八年级数学下册-第一章-直角三角形期末复习-(新版)湘教版

直角三角形直角三角形 01 各个击破 命题点 1 直角三角形的性质 例 1 如图 在 ABC 中 BF CE 分别是 AC AB 两边上的高 D 为 BC 中点 试说明 DEF 是等腰三角形 思路点拨 D 为 BC 中点 又 BEC 和 BFC 是直角三角形 故可利用直角三角形斜边中线的性质得 DE DF BC 1 2 解答 方法归纳 由直角三角形斜边中线的性质可得到边之间的关系 1 北京中考 如图 公路 AC BC 互相垂直 公路 AB 的中点 M 与点 C 被湖隔开 若测得 AM 的长为 1 2 km 则 M C 两点间的距离为 A 0 5 km B 0 6 km C 0 9 km D 1 2 km 2 在 ABC 中 AB AC A 120 AB 的垂直平分线交 BC 于点 D 交 AB 于点 E 如果 DE 1 求 BC 的长 命题点 2 直角三角形的判定 例 2 如图 已知 AB CD PA PC 分别平分 BAC 和 ACD 试判断 APC 的形状 并说明理由 思路点拨 由 AB CD 可得 BAC ACD 180 又由 PA PC 两条平分线 可证明 1 2 90 从而得 到 APC 的形状 解答 2 方法归纳 由角来判断一个三角形是直角三角形 只要说明这个三角形中有一个直角或有两个角互余即可 3 一个三角形的三个角的角度之比是 3 3 6 则这个三角形是 4 已知 如图 在 ABC 中 AD BC 1 B 求证 ABC 是直角三角形 命题点 3 勾股定理 及逆定理 例 3 如图 四边形 ABCD AB AD 2 BC 3 CD 1 A 90 求 ADC 的度数 思路点拨 首先在 Rt BAD 中 利用勾股定理求出 BD 的长 而由题意可知 ABD 为等腰直角三角形 则 ADB 45 再根据勾股定理逆定理 证明 BCD 是直角三角形 即可求出答案 解答 方法归纳 当不能直接求一个角的度数时 可通过作辅助线 求几个角的和或差 5 已知三组数据 2 3 4 3 4 5 1 2 分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长 构成直 3 角三角形的有 A B C D 6 如图 已知 ABC ACB 90 AB 5 cm BC 3 cm CD AB 于点 D 求 CD 的长 命题点 4 直角三角形全等的判定 例 4 如图 已知 AB BD CD BD AD CB 求证 AD BC 思路点拨 要证 AD BC 可证 ADB CBD 这由 Rt ADB Rt CBD HL 可以得到 解答 3 方法归纳 用 HL 证明三角形全等时 需指明直角三角形 7 如图 在四边形 ABCD 中 CB CD ABC ADC 90 BAC 35 则 BCD 的度数为 A 145 B 130 C 110 D 70 8 如图 AB AD ABC ADC 90 EF 过点 C BE EF 于 E DF EF 于 F BE DF 求证 Rt BCE Rt DCF 命题点 5 角平分线的性质与判定 例 5 如图 在 ABC 中 B 的平分线与 C 的外角的平分线交于 P 点 PD AC 于 D PH BA 于 H 求证 AP 平分 HAD 思路点拨 过P 作 PF BE 于 F 根据角平分线的性质可得 PH PF PF PD 有 PD PH 再根据角平分线的判 定可得结论 解答 方法归纳 此题主要考查角平分线定理及逆定理 准确作出辅助线是解答本题的关键 解决与角平分线有关 的问题常常用到作垂线之类的辅助线 9 如图 OC 是 AOB 的平分线 P 是 OC 上一点 PD OA 于点 D PE OB 于点 E 若点 Q 是 OC 上与点 O P 不重合 的另一点 则以下结论中 不一定成立的是 A PD PE B OC DE 且 OC 平分 DE C QO 平分 DQE D DEQ 是等边三角形 10 如图 ABC 60 点 D 在 AC 上 BD 16 DE BC DF AB 且 DE DF 求 4 1 CBD 的度数 2 DF 的长度 02 整合集训 一 选择题 每小题 3 分 共 30 分 1 如图 l1 l2 l3 l4 1 42 那么 2 的度数为 A 48 B 42 C 38 D 21 2 在 Rt ABC 中 C 90 一个锐角为 30 最短边长为 5 cm 则最长边上的中线是 A 5 cm B 15 cm C 10 cm D 2 5 cm 3 下列说法中 如果 A B C 那么 ABC 是直角三角形 如果 A B C 1 2 3 那么三角形 是直角三角形 如果三角形的三边长分别为 4 4 6 那么这个三角形不是直角三角形 有一个角是直角的三 角形是直角三角形 正确的有 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 4 毕节中考 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长 其中能构成直角三角形的是 A B 1 34523 C 6 7 8 D 2 3 4 5 如图 为了测得湖两岸 A 点和 B 点之间的距离 一个观测者在 C 点设桩 使 ABC 90 并测得 AC 长 20 米 BC 长 16 米 则 A 点和 B 点之间的距离为 A 25 米 B 12 米 C 13 米 D 4米 3 6 如图 在 ABC 中 C 90 AP 是角平分线 AP 10 CP 5 则 B 的度数是 A 45 B 30 C 60 D 15 7 如图所示 BE AC CF AB 垂足分别是 E F 若 BE CF 则图中全等三角形有 5 A 1 对 B 2 对 C 3 对 D 4 对 8 如图 ABC 中 B 的外角平分线 BD 与 C 的外角平分线 CE 相交于点 P 若点 P 到 AC 的距离为 2 则点 P 到 AB 的距离为 A 1 B 2 C 3 D 4 9 如图 ABC 中 ACB 90 AE AC 8 BF BC 15 则 EF 长为 A 3 B 4 C 5 D 6 10 如图 由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的大正方形图案是某届国际数学大会的会标 如果大 正方形的面积为 16 小正方形的面积为 3 直角三角形的两直角边分别为 a 和 b 那么 a b 2的值为 A 256 B 169 C 29 D 48 二 填空题 每小题 3 分 共 18 分 11 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 AC 3 AB 6 点 D 是 AB 的中点 则 ACD 12 如图 在 Rt ABC 中 C 90 一条线段 PQ AB 点 P Q 两点分别在 AC 和 AC 的垂线 AX 上移动 当 AP 时 才能使 ABC QPA 13 在 Rt ABC 中 C 90 A 30 AB 上的中线 CD 的长 2 cm 那么 BC cm 14 如图 在 Rt ABC 中 A 90 BD 平分 ABC 交 AC 于点 D S BDC 4 BC 8 则 AD 15 利用图 1 或图 2 两个图形中的有关面积的等量关系能证明数学中一个十分著名的定理 这个定理称为 该定理的结论其数学表达式是 6 16 南昌中考 如图 在 ABC 中 AB BC 4 AO BO P 是射线 CO 上的一个动点 AOC 60 则当 PAB 为 直角三角形时 AP 的长为 三 解答题 共 52 分 17 8 分 已知 如图 Rt ABC 和 Rt ADC ABC ADC 90 点 E 是 AC 的中点 求证 EBD EDB 18 8 分 已知 如图 BC AD 分别垂直 OA OB BC 和 AD 相交于点 E 且 OE 平分 AOB 已知 CE 3 cm A 30 试求 EB 的长 19 10 分 小明拿着一根长竹竿进一个宽为 3 米的城门 他先横着拿不进去 又竖起来拿 结果竹竿比城门高 1 米 当他把竹竿斜着时 两端刚好顶着城门的对角 问竹竿长多少米 20 12 分 如图 在 ABC 中 AB AC DE 是过点 A 的直线 BD DE 于点 D CE DE 于点 E 1 若点 B C 在 DE 的同侧 如图 1 所示 且 AD CE 求证 AB AC 图 1 7 2 若点 B C 在 DE 的两侧 如图 2 所示 其他条件不变 AB 与 AC 仍垂直吗 若是 请给出证明 若不是 请说 明理由 图 2 21 14 分 如图 ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形 ACB ECD 90 D 为 AB 边上一点 求证 1 ACE BCD 2 AD2 DB2 DE2 参考答案 例 1 BF CE 分别是 AC AB 两边上的高 BEC BFC 90 又 D 为 BC 中点 DE BC DF BC 1 2 1 2 DE DF DEF 是等腰三角形 例 2 APC 是直角三角形 PA PC 分别平分 BAC 和 ACD BAC 2 1 ACD 2 2 AB CD BAC ACD 180 2 1 2 2 180 1 2 90 APC 90 APC 是直角三角形 例 3 连接 BD 在 Rt BAD 中 AB AD 2 ADB 45 BD 2 在 BCD 中 DB2 CD2 2 2 12 9 CB2 AD2 AB222 BCD 是直角三角形 8 BDC 90 ADC ADB BDC 45 90 135 例 4 AB BD CD BD ABD CDB 90 在 Rt ADB 和 Rt CBD 中 AD CB BD DB Rt ADB Rt CBD HL ADB CBD AD BC 例 5 过 P 作 PF BE 于 F BP 平分 ABC PH BA PF BE PH PF 又 CP 平分 ACE PD AC PF BE PF PD PD PH 又 PH BA PD AC AP 平分 HAD 题组训练 1 D 2 连接 AD DE 垂直平分 AB AD BD DEB 90 AB AC BAC 120 B C 30 在 Rt BDE 中 B 30 DE BD 1 2 BD 2 AD BD BAD B DAC BAC BAD 120 30 90 又 C 30 AD CD 1 2 CD 2AD 2BD 4 BC CD BD 4 2 6 3 等腰直角三角形 4 证明 AD BC BAD B 90 1 B 1 BAD BAC 90 ABC 是直角三角形 9 5 D 6 ABC 是直角三角形 AC2 BC2 AB2 即 AC2 52 32 AC 4 cm 又 S ABC BC AC AB CD 1 2 1 2 CD 2 4 cm BC AC AB 3 4 5 7 C 8 证明 连接 BD AB AD ABD ADB ABC ADC 90 CBD CDB BC DC BE EF DF EF E F 90 在 Rt BCE 和 Rt DCF 中 BC DC BE DF Rt BCE Rt DCF HL 9 D 10 1 DE BC DF AB 且 DE DF BD 平分 ABC ABC 60 DBC 30 2 BD 平分 ABC ABD DBC 30 BD 16 DF BD 16 8 1 2 1 2 整合集训 1 A 2 A 3 D 4 B 5 B 6 B 7 C 8 B 9 D 10 C 11 60 12 CB 13 2 14 1 15 勾股定理 a2 b2 c2 16 2或 2或 2 37 17 证明 ABC 90 且点 E 是 AC 的中点 EB AC 同理 ED AC 1 2 1 2 EB ED EBD EDB 18 BC AD 分别垂直 OA OB OE 平分 AOB CE DE 在 ACE 和 BDE 中 AEC BED CE DE ACE BDE 90 ACE BDE ASA AE BE CE 3 cm A 30 10 AE 2CE 2 3 6 cm EB 6 cm 19 设竹竿长 x 米 则城门高 x 1 米 根据题意得 x2 x 1 2 32 解得 x 5 答 竹竿长 5 米 20 1 证明 BD DE CE DE ADB AEC 90 又 AB AC AD CE Rt ABD Rt CAE HL DAB ECA DBA EAC DAB DBA 90 BAD CAE 90 BAC 180 BAD