一道课本例题衍生出的中考题赏析

一道课本例题衍生出的中考题赏析 安昌镇中学 倪君霞 初中数学教材中有许多例题都反映了相关的数学本质 蕴含着重要的数学思想 与方法 对数学教学具有一定的导向作用 在中考复习中 将教材中典型的例题与 其衍生出的中考试题联系起来 能够激发学生的学习兴趣 培养学生发现问题和解 决问题的能力 本文从 2012 年中考试题中撷取了两道具有代表性的试题并对其简 要分析 供读者参考 一 例题及解答 例 1 如图 1 在等腰三角形ABC中 底边 高 四边形cmBC60 cmAD40 PQRS是正方形 1 与相似吗 为什么 ASR ABC 2 求正方形PQRS的边长 解 因为四边形PQRS是正方形 所以 所以SRBC 由三角形相似的判定可知 ABCASR ACBARS 由相似三角形的性质可知 相似三角形对应ASR ABC 高的比等于相似比 所以 设正方形的边长为 BC SR AD AE xcm 则 所以 解得 即正方形PQRS的边长为cmxAE 40 6040 40 xx 24 x cm24 点评 本题以学生熟悉的等腰三角形和正方形为背景 不仅考查相似三角形的 判定 而且考查相似三角形的性质 即相似三角形对应高的比等于相似比 这道例 题为 三角形内接矩形 这一类问题的解答起到了示范引领的作用 为这类问题的 解决提供了一种最基本的解题策略 即由两个三角形相似 得到这两个三角形的对 应边与对应高成比例 从而建立等量关系 然后根据这个等量关系列出方程 最终 通过解方程使问题获得最终解决 本例中的这类问题可以与相似三角形 方程 函数 动态几何等知识点巧妙地 结合在一起 能够得到一些富有挑战性的学习素材 二 由例题衍生的中考题 图 1 E PQ R BD A C S 例 2 2012 年陕西 如图 2 正三角形ABC的边长为 33 1 如图 2 正方形EFPN的顶点E F在边AB上 顶点N在边AC上 在正 三角形ABC及其内部 以A为位似中心 作正方形EFPN的位似正方形 NPFE 且使正方形的面积最大 不要求写作法 NPFE 2 求 1 中作出的正方形的边长 NPFE 3 如图 3 在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH 使得 DE EF在边AB上 点P N分别在边CB CA上 求这两个正方形面积和的最大值 及最小值 并说明理由 图 2 EFB C A NP E F N P EFB C A N P 图 4 解析 1 本题主要考查利用位似变换的性质将图形放大的方法 如图 4 连接AP并延长交AC于点 这是画正方形的关键 P NPFE 2 本题主要考查等边三角形 正方形 含 30 锐角的直角三角形性质 可 通过列方程求解 如图 4 设正方形的边长为 因为 ABC是正三角形 NPFE x 所以 从而可得 解得 xFBEA 3 3 33 3 32 xx333 332 339 x 3 这里要用两个正方形的边长的代数式表示出它们的面积和 然后再利用 二次函数的性质求最大值和最小值 如图 3 设正方形DEMN和正方形EFPH的边长 分别为m n 它们的面积和为 则可求得 从nm SmAD 3 3 nBF 3 3 而 所以 故BFEFDEADAB nnmm 3 3 3 3 33 3 nm 显然当时 2222 3 mmnmS 2 9 2 3 2962 2 2 mmm 2 3 m 由二次函数的性质易知 当时 随m的增大而增大 又由 2 2 9 最小 S 2 3 mS 知 所以当时 2 3 333 最大 m333 最大 m 35499 2 9 2 3 3332 2 最大 S 说明 参考答案比较繁琐 特别是在解答第三个问题时 作了四条辅助线 从 F P DEB C A NM H 图 3 以上解析可以看出 其实没有一点必要 直接利用二次函数的性质即可解决 点评 本题以学生熟悉的正三角形的正方形为载体 以位似变换为基础 综合 考查了正三角形 正方形 勾股定理 直角三角形边角关系 方程 二次函数的性 质等重要知识点 是一道考查几何知识与代数知识为一体的综合性试题 与例 1 相 比 本题具有较强的挑战性和探索性 虽然正三角形和正方形是常见图形 但本题 的设计却给人耳目一新的感觉 它本题所涉及的三个问题之间互相关联 并逐级推 进 其中第二个问题的计算结果一定要分母有理化 否则对第三个问题的计算就会 产生影 要正确解答这此题 要求学生具有扎实的数学基础 拥有较强的探究能力 和综合分析问题 解决问题的能力 从本题的问题呈现形式来看 符合新课程标准 的要求 从问题的设置来看 由易到难 步步深入 符合学生的认知规律 不足之 处是本题运算量较大 运算结果比较繁琐 仅此一点难度较大 因此 广大教师在 教学中不但要重视 双基 的教学 更要重视学生能力的培养 例 3 2012 年长春 如图 5 在 Rt ABC中 ACB 90 AC 8cm BC 4cm D E分别为边AB BC的中点 连结DE 点P从点A出发 沿折 线AD DE EB运动 到点B停止 点P在AD上以cm s的速度运动 在折线5 DE EB上以 1cm s的速度运动 当点P与点A不重合时 过点P作PQ AC于点 Q 以PQ为边作正方形PQMN 使点M落在线段AC上 设点P的运动时间为 t s 1 当点P在线段DE上运动时 线段DP的长为 cm 用含t的代数式 表示 2 当点N落在AB边上时 求t的值 3 当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五 边形时 设五边形的面积为S cm 求S与t的函 数关系式 4 连结CD 当点N于点D重合时 有一点H从点M出发 在线段MN上以 2 5cm s的速度沿M N M连续做往返运动 直至点P与点E重合时 点H停止往返 运动 当点P在线段EB上运动时 点H始终在线段MN的中心处 直接写出在点P 的整个运动过程中 点H落在线段CD上时t的取值范围 解析 1 由勾股定理易知 所以 所以cmAB54 cmABAD52 2 1 MQ E D CA B PN 图 5 点P在AD上运动的时间为 2s 故当点P在线段DE上运动时 线段DP的长为 cm 2 t 2 当点N落在AB边上时 有两种情况 利用运动线段之间的数量关系可求 出时间t的值 QM E D N CA B P 图 6 图 7 M N E D C Q A B P 如图 6 当点N与点D重合时 此时点P在DE上 即ECDP 2 t 2 2 t 4 如图 7 当点P位于线段EB上时 易求得 6 tPE 利用 BNP BAC可求得 由PN PCtPB 84 tPCtPBPN2162 可得 解得 4216 tt 3 20 t 故当点N落在AB边上时 t 4 或 3 20 t 3 当正方形PQMN与 ABC重叠部分图形为五边形时 有两种情况 首先用 时间 t 的代数式分别表示各相关运动线段的长度 然后利用求面积 S 的表达式 F N Q E D CA B P M 图 8 F GN E D C Q A B P M 图 9 当 2 t 4 时 如图 8 所示 易求得 2 tDPtCQ 6tAQ 2 由 AFM ABC 知 即 故tAM AC AM BC FM 2 1 AC BC AM FM tAMFM 2 1 2 1 故 ttttttSSS AMFAQPD 2 4 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 梯形 当时 如图 9 所示 易求得 8 3 20 t6 tPE 4 tPC AMFAQPG SSS 梯形 2 1 6 12 2 1 4 8 216 2 1 tttt 8422 4 5 2 tt 4 本题涉及双点的运动 首先需要正确理解题意 然后弄清点H 点P的 运动过程 依题意 点H与点P的运动分为两个阶段 如下图所示 图 10 H MQ E D CA B PN H N E D C Q A B P M 图 11 当 4 t 6 时 此时点P在线段DE上运动 如图 10 所示 此阶段点P运动 时间为 2s 因此点H运动距离为 而MN 2 则此阶段中 点H将有两cm525 2 次机会落在线段CD上 第一次是点H由M H运动 此时点H运动时间为 t 4 s 运动距离 所以 又 4 5 2 tMHtMHNH5 2122 2 tDP 由得 解得 第二次是42 tDPDNNHDN2 5 212 24tt 3 14 t 点H由N H运动 此时点H运动时间为 运动距离stt 8 4 5 2 2 4 由得 解得t 5 125 2 8 4 5 2 ttNHNHDN2 125 2 24 tt 当 6 t 8 时 此时点P在线段EB上运动 如图 11 所示 由图可知 在此 阶段 始终有 即MN与CD的交点始终为线段MN的中点 即点H MCMN 2 1 综上所述 在点P的整个运动过程中 点H落在线段CD上时t的取值范围是 或t 5 或 6 t 8 3 14 t 点评 本题以动态几何的形式呈现 考查的内容涉及到正方形的性质 勾股定 理 相似三角形的判定和性质 梯形和三角形的面积等 是一道综合性较强的试题 解 决这类问题时首先要正确理解题意 搞清楚动点的运动过程 按照动点的不同运动 tAM 12tPG216 tFM 2 1 6 tPB 8 过程通常需要渗透数形结合与分类讨论的数学思想 然后针对不同的运动过程 利 用含有时间t的代数式表示相关线段的长度 最后通过列方程求出时间t 正确画 出不同过程的图形并能正确表示相关线段的长度是解决本题的关键 与例 1 相比 不同的是图形中所涉及的三角形由等腰三角形变为了直角三角形 所涉及的正方形 由静态变为动态 本题中的正方形完全由动点控制 是一个动态正方形 相同的是 对一些关键线段的求解方式基本相同 都是利用相似三角形的性质求解 方法是相 通的 特别是本题中的第 4 个问题超出了一般学生的水平 具有极强的挑战性 也体现了中考的选拔功能 三 对教学的启示 1 关注教材 研究教材中的典型例题与习题 最大限度地发挥教材的作用 教材是经过学科专家反复推敲 精心编写的精品课程资源 大多数例题都具有 很强的代表性 蕴含着重要的数学思想与方法 是解答其它相关问题的有效数学模 型 教材中一些典型的例题也是命题专家关注的重要对象之一 通过对例题中的条 件 图形 结论或设问方式等方面的改造变化或重组 可命制出高质量的中考试题 在 教学中 教师要关注教材 研究教材中典型的例题 把握教材的编写意图 对教材 中的例题要从不同角度进行延伸 拓展和变式 充分发挥例题的最大功能 2 切实加强学生分析问题与解决问题能力的培养 加强学生创新意识的培养 数学课程标准 指出 学生的数学学习内容应当是现实的 有意义的 富有 挑战性的 这些内容有利于学生主动地进行观察 实验 猜测 验证 推理与交流 等数学活动 对教材中典型例题的复习是九年级中考复习教学中的重要组成部分 因此 在典型例题的教学中 当学生获得某种基本的解法后 教师应当引导学生挖 掘例题的潜在因素 通过改变题目的条件 图形 结论或设问方式等多种途径对例 题进行变式教学 强化