第五讲不等式及其应用

大江中学大江中学 2013 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 第五讲 不等式及其应用 主备人 梁永春 审核人 陆海荣 考点解读 1 理解并掌握不等式的基本性质及解法 2 掌握两个 不扩展到三个 正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理 并能灵活 运用其解决问题 第一课时 基础训练 1 已知集合 A 集合 B x y lg x2 x 2 则 A B x x 1 2 x 0 2 设 0 a b a b 1 则 b 2ab a2 b2中的最大的是 1 2 3 点 P x y 是直线 x 3y 2 0 上的动点 则代数式 3x 27y有最小值是 4 已知关于 x 的函数 y f R 的 定义域为 D 存在区间 a b D f x 2 1 t xt x 的值域也是 a b 当 t 变化时 b a 的最大值 5 函数f x 的定义域为 R 对任意x R 则的解2 1 f2 x f42 xxf 集为 例题选讲 例 1 设函数 f x ax2 bx c a b c R 1 已知 f 1 a 2 若 f x 0 求证 函数 f x 在区间 0 2 内至少有一个零点 2 已知 a 1 若 x1 x2是方程 f x 0 的两个根 且 x1 x2 m m 1 其中 m R 求 f m f m 1 的最大值 大江中学大江中学 2013 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 突破训练 1 已知 若方程在上有两个不相等的实kxxxf 2 2 xf 2 3 1 数根 则实数的取值范围为 k 例 2 若关于 x 的不等式 2x 1 2 ax2的解集中整数恰好有 2 个 求实数 a 的取值范 围 突破训练 2 连云港市 2013 届高三期末 关于 x 的不等式 x2 ax 2a 0 的解集为 A 若 集合 A 中恰有两个整数 则实数 a 的取值范围是 例 3 徐州 淮安 宿迁市 2013 届高三期末 如图 两座建筑物的底部都CDAB 在同一个水平面上 且均与水平面垂直 它们的高度分别是 9和 15 从建筑物cmcm 的顶部看建筑物的视角 ABACD 45CAD 1 求的长度 BC 2 在线段上取一点点与点不重合 从点看这两座建筑物的视角分BC PPCB P 别为问点在何处时 DPCAPBP 最小 当堂反馈 A B D C P 例题 3 题图 大江中学大江中学 2013 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 1 2011 湖南 设 x y R 且 xy 0 则的最小值为 x2 1 y2 1 x2 4y2 2 3 2010 江苏 将边长为 1 m 的正三角形薄片 沿一条平行于底边的直线剪成两块 其中 一块是梯形 记 S 则 S 的最小值是 梯形的周长 2 梯形的面积 第二课时 1 2011 福建 已知 O 是坐标原点 点 A 1 1 若点 M x y 为平面区域Error 上的一个 动点 则 的取值范围是 OA OM 2 若不等式 x2 ax 1 0 对于一切 x 0 2 成立 求 a 的取值范围 1 若题中区间改为 x 2 2 求 a 的取值范围 2 若题中区间改为 a 2 2 求 x 的取值范围 突破训练 3 已知 f x x2 2ax 2 当 x 1 时 f x a 恒成立 求 a 的取 值范围 3 设函数 f x x2 aln 1 x 有两个极值点 x1 x2 且 x1 x2 1 求 a 的取值范围 并讨论 f x 的单调性 2 证明 f x2 1 2ln 2 4 大江中学大江中学 2013 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 例题 4 已知函数 21 1 xa f xe 1 2 x a fxexR 1 若 2 求在上的最小值 a 12 f xf xfx 2 3 x 2 若时 求的取值范围 xa 21 fxf x a 例题 5 对于函数 若存在实数对 使得等式对定义域中 f xba bxafxaf 的每一个都成立 则称函数是 型函数 x f xba 1 判断函数是否为 型函数 并说明理由 4xf x ba 2 已知函数是 1 4 型函数 当时 都有成立 且当 g x 0 2 x 1 3g x 时 若 试求的取值范围 0 1 x 2 g xx 1 1m x 0 m m 大江中学大江中学 2013 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 不等式及其应用练习 1 1 常州市 2013 届高三期末 已知实数同时满足 x y 5 427 6 xy 则的取值范围是 274 1 loglog 6 yx 2741 yx xy 2 对一切的正整数 n 不等式恒成立 则实数 X 的取值范围为 1 12 n n x x 3 南京市 盐城市 2013 届高三期末 设 x y 满足约束条件 0 0 02 063 yx yx yx 则目标函数 23zxy 的最大值为 4 南通市 2013 届高三期末 已知 若 且01a log 21 log 32 aa xyyx 则的最大值为 xy 5 徐州 淮安 宿迁市 2013 届高三期末 已知实数满足约束条件 yx 0 12 0 kyx xy x 为常数 若目标函数的最大值是 则实数的值是 kyxz 2 3 11 k 6 苏州市 2013 届高三期末 已知 则的解集是 1f xx x 11 42 f xf 7 无锡市 2013 届高三期末 已知变量 x y 满足约束条件 表示平面区域 0 0 4 x y yx M 若 4 a t 时 动直线 x y a 所经过的平面区域 M 的面积为 7 则 t 8 镇江市 2013 届高三期末 已知 x y 为正数 则的最大值为 22 xy xyxy 9 徐州 淮安 宿迁市 2013 届高三期末 若对满足条件的任 0 0 3 yxxyyx 大江中学大江中学 2013 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 意 恒成立 则实数的取值范围是 yx 01 2 yxayxa 10 苏州市 2013 届高三期末已知实数 满足不等式 则的xy 20 40 3 xy xy x 33 2 2xy x y 取值范围是 11 设是定义在上的可导函数 且满足 则不等式 xfR0 xxfxf 的解集为 1 1 1 2 xfxxf 12 2012 盐城二模 因客流量临时增大 某鞋店拟用一个高为 50cm 即 50cm 的平面EF 镜自制一个竖直摆放的简易鞋镜 根据经验 一般顾客的眼睛到地面的距离 cm 在ABBx 区间 140 180 内 设支架高为 0 90 cm 100cm 顾客可视的镜像范围为FGhhAG 如图所示 记的长度为 CDCDyGCGDy 1 当 40cm 时 试求关于的函数关系式和的最大值 hyxy 2 当顾客的鞋在镜中的像满足不等关系 不计鞋长 时 称顾客可在A 1 A 1 GCGAGD 镜中看到自己的鞋 若一般顾客都能在镜中看到自己的鞋 试求的取值范围 h 大江中学大江中学 2013 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 不等式及其应用练习 2 1 已知函数 f x 曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 x 2y 3 0 则 aln x x 1 b x a b 的值分别为 2 苏州市 2013 届高三期末 过坐标原点作函数图像的切线 则切线斜率为 lnyx 3 泰州市 2013 届高三期末 曲线 y 2lnx 在点 e 2 处的切线与 y 轴交点的坐标为 4 扬州市 2013 届高三期末 已知函数 在区间上取得最 x m xxf ln Rm 1 e 小值 4 则 m 5 常州市 2013 届高三期末 第八届中国花博会将于 2013 年 9 月在常州举办 展览园指 挥中心所用地块 的形状是大小一定的矩形 ABCD a b 为常数且满足BCa CDb 组委会决定从该矩形地块中划出一个直角三角形地块建游客休息区 点 E Fba AEF 分别在线段 AB AD 上 且该直角三角形 AEF 的周长为 如图 设 2lb AEx 的面积为 AEFS 1 求关于的函数关系式 Sx 2 试确定点 E 的位置 使得直角三角形地块的面积最大 并求出的最大值 AEFSS 大江中学大江中学 2013 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 6 连云港市 2013 届高三期末 连云港市 2013 届高三期末 某单位决定对本单位职 工实行年医疗费用报销制度 拟制定年医疗总费用在 2 万元至 10 万元 包括 2 万元和 10 万 元 的报销方案 该方案要求同时具备下列三个条件 报销的医疗费用 y 万元 随医疗总费 用 x 万元 增加而增加 报销的医疗费用不得低于医疗总费用的 50 报销的医疗费用 不得超过 8 万元 1 请你分析该单位能否采用函数模型 y 0 05 x2 4x 8 作为报销方案 2 若该单位决定采用函数模型 y x 2lnx a a 为常数 作为报销方案 请你确定整数a的 值 参考数据 ln2 0 69 ln10 2 3 7 南京市 盐城市 2013 届高三期末 对于定义在区间D上的函数 f x 若任给 0 xD 均有 0 f xD 则称函数 f x 在区间D上封闭 1 试判断 1f xx 在区间 2 1 上是否封闭 并说明理由 2 若函数 3 1 xa g x x 在区间 3 10 上封闭 求实数a的取值范围 3 若函数 3 3h xxx 在区间 a b a bZ 上封闭 求 a b的值 大江中学大江中学 2013 届高三数学二轮复习届高三数学二轮复习 作 垂足为 则 设 则AE CDE9CE 6DE BCx 2 分 tantan tantan 1tantan CAEDAE CADCAEDAE CAEDAE 化简得 解之得 或 舍 96 1 9 6 1 xx x x 2 15540 xx 18x 3x 答 的长度为 6 分BC18m 设 则 BPt 18 018 CPtt 8 分 22 915 16266 27 18 tan 915 1813518135 1 18 tt tt tttt tt 设 令 因为 得 2 27 18135 t f t tt 2 22 542723 18135