线性方程组n维向量.ppt

1 第二节 n维向量 当线性方程组有无穷多解时 这些解之间的关系如何 以及如何表示这些解 是我们关心的问题 在这一节我们将引入n维向量的概念 并研究向量间的线性关系以解决这一问题 本节主要讨论以下两个问题 1 n维向量空间的定义 2 n维向量间的线性关系 主要有线性表示 线性相关 线性无关 以及它们之间的关系 2 向量一般用小写希腊字母 表示 一 n维向量及其线性关系 n维向量 3 前者称为n维行向量 后者称为n维列向量 向量是数学中的一个极为重要的概念 在数学的各分支及其它学科中 向量的概念及有关性质都有广泛的应用 n维向量是平面 空间 解析几何中 2 3 维几何向量的推广 只不过当n 3时 它没有几何上的直观意义 只是沿用几何上的术语而已 例如 导弹在空中飞行时的每一个壮态均可看成一个七维向量 其中m表示导弹的质量 4 例1 线性方程组 的一组解 也可以记为 c1 c2 cn 并且称 是线性方程组 的一个解向量 简称 是线性方程组 的一个解 5 向量运算 1 加法 6 由向量的加法与负向量的定义 还可以定义向量的减法运算 2 数乘 数与向量的乘法 向量的加法与数乘运算统称为向量的线性运算 由定义不难证明向量的线性运算适合下述八条运算性质 7 加法适合的4条运算性质 数乘适合的4条运算性质 8 定理 对数k与向量 则k 0的充分必要条件是k 0或 0 请你自己给出证明 9 1 线性表示 例3 零向量可由任意向量组线性表示 只要取组合系数全部为零即可 二 向量间的线性关系 10 例4 m个方程n个未知量的线性方程组 11 的系数矩阵A的第j列与 的常数项均可由m维的向量来表示 也可取増广矩阵的第j列 提示 方程个数 向量维数 未知量个数 A中列向量的向量个数 12 称 为线性方程组 的向量表示 因此我们有 定理 书上P70 P57 向量 可以用向量组 1 2 n线性表示的充分必要条件是线性方程组 有解 解向量的分量即为线性表示的组合系数 13 例6 设向量组 向量相等即向量的对应分量相等 14 理由同前 这是一个矛盾方程组 无解 向量 可以由 1 2 3 线性表示 而不能由 1 2线性表示 这与向量组 1 2和向量组 1 2 3本身的属性有关 15 因此 我们引入下面的概念 第二个线性关系 2 向量组的线性相关 无关 定义 设向量组 线性无关 本定义要求知道向量的分量 16 由于齐次线性方程组要么只有零解 要么必有非零解 两者必有一个成立 所以 一个向量组要么线性无关 要么线性相关 两者必有一个成立 向量组线性无关 线性相关的几何意义见书上P73 P59 请自看 例1 判断向量组 1 1 0 1 2 2 1 1 2 4 3 2 3 5 10 是否线性相关 解 设有数k1 k2 k3使得k1 1 k2 2 k3 3 0 代入向量的分量可得关于未知量k1 k2 k3的齐次线性方程组 17 对齐次线性方程组 应用矩阵消元法 非零行数r 2 未知量个数 3 18 由阶梯形矩阵 可知齐次线性方程组 有非零解 即向量组线性相关 解 设k1 1 k2 2 kn n 0 即 1 2 n 所以ki 0 i 1 2 n 即 1 2 n线性无关 由向量组线性相关 无关 的定义 不难得到 定理 n s s 0的整数 个n维向量必线性相关 19 证明 这是因为相应的齐次线性方程组中方程个数 未知量个数 固齐次线性方程组必有非零解 从而向量组必线性相关 方程个数 向量维数 未知量个数 向量个数 线性相关的充分必要条件是 20 线性无关的条件是 证明 因为相应的齐次线性方程组中 方程个数 未知量个数 n 此时 齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式D 0 从而向量组线性相关的充分必要条件是行列式D 0 使用本定理时要注意定理的前提 向量的个数 向量的维数 本定理的条件也可改为DT 0 21 回忆向量组线性相关的定义 向量组是否线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组是否有非零解 也就是说是否有不全为零的数k1 k1 ks使得向量等式k1 1 k2 2 ks s 0成立 因此我们可以给出下面的向量组线性相关的定义 抽象定义 22 定义隐含了只要向量组 1 2 s线性相关 就一定存在不全为的数k1 k2 ks使得向量等式k1 1 k2 2 ks s 0成立 或者 由出发 能推导出不全为零 则有向量组线性相关 请问 向量组线性无关的抽象定义如何叙述 例3 已知向量组线性无关 证明向量组线性无关 证明 设 23 求解齐次线性方程组 得 只有零解 即所以向量组 24 求解齐次线性方程组 得 有非零解 即存在不全为零的数 1 2 3 4使 式成立 25 所以向量组线性相关 思考题 已知向量组线性无关 1 n为偶数时 判断向量组 是否线性相关 2 向量组线性无关 相关 的充分必要条件是 例5 含有零向量的向量组线性相关 26 例6 单个非零的n维向量线性无关 例7 如果一个向量组的部分向量线性相关 则这个向量组也线性相关 27 由本例还可以得到 如果一个向量组线性无关 则它的任何一个部分组也线性无关 28 想一想 这是为什么 你能否自己给出证明 在证明向量组线性相关 无关 时 反证法也是常用方法之一 定理 向量组 s 2 线性相关的充分必要条件是其中至少有一个向量可以由其余s 1个向量线性表示 证明 必要性 29 即可由其余的向量线性表示 充分性 30 且有 成立 所以向量组线性相关 推论 向量组 s 2 线性无关的充分必要条件是其中任意一个向量均不能由其余s 1个向量线性表示 定理与推论给出了线性相关 无关 和线性表示之间的关系 线性无关的向量组中的向量之间是 相互独立 的 而线性相关的向量组中的向量之间是 相互不独立 的 即是 有关系 的 31 32 33 小结 主要掌握以下两点 正确理解并掌握n维向量线性表示 线性相关与线性无关的定义 两个 定理 并能灵活应用以及判断向量组的线性表示 线性相关与线性无关 这是本节的重点 以及线性相关与线性表示间的关系 2 希望理解并掌握本节书上与课上讲的所有例子 特别是关于证明向量组线性相关与线性无关的例子及书上的习题 本课程的总成绩 作业 15 期中 30 期末 55 本课程的答疑时间与地点 地点 理科1号楼1422室 时间 周二12 30 14 30 周五12 30 14 30 34 1 一个例子 给定线性方程组 将每一个方程的系数 含常数项 看成一个向量 则可得3个5维向量 设为 课外阅读 易知 3 1 2即向量组 1 2 3线性相关 35 对线性方程组 来说 第3个方程可以由第1个方程加2倍的第2个方程得到 即 第3个方程是多余的方程 上例说明可以从线性方程组中有没有多余的方程来理解向量组是线性相关还是线性无关的 若向量组线性无关 则线性方程组 中没有多余的方程 即 中的方程是互相独立的 2 你能否下面结论的证明 36 本结论可作为定理用 本定理是书上P80 P65命题1与推论2的另一种叙述 3 关于向量组的线性相关与无关可以从以下几个方面刻画 书上P75 76 P61 62 1 线性组合向量组 1 2 s线性相关 它们有组合系数不全为零的线性组合是零向量 向量组 1 2 s线性无关 它们只有组合系数全为零的线性组合是零向量 37 2 线性表示向量组 1 2 s线性相关 其中至少有一个向量可由其余向量线性表示 向量组 1 2 s线性无关 其中每一个向量都不能由其余向量线性表示 3 齐次线性方程组 知道向量的分量 向量组 1 2 s线性相关 齐次线性方程组k1