ABFG BCFH AD CE 分别是 的平分线 60BBAC BCA 可得 F 是的内心 6032ABC 160 GEFFGFH 又 1 BHDF HDFGEF 可证DHFEGF FDFE 16 正方形 ABCD 中 E 为 BC 上的一点 F 为 CD 上的一点 求EFDFBE 的度数 EAF 解 将绕点 A 顺时针旋转 至ADF 90ABG EFBEDFBEGBGE 又 AEAE AGAF AEGAEF DAFBAEGABBAEGAEEAF 又 90DAFBAEEAF 45EAF 17 D 为等腰斜边 AB 的中点 DM DN 分别交 BC CA 于点ABCRt DNDM E F 1 当绕点 D 转动时 求证 MDN DFDE 2 若 求四边形 DECF 的面积 2 AB 分析 分析 1 连 CD 根据等腰直角三角形的性质得到 CD 平分 ACB ABCD 则 由得 根据等角 45ADACD 45BCD 90CDADNDM 90EDF 的余角相等得到 根据全等三角形的判定易得 即可得到结论 ADFCDE ADFDCE 2 由 则 于是四边形 DECF 的面积 由而可得ADFDCE ADFDCE SS ACD S 2 AB 根据三角形的面积公式易求得 从而得到四边形 DECF 的面积 1 DACD ACD S 解 1 连 CD 如图 D 为等腰斜边 AB 的中点ABCRt F B E AC D 图 1 2 1 4 3 G F B E A C D 图 2 2 1 4 3 H G G F D E A CB 第 10 页 共 49 页 CD 平分 ACB ABCD 45ADACD 45BCD 90CDA DNDM 90EDF ADFCDE 在和中DCE ADF ADFCDE DADC DAFDCE ADFDCE DFDE 2 ADFDCE ADFDCE SS 四边形 DECF 的面积 ACD S 而2 AB 1 DACD 四边形 DECF 的面积 2 1 2 1 DACDS ACD 点评 点评 本题考查了旋转的性质 旋转前后两图形全等 即对应角相等 对应线段相等 对 应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角 也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形 的判定与性质 18 如图 是边长为 3 的等边三角形 是等腰三角形 且 以ABC BDC 120BDC D 为顶点做一个角 使其两边分别交 AB 于点 M 交 AC 于点 N 连接 MN 求的周 60AMN 长 解 是等腰三角形 且BDC 120BDC 30DBCBCD 是边长为 3 的等边三角形ABC 60BCABACABC 90DCADBA 顺时针旋转使 DB 与 DC 重合BDM 在和中DMN NMD DNDN MNDMDN MDDM 60 MDNDNM BMNCNMMN 6 ACABANBMNCMNANAM N M F D E A C B M A N M D C B 第 11 页 共 49 页 图 1 A B C D E F M N A B C D E F M N 图 2 F E A N M D C B 图 3 的周长为 6AMN 19 已知四边形 ABCD 中 ADAB CDBC BCAB 120ABC 绕 B 点旋转 它的两边分别交 AD DC 或它们的延长线 于 E F 60MBNMBN 1 当绕 B 点旋转到时 如图 1 易证 MBN CFAE EFCFAE 2 当绕 B 点旋转到时 在图 2 和图 3 这两种情况下 上述结论是否成立 MBN CFAE 若成立 请给予证明 若不成立 线段 AE CF EF 又有怎样的数量关系 请写出你的猜想 不需证明 解 1 ADAB CDBC BCAB CFAE SAS CBFABE CBFABE BFBE 120ABC 60MBN 为等边三角形 30CBFABEBEF BFEFBE BEAECF 2 1 EFBECFAE 2 图 2 成立 图 3 不成立 证明图 2 延长 DC 至点 K 使 连接 BKAECK 则BCKBAE BKBE KBCABE 60FBE 120ABC 60ABEFBC 60KBCFBC 60FBEKBF EBFKBF EFKF 即EFCFKC EFCFAE 图 3 不成立 AE CF EF 的关系是EFCFAE 20 已知 以 AB 为一边作正方形 ABCD 使 P D 两点落在直线 AB2 PA4 PB 的两侧 1 如图 当时 求 AB 及 PD 的长 45APB 2 当变化 且其它条件不变时 求 PD 的最大值 及相应的大小 APB APB 分析 分析 1 作辅助线 过点 A 作于点 E 在中 已知 AP 的值 PBAE PAERt APE 根据三角函数可将 AE PE 的值求出 由 PB 的值 可求 BE 的值 在中 根据勾股定ABERt K A B C D E F M N 图 2 第 12 页 共 49 页 P P A C B D P P A C B D 理可将 AB 的值求出 求 PD 的值有两种解法 解法一 可将绕点 A 顺时针旋转得到PAD 90 可得 求 PD 长即为求的长 在中 可将的值求出 AB P ABPPAD B P PAPRt P P 在中 根据勾股定理可将的值求出 解法二 过点 P 作 AB 的平行线 与 DA 的延BPPRt B P 长线交于 F 交 PB 于 G 在中 可求出 AG EG 的长 进而可知 PG 的值 在AEGRt 中 可求出 PF 在中 根据勾股定理可将 PD 的值求出 PFGRt PDFRt 2 将绕点 A 顺时针旋转 得到 PD 的最大值即为的最大值 故当PAD 90AB P B P P B 三点共线时 取得最大值 根据可求的最大值 此时 P B P PBPPBP B P 135180PAPAPB 解 1 如图 作于点 EPBAE 中 PAERt 45APB2 PA 1 2 2 2 PEAE 4 PB3 PEPBBE 在中 ABERt 90AEB 10 22 BEAEAB 解法一 如图 因为四边形 ABCD 为正方形 可将将绕点 A 顺时针旋转得到PAD 90 可得 AB P ABPPAD BPPD APPA 90PPA 45PAP 90PBP 2 PP2 PA 5242 2222 PBPPBPPD 解法二 如图 过点 P 作 AB 的平行线 与 DA 的延长线交于 F 设 DA 的延长线交 PB 于 G 在中 可得 AEGRt 3 10 coscos ABE AE EAG AE AG 3 1 EG 3 2 EGPEPG 在中 PFGRt 可得 5 10 coscos ABEPGFPGPGPF 15 10 FG 在中 可得PDFRt 52 3 10 15 10 10 5 10 22 2 2 FGAGADPFPD 2 如图所示 将绕点 A 顺时针旋转 得到 PD 的最大值 即为的PAD 90AB P B P 最大值 中 且 P D 两点落在直线 AB 的两侧BP P PBPPBP 22 PAPP4 PB 当 P B 三点共线时 取得最大值 如图 P B P E P A D C B P P A C B D E G F P A C B D E 第 13 页 共 49 页 图 1 N M A D C B 图 2 N M A D C B 图 3 N M A D C B 此时 即的最大值为 6 此时6 PBPPBPB P 135180PAPAPB 21 在等边的两边 AB AC 所在直线上分别有两点 M N D 为外一点 且ABC ABC 探究 当 M N 分别在直线 AB AC 上移动时 60MDN 120BDCDCBD BM NC MN 之间的数量关系及的周长 Q 与等边的周长 L 的关系 AMN ABC 1 如图 1 当点 M N 边 AB AC 上 且时 BM NC MN 之间的数量关系DNDM 是 此时 L Q 2 如图 2 点 M N 边 AB AC 上 且当时 猜想 1 问的两个结论还成立DNDM 吗 写出你的猜想并加以证明 3 如图 3 当 M N 分别在边 AB CA 的延长线上时 若 则 用 xAN Qx L 表示 分析 分析 1 如果 因为 那么DNDM DNMDMN DCBD 也就有 直角三角形 MBD NCD 中 30DCBDBC 903060NCDMBD 因为 根据 HL 定理 两三角形全等 那么 DCBD DNDM NCBM 三角形 NCD 中 在三角形 DNM 中 60DNCBMD 30NDCNCDN2 因此三角形 DMN 是个等边三角形 因此DNDM 60MDN 三角形 AMN 的周长BMNCNCDNMN 2 MNANAMQ 三角形 ABC 的周长 因此 ABACABNCMBANAM2 ABL3 3 2 LQ 2 如果 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换 延长 AC 至 E 使DNDM 连接 DE 1 中我们已经得出 那么三角形 MBD 和 ECDBMCE 90NCDMBD 中 有了一组直角 因此两三角形全等 那么 CEMB DCBD DEDM 第 14 页 共 49 页 图 1 N M A D C B 三角形 MDN 和 EDN 中 有 CDEBDM 60MDNBDCEDNDEDM 有一条公共边 因此两三角形全等 至此我们把 BM 转换 60MDNEDNNEMN 成了 CE 把 MN 转换成了 NE 因为 因此 Q 与 L 的关系的求CECNNE CNBMMN 法同 1 得出的结果是一样的 3 我们可通过构建全等三角形来实现线段的转换 思路同 2 过 D 作 MDBCDH 三角形 BDM 和 CDH 中 由 1 中已经得出的 我们做的角 90MBDCH 因此两三角形全等 ASA 那么 三角CDHBDM CDBD CHBM DHDM 形 MDN 和 NDH 中 已知的条件有 一条公共边 ND 要想证得两三角形全等就需要DHMD 知道 因为 因此 因为 HDNMDN MDBCDH 120BDCMDH 60MDN 那么 60120NDH 因此 这样就构成了两三角形全等的条件 三角形 MDN 和 DNH 就全 60NDHMDN 等了 那么 三角形 AMN 的周长BMACANNHNM BMABANMNAMANQ 因为 因此三角形 AMN 的周ABANBMACAN22 xAN LAB 3 1 长 LxQ 3 2 2 解 1 如图 1 BM NC MN 之间的数量关系 此时 MNNCBM 3 2 L Q 2 猜想 结论仍然成立 证明 如图 2 延长 AC 至 E 使 连接 DEBMCE 且CDBD 120BDC 30DCBDBC 又是等边三角形ABC 90NCDMBD 在与中MBD ECD DCBD ECDMBD CEBM SAS ECDMBD DEDM CDEBDM 60MDNBDCEDN 在与中MDN EDN DNDN EDNMDN DEDM SAS EDNMDN BMNCNEMN 故的周长AMN MNANAMQ ABACABNCANBMAM2 而等边的周长 ABC ABL3 3 2 3 2 AB AB L Q E 图 2 N M A D C B H 图 3 N M A D C B 第 15 页 共 49 页 3 如图 3 当 M N 分别在 AB CA 的延长线上时 若 则 用xAN LxQ 3 2 2 x L 表示 点评 点评 本题考查了三角形全等的判定及性质 题目中线段的转换都是根据全等三角形来实 现的 当题中没有明显的全等三角形时 我们要根据条件通过作辅助线来构建于已知和所求条 件相关的全等三角形 2222 如图 2 7 1 ABC 和 DCE 均是等边三角形 B C E 三点共线 AE 交 CD 于 G BD 交 AC 于F 求证 AE BD CF CG 思路思路 证明 ACE BCD 证明证明 ABC 和 DCE 都是等边三角形 CB CA CD CE BCA ECD BCD ACE BCD ACE AE BD 思路思路 证明 FCD GCE 证明证明 由 BCD DCE 都是等边三角形可知 CD CE BCA ECD ACD BCA ECD FCD GCE CF CG 说明说明 证明两条线段相等的重要方法之一就是证明它们所在的两个三角形全等 2323 如图 2 7 2 在正方形 ABCD 中 M 是 AB 的中点 MN MD BN 平分 CBE 求证 MD MN 思路 思路 取 AD 的中点 P 连结 PM 证明 DMP MNB 证明 证明 取 AD 的中点 P 连结 PM 则有 DP MB DM MN DMA BMN 又由正方形 ABCD 知 A DMA MDA BMN MDA 又 BN 平分 CBE MBN 又由 P M 分别为 AD AB 的中点 ABCD 是正方形 得 PAM 是等腰直角三角形 故 DPM DPM MBN DPM MBN DM MN 说明 说明 本题中 DM 和 MN 所在的三角形不全等 这时就要考虑作出它们所在的新三角形 证明这两个新三角形全等 2424 如图 2 7 3 ABC 中 ABC 2 C BAC 的平分线交 BC 于 D 求证 AB BD AC 思路思路 1 延长 AB 到 E 使 BD 证明 AED ACD 证法证法 1 延长 AB 到 E 使 BE BD 连结 ED 则 E BDE ABD E BDE 2CE 又 ABC 2 C C E 第 16 页 共 49 页 AD 平分 BAC 1 2 又 AD AD ADE ADC AC AE 即 AC AB BE AB BD 思路思路 2 在 AC 上取一点 E 使 AE AB 证明 AED ABD 证法证法 2 在 AC 上取点 E 使 AE AB 连结 CD 由 AD 平分 BAC 得 1 2 又 AD AD ADB ADE AED ABC DE DB 又 ABC 2 C AED 2 C 又 AED EDC C EDC C ED EC EC BD AB BD AE EC AC 说明 说明 要证明 AB BD AC 一般来说有两种方法 一种方法是作出一条线段 使其长度为 AB BD 如证法 1 就采用此法 另一种方法是把 AC 分成两部分 使其分别等于 AB BD 如证法 2 就采用此法 2525 如图 2 7 4 ABC 中 AC AB AD 平分 BAC P 为 AD 上任一点 连结 PB PC 求证 PC PB AC AB 思路 思路 通过构造全等三角形 把 PC PB AC AB 集中在同一三角形中 利用三角形两边之差小于第三边这一性质来证明本题结论 证明 证明 在 AC 上取点 E 使 AE AB 连结 PE 由 AD 平分 ABC 得 1 2 又 AE AB AP AP APE APB PE PB 在 EPC 中 PC PE EC 即 PC PB AC AE PC PB AC AB 说明 说明 当要证明式子的线段比较分散时 常通过构造全等三角形 把相关线段集中起来 这样便 于利用三角形的三边不等关系 2626 如图 2 7 5 从等腰 Rt ABC 的直角顶点 C 向中线 BD 作垂线 交 BD 于 F 交 AB 于 E 连结 DE 求证 CDF ADE 思路 1 作 BCA 的平分线交 BD 于 G 证明 CDG ADE 证法证法 1 1 作 BCA 的平分线交 BD 于 G BC AC BCG A CBG CDF ACE BCG CAE CE AE CDG 和 ADE 中 CD AD DCE A CE AE CDG ADE CDF ADE 思路思路 2 过 A 作 AN AC 交 CE 延长线于 N 证明证明 ADE ANE 证法 2 过 A 作 AN AC 交 CE 延长线于 N ACN CBD AC CB Rt ACN Rt CBD CDF ANE CD AN AD 又 CAE EAN AE AE ADE ANE ADE ANE 第 17 页 共 49 页 CDF ADE 27 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 求证 ADC CEB DE AD BE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 求证 DE AD BE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系 并加以证明 分析 分析 1 AD MN BE MN ADC CEB 90 DAC DCA 90 又 ACB 90 DCA ECB 90 DAC ECB AC BC ADC CEB DC BE AD CE DE DC CE BE AD 2 与 1 同理 ADC CEB CD BE AD CE DE CE CD AD BE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 位置时 与 1 2 同理可知 CE AD BE CD DE CD CE BE AD 28 已知 ABC 为等边三角形 M 是 BC 延长线上一点 直角三角尺的一条直角边经过点 A 且 60 角的顶点 E 在 BC 上滑动 点 E 不与点 B C 重合 斜边和 ACM 的平分线 CF 交 于点 F 1 如图 1 当点 E 在 BC 边得中点位置时 6 分 1 猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 分 2 连结点 E 与 边得中点 猜想 和 满足的数量关系是 分 3 请证明你的上述猜想 分 如图 当点 在 边得任意位置时 分 此时 和 有怎样的数量关系 并说明你的理由 E 图 图 1图 N F MCB A E 图 图 2图 F MCB A 第 18 页 共 49 页 29 已知 AC 平分 MAN MAN 120 1 在图 1 中 若 ABC ADC 90 求证 AB AD AC 4 分 2 在图 2 中 若 MAN 120 ABC ADC 180 则 1 中的结论还成立吗 若成 立请你给出证明 若不成立请说明理由 4 分 3030 如图 1 在中 点为边中点 直线绕顶点旋转 若点在直线的ABC PBCaABP a 异侧 直线于点 直线于点 连接BM aMCN aN PMPN 1 延长交于点 如图 2 求证 求证 MPCNEBPMCPE PMPN 2 若直线绕点旋转到图 3 的位置时 点在直线的同侧 其它条件不变 此时aABP a 还成立吗 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 PMPN 3 若直线绕点旋转到与边平行的位置时 其它条件不变 请直接判断还aABCPMPN 成立吗 不必说明理由 分析 分析 1 证明 如图 2 直线于点 直线于点 BM aMCN aN90BMNCNM 又为边中点 又BMCN MBPECP P BC BPCP BPMCPE BPMCPE 在中 BPMCPE 1 2 PMPEPMME RtMNE 1 2 PNME PMPN 2 成立 如图 3 证明 延长与的延长线相交于点 MPNCE 直线于点 直线于点 BM aMCN aN 90180BMNCNMBMNCNM BMCNMBPECP 又为中点 P BCBPCP 又 BPMCPE BPMCPE 1 2 PMPEPMME 图 图 1图 C D B N M A 图 图 2图 C D B N M A 题图 1题图 2题图 3 第 19 页 共 49 页 则在中 RtMNE 1 2 PNME PMPN 3 成立 PMPN 31 如图 1 已知正方形的边在正方形的边上 连接ABCDCDDEFGDEAEGC 1 试猜想与有怎样的位置关系 并证明你的结论 AEGC 2 将正方形绕点按顺时针方向旋转 使点落在边上 如图 2 连接DEFGDEBCAE 和你认为 1 中的结论是否还成立 若成立 给出证明 若不成立 请说明理由 GC 解 1 答 1 分 AEGC 证明 延长交于点GCAE H 在正方形与正方形中 ABCDDEFG 90ADDCADECDG DEDG ADECDG 3 分 12 2390 1390 18013180 9090AHG 5 分 AEGC 2 答 成立 6 分 证明 延长和相交于点AEGC H 在正方形与正方形中 ABCDDEFG ADDC DEDG ADCDCB 90BBADEDG 12903 ADECDG 8 分54 又 5690 47180DCE 1809090 67 又 690 AEBAEBCEH 790CEH 10 分 90EHC AEGC 第 20 页 共 49 页 99 已知 点已知 点 P 是直角三角形是直角三角形 ABC 斜边斜边 AB 上一动点 不与上一动点 不与 A B 重合 重合 分别过 分别过 A B 向直向直 线线 CP 作垂线 垂足分别为 E F Q 为斜边 AB 的中点 1 如图 1 当点 P 与点 Q 重合时 试判断 AE 与 BF 的位置关系 QE 与 QF 的数量关系 2 如图 2 当点 P 在线段 AB 上不与点 Q 重合时 试判断 QE 与 QF 的数量关系 并给予证 明 3 如图 3 当点 P 在线段 BA 或 AB 的延长线上时 此时 2 中的结论是否成立 请画 出图形并给予证明 考点 全等三角形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线 分析 1 证 BFQ AEQ 即可 2 证 FBQ DAQ 推出 QF QD 根据直角三角形斜边上中线性质求出即可 3 证 AEQ BDQ 推出 DQ QE 根据直角三角形斜边上中线性质求出即可 解答 解 1 AE BF QE QF 理由是 如图 1 Q 为 AB 中点 AQ BQ BF CP AE CP BF AE BFQ AEQ 在 BFQ 和 AEQ 中 BFQ AEQ AAS QE QF 故答案为 AE BF QE QF 2 QE QF 证明 如图 2 延长 FQ 交 AE 于 D AE BF QAD FBQ 在 FBQ 和 DAQ 中 FBQ DAQ ASA QF QD AE CP EQ 是直角三角形 DEF 斜边上的中线 QE QF QD 即 QE QF 3 2 中的结论仍然成立 证明 如图 3 延长 EQ FB 交于 D AE BF 1 D 在 AQE 和 BQD 中 AQE BQD AAS QE QD BF CP FQ 是斜边 DE 上的中线 QE QF 第 21 页 共 49 页 100 1 如图如图 1 已知 在 已知 在 ABC 中 中 BAC 90 AB AC 直线 直线 m 经过点经过点 A BD 直线直线 m CE 直线 m 垂足分别为点 D E 证明 DE BD CE 2 如图 2 将 1 中的条件改为 在 ABC 中 AB AC D A E 三点都在直线 m 上 并且有 BDA AEC BAC 其中为任意锐角或钝角 请问结论 DE BD CE 是否成立 如成立 请aa 你给出证明 若不成立 请说明理由 3 拓展与应用 如图 3 D E 是 D A E 三点所在直线 m 上的两动点 D A E 三点互不 重合 点 F 为 BAC 平分线上的一点 且 ABF 和 ACF 均为等边三角形 连接 BD CE 若 BDA AEC BAC 试判断 DEF 的形状 分析 1 因为 DE DA AE 故通过证 得出 DA EC AE BD 从而证得BDAAEC DE BD CE 2 成立 仍然通过证明 得出 BD AE AD CE 所以BDAAEC DE DA AE EC BD 3 由得 BD AE 与均等边三角形 得BDAAEC BDAEAC ABF ACF FB FA 所以 即60FBAFAC FBADBAFACEAC 所以 所以 FD FE 再根据FBDFAB BDFAEF BFDAFE 得 即 故是60BFDDFABFA 60AFEDFA 60DFE DFE 等边三角形 证明 1 BD 直线 m CE 直线 m BDA CEA 90 BAC 90 BAD CAE 90 BAD ABD 90 CAE ABD 又 AB AC ADB CEA AE BD AD CE DE AE AD BD CE 3 分 2 BDA BAC DBA BAD BAD CAE 180 DBA CAE BDA AEC AB AC A B C EDm 图 1 图 2 mA B C DE A B C EDm 图 1 图 2 图 3 mA B C DEADE B F C m 第 22 页 共 49 页 ADB CEA AE BD AD CE DE AE AD BD CE 6 分 3 由 2 知 ADB CEA BD AE DBA CAE ABF 和 ACF 均为等边三角形 ABF CAF 60 DBA ABF CAE CAF DBF FAE BF AF DBF EAF DF EF BFD AFE DFE DFA AFE DFA BFD 60 DEF 为等边三角形 点拨 利用全等三角形的性质证线段相等是证两条线段相等的重要方法 三角形培优训练专题三角形培优训练专题 三角形辅助线作法三角形辅助线作法 图中有角平分线 可向两边作垂线 也可将图对折看 对称以后关系现 角平分线平行线 等腰三角形来添 角平分线加垂线 三线合一试试看 线段垂直平分线 常向两端把线连 要证线段倍与半 延长缩短可试验 三角形中两中点 连接则成中位线 三角形中有中线 延长中线等中线 常见辅助线的作法有以下几种常见辅助线的作法有以下几种 1 遇到等腰三角形 可作底边上的高 利用 三线合一 的性质解题 思维模式是全等变 换中的 对折 2 遇到三角形的中线 倍长中线 使延长线段与原中线长相等 构造全等三角形 利用的 思维模式是全等变换中的 旋转 3 遇到角平分线 可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线 利用的思维模式是三角 形全等变换中的 对折 所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 可以在角平分线上 的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交 形成一对全等三角形 可以在该角的两边上 距 离角的顶点相等长度的位置上截取二点 然后从这两点再向角平分线上的某点作边线 构造一 对全等三角形 4 过图形上某一点作特定的平分线 构造全等三角形 利用的思维模式是全等变换中的 平移 或 翻转折叠 5 截长法与补短法 具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等 或是将某条 线段延长 是之与特定线段相等 再利用三角形全等的有关性质加以说明 这种作法 适合于 证明线段的和 差 倍 分等类的题目 7 已知某线段的垂直平分线 那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连 线 出现一对全等三角形 8 特殊方法 在求有关三角形的定值一类的问题时 常把某点到原三角形各顶点的线段 连接起来 利用三角形面积的知识解答 总论 全等三角形问题最主要的是构造全等三角形 构造二条边之间的角相等 构造二个 角之间的边相等 1 1 已知 如图 ABC 中 AB 5 AC 3 求中线 AD 的取值范围 ADE B F C O m 图 3 第 23 页 共 49 页 E D F C B A E D C B A 2 2 如图 ABC 中 E F 分别在 AB AC 上 DE DF D 是中点 试比较 BE CF 与 EF 的大小 3 3 如图 ABC 中 BD DC AC E 是 DC 的中点 求证 AD 平分 BAE EDC B A 4 以的两边 AB AC 为腰分别向外作等腰 Rt和等腰 Rt ABC ABD ACE 连接 DE M N 分别是 BC DE 的中点 探究 AM 与 DE 的位置关系 90 BADCAE 及数量关系 1 如图 当为直角三角形时 探究 AM与DE的位置关系和数量关系 ABC 2 将图 中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转 0 AB AD 平分 BAC P 为 AD 上 第 28 页 共 49 页 任一点 连结 PB PC 求证 PC PB AC AB 2626 如图 2 7 5 从等腰 Rt ABC 的直角顶点 C 向中线 BD 作垂线 交 BD 于 F 交 AB 于 E 连结 DE 求证 CDF ADE 27 在 ABC 中 ACB 90 AC BC 直线 MN 经过点 C 且 AD MN 于 D BE MN 于 E 1 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 1 的位置时 求证 ADC CEB DE AD BE 2 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 2 的位置时 求证 DE AD BE 3 当直线 MN 绕点 C 旋转到图 3 的位置时 试问 DE AD BE 具有怎样的等量关系 请写出这个等量关系 并加以证明 28 已知 ABC 为等边三角形 M 是 BC 延长线上一点 直角三角尺的一条直角边经过点 A 且 60 角的顶点 E 在 BC 上滑动 点 E 不与 B C 重合 斜边和 ACM 的平分线 CF 交于 点 F 1 如图 1 当点 E 在 BC 边中点位置时 1 猜想 AE 与 EF 满足的数量关系是 2 连结点 E 与 边得中点 猜想 和 满足的数量关系是 3 请证明你的上述猜想 如图 当点 在 边得任意位置时 此时 和 有怎样的数量关系 并说明你的理由 E 图 图 1图 N F MCB A E 图 图 2图 F MCB A 第 29 页 共 49 页 29 已知 AC 平分 MAN MAN 120 1 在图 1 中 若 ABC ADC 90 求证 AB AD AC 2 在图 2 中 若 MAN 120 ABC ADC 180 则 1 中的结论还成立吗 若成 立请你给出证明 若不成立请说明理由 3030 如图 1 在中 点为边中点 直线绕顶点旋转 若点在直线的ABC PBCaABP a 异侧 直线于点 直线于点 连接BM aMCN aN PMPN 1 延长交于点 如图 2 求证 求证 MPCNEBPMCPE PMPN 2 若直线绕点旋转到图 3 的位置时 点在直线的同侧 其它条件不变 此时aABP a 还成立吗 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 PMPN 3 若直线绕点旋转到与边平行的位置时 其它条件不变 请直接判断还aABCPMPN 成立吗 不必说明理由 31 如图 1 已知正方形的边在正方形的边上 连接ABCDCDDEFGDEAEGC 1 试猜想与有怎样的位置关系 并证明你的结论 AEGC 2 将正方形绕点按顺时针方向旋转 使点落在边上 如图 2 连接DEFGDEBCAE 和你认为 1 中的结论是否还成立 若成立 给出证明 若不成立 请说明理由 GC 图 图 1图 C D B N M A 图 图 2图 C D B N M A 题图 1题图 2题图 3 第 30 页 共 49 页 B A O D C E 32 已知等边 ABC 和点 P 设点 P 到 ABC 三边 AB AC BC 的距离分别为 h1 h2 h3 ABC 的高