分式的知识点及重点题型汇编

分式的知识点及重点题型汇编分式的知识点及重点题型汇编 1 1 分式的定义 分式的定义 例 下列式子中 8a2 2b 2 yx 15 23 9a yx ba 2 5 4 3 22 ba a 2 m 1 中分式的个数为 6 5xy x 1 2 1 2 1 2 x xy3 yx 3 m a 1 A 2 B 3 C 4 D 5 2 2 分式有 无意义 总有意义 分式有 无意义 总有意义 例 1 当 x 时 分式有意义 5 1 x 例 2 分式中 当时 分式没有意义 x x 2 12 x 例 3 满足关系 时 分式无意义 xy xy xy 例 4 无论 x 取什么数时 总是有意义的分式是 A B C D 1 2 2 x x 12 x x 1 3 3 x x 2 5 x x 例 5 使分式 2 x x 有意义的 x 的取值范围为 A 2 x B 2 x C 2 x D 2 x 例 6 要是分式没有意义 则 x 的值为 3 1 2 xx x A 2 B 1 或 3 C 1 D 3 3 3 分式的值为零 分式的值为零 大于零 小于零 大于零 小于零 例 1 当 x 时 分式的值大于 0 1 21 a a 例 2 当 x 时 分式的值为 0 1 1 2 x x 例 3 如果分式的值为为零 则 a 的值为 2 2 a a A B 2 C D 以上全不对2 2 例 4 能使分式的值为零的所有的值是 1 2 2 x xx x A B C 或 D或0 x1 x0 x1 x0 x1 x 例 5 要使分式的值为 0 则 x 的值为 65 9 2 2 xx x A 3 或 3 B 3 C 3 D 2 例 6 若 则a是 01 a a A 正数 B 负数 C 零 D 任意有理数 4 4 分式的值为分式的值为 1 1 为整数 为整数 例 1 当 a 时 分式的值大于 0 例 2 当 a 时 分式 a 3 的值大于 0 2 3 a 例 3 当 a 时 分式的值大于 0 例 2 当 x 时 分式 2 13 a a 的值等于 1 x x 2 12 5 5 分式的基本性质的应用 分式的基本性质的应用 分式的基本性质 分式的分子与分母同乘或除以一个不等于 0 的整式 分式的 值不变 例 1 如果成立 则a的 abya xy zyzy zyx 2 3 6 7 5 13 7 13 5 a a 取值范围是 例 2 1 33 2 ba ab cb a cb 例 3 如果把分式中的 a 和 b 都扩大 10 倍 那么分式的值 ba ba 2 A 扩大 10 倍 B 缩小 10 倍 C 是原来的 20 倍 D 不变 例 4 若把分式的 x y 同时缩小 12 倍 则分式的值 x yx 2 3 A 扩大 12 倍B 缩小 12 倍C 不变D 缩小 6 倍 例 5 若 x y 的值均扩大为原来的 2 倍 则下列分式的值保持不变的是 A B C D y x 2 3 2 2 3 y x y x 2 3 2 2 3 2 3 y x 例 6 根据分式的基本性质 分式可变形为 ba a A B C D ba a ba a ba a ba a 例 7 不改变分式的值 使分式的分子 分母中各项系数都为整数 05 0 012 0 2 0 x x 例 8 不改变分式的值 使分子 分母最高次项的系数为正数 2 1 1 xx x 6 6 分式的约分及最简分式 分式的约分及最简分式 约分的概念 把一个分式的分子与分母的公因式约去 叫做分式的约分 分式约分的依据 分式的基本性质 分式约分的方法 把分式的分子与分母分解因式 然后约去分子与分母的公 因式 约分的结果 最简分式 分子与分母没有公因式的分式 叫做最简分式 约分主要分为两类 第一类 分子分母是单项式的 主要分数字 同字母进行 约分 第二类 分子分母是多项式的 把分子分母能因式分解的都要进行因式分解 再去找共同的因式约去 例 1 下列式子 1 2 3 yxyx yx 1 22 ca ba ac ab 4 中正确的是 A 1 个 B 2 1 ba ab yx yx yx yx 个 C 3 个 D 4 个 例 2 约分 2 2 6 4 xy yx 9 3 2 x x xyxy 1 3 2 yx yx yx 53 6 0 3 1 5 1 例 3 约分 2 2 4 44 a aa yx xy 2 16 4 bab baa 2 yx yx 22 yx ayax 168 16 2 2 xx x 62 9 2 x x 23 3 14 21 a bc a bc 96 9 2 2 xx x 例 4 分式 中 最简分式有 3a 2a 2 22 ba ba ba 12 a4 2x 1 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 7 7 分式的乘 除 乘方 分式的乘 除 乘方 分式的乘法 乘法法测 b a d c bd ac 分式的除法 除法法则 b a d c b a c d bc ad 分式的乘方 求 n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方 用式子表示就是 b a n 分式的乘方 是把分子 分母各自乘方 用式子表示为 b a n n n b a n 为正整 数 计算 1 2 3 7 4 6 2 39 25 15 26 y x x x 13 4 10 43 100 56 125 16 a x a yx a aa 1 计算 4 5 2 422 2 aab aba aba ba 4 25 5 2 2 2 x x x x 6 2 1 44 1 2 2 a a aa a 计算 7 8 3 22 3 4 6 y x yx a b ab 2 3 6 2 9 2 xy xyx xy 计算 10 11 22 2 21 10 6 5 3 2 x y x y y x 2 22 13 1 69 xx x xxxx 12 2 2 12 1 441 aa a aaa 计算 13 1 1 12 4 2 1 22 2 aaa a a a 14 6 3 3 44 62 22 aa a a aa a 求值题 1 已知 求的值 4 3 y x xyx yxy yxyx yx 2 2 22 22 2 2 已知 求的值 xyyx39 22 22 yx yx CB CA B A CB CA B A 0 C 输输入入 n 计计算算n n 1 n 50 Yes No 输输出出结结果果 m 3 已知 求的值 3 11 yxyxyx yxyx 2 232 例题 计算 1 2 3 2 3 2 3 y x 5 2 b a 3 2 3 2 3 x y 计算 4 5 3 2 2 2 a b 4 3 2 2 ab a b b a 6 22 2 2 1 1 11 a a a a a aa 求值题 1 已知 求的值 432 zyx 222 zyx xzyzxy 2 已知 求的值 032510 2 yxx yxy xx 22 2 例题 计算的结果是 yx x x yx yx 2 2 2 A B C D yx x 2 2 yx 2 y 1 y 1 1 例题 化简的结果是 xy x x 1 A 1 B xy C D x y y x 计算 1 2 42 2 44 82 2 3 x x xx xx 1 22 1 12 2 2 x x x xx 3 a2 1 2 22 21 a aa 1 22 a a 8 8 分式的通分及最简公分母 分式的通分及最简公分母 通分 主要分为两类 第一类 分母是单项式 第二类 分母是多项式 要先 把分母因式分解 分为三种类型 二 三 型 二 四 型 四 六 型等三种类型 二 三 型 指几个分母之间没有关系 最简公分母就是它们的乘积 例如 最简公分母就是 22 2 x x x 22 xx 二 四 型 指其一个分母完全包括另一个分母 最简公分母就是其一的那 个分母 例如 最简公分母就是 42 2 2 x x x 224 2 xxx 四 六 型 指几个分母之间有相同的因式 同时也有独特的因式 最简公 分母要有独特的 相同的都要有 例如 最简公分母是 2 2 22 xxx x 22 xx 例 1 分式 a 与的最简公分母为 1 b 例 2 分式的最简公分母为 xyxyx 222 1 1 9 9 分式的加减 分式的加减 分式加减主体分为 同分母和异分母分式加减 1 同分母分式不用通分 分母不变 分子相加减 2 异分母分式要先通分 在变成同分母分式就可以了 通分方法 先观察分母是单项式还是多项式 如果是单项式那就继续考虑是什 么类型 找出最简公分母 进行通分 如果是多项式 那么先把分母能分解的 要因式分解 考虑什么类型 继续通分 分类 第一类 是分式之间的加减 第二类 是整式与分式的加减 计算 1 41 33 m mm 2 3 ab b ba a 2 2 2 2 ab b ba a 4 2 2 53a b ab 2 2 35a b ab 2 2 8a b ab 练习题 1 2 22 ab ab ba b x x xx 2 1 4 4 2 1 2 3 2 12 9a 2 3a 4 ba b a b2 5 2 xy xyyx 6 已知 求的值 034 2 xx 44 21 2 2 xx x x x 1010 分式的混合运算 分式的混合运算 例 1 例 2 44 2 16 4 2 x x xx34 12 1 3 1 1 2 2 2 xx xx x x x 例 3 例 4 2 2 2 2 2 2 2 x xx x x x x 13 4 2 x x x 例 5 例 6 11 1 1 x x x 22 22 442 1 yxyx yx yx yx 例 7 例 8 22 112 2 y xyxyxxyy xxx x xx x1 12 1 22 例 9 x x xx x xx x4 44 1 2 2 22 1111 分式求值问题 分式求值问题 例 1 已知x为整数 且 2 3x 2 3x 2 218 9 x x 为整数 求所有符合条件的x 值的和 例 2 已知x 2 y 1 2 求 22 2424 xyxy 11 xyxy 的值 例 3 已知实数 x 满足 4x2 4x l O 则代数式 2x x2 1 的值为 例 4 已知实数a满足a2 2a 8 0 求 34 12 1 3 1 1 2 2 2 aa aa a a a 的值 例 5 若 1 3x x 求 1 24 2 xx x 的值是 A 8 1 B 10 1 C 2 1 D 4 1 例 6 已知 11 3 xy 求代数式 2142 2 xxyy xxyy 的值 例 7 先化简 再对a取一个合适的数 代入求值 2 2 1369 324 aaaa aaa 练习题 1 其中 x 5 2 其中 a 5 168 4 2 2 xx xx 16 168 2 2 a aa 3 其中 a 3 b 2 22 2 2baba aba 4 其中 a 85 2 1 44 1 2 2 a a aa a 5 其中 x 1 x x xx x xx x4 44 1 2 2 22 6 先化简 再求值 3 24 x x x 2 5 2x 其中x 2 7 3 3 2 1 2 22 2 22 2 ba ba a ba a baba a ba a 其中 1212 分式其他类型试题 分式其他类型试题 例 1 观察下面一列有规律的数 根 3 2 8 3 15 4 24 5 35 6 48 7 据其规律可知第 个数应是 n为正整数 例 2 观察下面一列分式 根据你的发现 它的第 2345 124816 x xxxx 8 项是 第 n 项是 例 3 按图示的程序计算 若开始输入的 n 值为 4 则最后输出的结果 m 是 A 10 B 20 C 55 D 50 例 4 当 x 时 分式与互为相反数 x 5 1 x32 10 例 5 在正数范围内定义一种运算 其规则为 根据这个规则ab ba 11 的解为 x 2 3 1 x A B C 或 1D 或 3 2 x1 x 3 2 x 3 2 x1 例 6 已知 则 4 4 4 22 x CBx x A xx CBA 例7 已知 37 1 2 12 yAB yyyy 则 10 13AB B 10 13AB C 10 13AB D 10 13AB 例 8 已知 求的值 yx32 22 2 22 yx y yx xy 例 9 设 则的值是 mnnm nm 11 A B 0 C 1 D mn 1 1 例 10 先填空后计算 1 11 nn2 1 1 1 nn3 1 2 1 nn 3 分 本小题 4 分 计算 2008 2007 1 3 2 1 2 1 1 1 1 nnnnnnnn 解 2008 2007 1 3 2 1 2 1 1 1 1 nnnnnnnn 1313 化为一元一次的分式方程 化为一元一次的分式方程 1 分式方程 含分式 并且分母中含未知数的方程 分式方程 2 解分式方程的过程 实质上是将方程两边同乘以一个整式 最简公分母 把分式方程转化为整式方程 解分式方程时 方程两边同乘以最简公分母时 最简公分母有可能为 这样就产生了增根 因此分式方程一定要验根 3 解分式方程的步骤 1 能化简的先化简 2 方程两边同乘以 最简公分母 化为整式方程 3 解整式方程 4 验根 例 1 如果分式的值为 1 则 x 的值是 12 1 x x 例 2 要使的值相等 则x 2 4 1 5 xx 与 例 3 当 m 时 方程 2 的根为 21mx mx 1 2 例 4 如果方程 的解是 x 5 则 a 3 1 2 xa 例 5 1 2 1 32 xx 1 3 1 3 2 xx x 例 6 解方程 2 2 4 16 2 2 2 x x xx x 例 7 已知 关于 x 的方程无解 求 a 的值 x x x a 3 4 3 1 例 8 已知关于 x 的方程的根是正数 求 a 的取值范围 1 2 x ax 例 9 若分式与的 2 倍互为相反数 则所列方程为 2 1 x3 2 x x 例 10 当 m 为何值时间 关于的方程的解为负数 x 2 1 12 2 x x x x xx m 例 11 解关于的方程x 0 2 a a bx a xb 例 12 解关于 x 的方程 0 211 22 a ba a ba x ba x 例 13 当 a 为何值时 的解是负数 1 2 2 1 2 2 1 xx ax x x x x 例 14 先化简 再求值 其中 x y 满足方程组2 22 22 2 yx x yx yx yx x 2 32 yx yx 例 15 知关于 x 的方程的解为负值 求 m 的取值 1 2 12 1 xx m x x x x 范围 练习题 1 2 3 16 4 4 1 2 xx 0 1 2 1 3 xx x x 4 5 XXX 1 5 1 3 1 1 2 6 2 5 x x x x 2 1 63 52 42 45 x x x x 6 7 8 1 1 1 1 2 xxx x x 2 1 3 2 1 2 1212 339xxx 9 3 1 1 22 3 xx 1414 分式方程的增根与无解的问题 分式方程的增根与无解的问题 例 1 分式方程 1 有增根 则 m 3 x x 3 x m 例 2 当 k 的值等于 时 关于 x 的方程不会产生增 3 4 2 3 x x x k 根 例 3 若解关于 x 的分式方程2 3 42 2 2 xx mx x会产生增根 求 m 的值 例 4 取 时 方程会产生增根 m 3 2 3 x m x x 例 5 若关于 x 的分式方程无解 则m的值为 3 2 3 2 x m x x 例 6 当 k 取什么值时 分式方程有增根 0 111 xkx xxx 例 7 若方程有增根 则 m 的值是 44 1 x m x x A 4 B 3 C 3 D 1 例 8 若方程有增根 则增根可能为 34 2 2 a xxx x A 0 B 2 C 0 或 2 D 1 1515 分式的求值问题 分式的求值问题 例 1 已知 分式的值为 3 1 b a ba ba 52 例 2 若 ab 1 则的值为 1 1 1 1 ba 例 3 已知 那么 1 3a a 2 2 1 a a 例 4 已知 则的值为 3 11 yxyxyx yxyx 55 A B C D 2 7 2 7 7 2 7 2 例 5 已知 求的值 yx32 22 2 22 yx y yx xy 例 6 如果 2 则 b a 22 22 ba baba 例 7 已知与的和等于 则 a b 2 x a 2 x b 4 4 2 x x 例 8 若 则分式 0 yxxy xy 11 A B C 1 D 1 xy 1 xy 例 9 有一道题 先化简 再求值 其中 22 241 244 xx xxx 3x 小玲做题时把 错抄成了 但她的计算结果也是正确3x 3x 的 请你解释这是怎么回事 例 10 有这样一道数学题 己知 a 2005 求代数式 a 1 的值 a 1 1 1 2 a a 王东在计算时错把 a 2005 抄成了 a 2050 但他的计算结果仍然正确 请 你说说这是怎么回事 例 11 有这样一道题 计算 的值 其中 2 22 211 1 xxx x xxx 2007x 某同学把错抄成 但它的结果与正确答案相同 你说这2007x 2008x 是怎么回事 例题 已知 求的值 3 1 x x 1 24 2 xx x 1616 分式的应用题 分式的应用题 工程问题 例 1 一项工程 甲需x小时完成 乙需y小时完成 则两人一起完成这项工 程需要 小时 例 2 小明和小张两人练习电脑打字 小明每分钟比小张少打 6 个字 小明打 120 个字所用的时间和小张打 180 个字所用的时间相等 设小明打字速度为 x 个 分钟 则列方程正确的是 A B C D xx 180 6 120 xx 180 6 120 6 180120 xx 6 180120 xx 例 3 某工程需要在规定日期内完成 如果甲工程队独做 恰好如期完成 如果 乙工作队独做 则超过规定日 期 3 天 现在甲 乙两队合作 2 天 剩下的由乙队独做 恰好在规定日期完成 求 规定日期 如果设规定日期 为 x 天 下面所列方程中错误的是 A B C D 2 1 3 x xx 23 3xx 112 21 33 x xxx 1 1 3 x xx 例 4 一件工程甲单独做小时完成 乙单独做小时完成 甲 乙二人合作ab 完成此项工作需要的小时数 是 A B C D ba ba 11 ba 1 ba ab 例 5 赵强同学借了一本书 共 280 页 要在两周借期内读完 当他读了一半 时 发现平时每天要多读 21 页才能在借期内读完 他读了前一半时 平均每天读 多少页 如果设读前一半时 平均每天读 x 页 则下列方程中 正确的是 A B B 14 21 140140 xx 14 21 280280 xx 1 21 1010 xx D 14 21 140140 xx 例 6 某煤厂原计划天生产 120 吨煤 由于采用新的技术 每天增加生产 3x 吨 因此提前 2 天完成任务 列出方程为 A B C D 3 120 2 120 xx 3 2 120120 xx 3 120 2 120 xx 3 2 120120 xx 例 7 某工地调来 72 人参加挖土和运土工作 已知 3 人挖出的土 1 人恰好能全 部运走 问怎样调配劳动力才使挖出来的土能及时运走且不窝工 要解决此问 题 可设派人挖土 列方程x 721 3 x x 72 3 x x 372xx 3 72 x x 例 8 八 1 八 2 两班同学参加绿化祖国植树活动 已知八 1 班每小 时比八 2 班多种 2 棵树 八 1 班种 66 棵树所用时间与八 2 班种 60 棵 树所用时间相同 求 八 1 八 2 两班每小时各种几棵树 例 9 某一一项工程预计在规定的日期内完成 如果甲独做刚好能完成 如果 乙独做就要超过日期 3 天 现在甲 乙两人合做 2 天 剩下的工程由乙独做 刚刚好在规定的日期完成 问规定日期是几天 例 10 服装厂接到加工 720 件衣服的订单 预计每天做 48 件 正好可以按时 完成 后因客户要求提前 5 天交货 则每天应比原计划多做多少件 例 11 为加快西部大开发的步伐 决定新修一条公路 甲 乙两工程队承包此 项工程 如果甲工程队单独施工 则刚好可以按期完成 如果乙工程队单独施 工就要超过 6 个月才能完成 现在甲 乙两队先共同施工 4 个月 剩下的由乙 队单独施工 则也刚好可以按期完成 问师宗县原来规定修好这条公路需多长 时间 例 12 某工程由甲 乙两队合做 6 天完成 厂家需付甲 乙两队共 4350 元 乙 丙两队合做 10 天完成 厂家需付乙 丙两队共 4750 元 甲 丙两队合做 5 天完成全部工程的 厂家需付甲 丙两队共 2750 元 3 2 1 求甲 乙 丙各队单独完成全部工程各需多少天 2 若工期要求不超过 20 天完成全部工程 问可由哪队单独完成此项工程花 钱最少 请说明理由 价格价钱问题 例 1 五一 江北水城文化旅游节期间 几名同学包租一辆面包车前去旅游 面包车的租价为 180 元 出发时又增加了两名同学 结果每个同学比原来少摊 了 3 元钱车费 设参加游览的同学共 x 人 则所列方程为 A B C D 3 2 180180 xx 3 180 2 180 xx 3 2 180180 xx 3 180 2 180 xx 例 2 用价值 100 元的甲种涂料与价值 240 元的乙种涂料配制成一种新涂料 其每千克售价比甲种涂料每千克售价少 3 元 比乙种涂料每千克的售价多 1 元 求这种新涂料每千克的售价是多少元 若设这种新涂料每千克的售价为 x 元 则根据题意可列方程为 例 3 某工程队要招聘甲 乙两种工种的工人 150 人 甲 乙两种工种的工人 的月工资分别为 600 元和 1000 元 现要求乙种工种的人数不少于甲种工种人数 的 2 倍 问甲 乙同种工种各招聘多少人时 可使得每月所付的工资最少 例 4 为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园 某学校号召同学们自愿捐款 已 知第一次捐款总额为 4800 元 第二次捐款总额为 5000 元 第二次捐款人数比第 一次捐款人数多 20 人 而且两次人均捐款额恰好相等 那么这两次各有多少人 进行捐款 例 5 随着 IT 技术的普及 越来越多的学校开设了微机课 某初中计划拿出 72 万元购买电脑 由于团体购买 结果每台电脑的价格比计划降低了 500 元 因 此实际支出了 64 万元 学校共买了多少台电脑 若每台电脑每天最多可使用 4 节课 这些电脑每天最多可供多少学生上微机课 该校上微机课时规定为单人 单机 例 6 光明中学两名教师带领若干名三好学生去参加夏令营活动 联系了甲 乙两家旅游公司 甲公司提供的优惠条件是 1 名教师收行业统一规定的全票 其余的人按折收费 乙公司则是 所有人全部按 8 折收费 经核算甲公司7 5 的优惠价比乙公司的优惠价便宜 那么参加活动的学生人数是多少人 1 32 例 7 北京奥运 祥云 火炬 2008 年 5 月 7 日在羊城传递 熊熊燃烧的奥运圣 火将在羊城传递和平 友谊 进步的 和平之旅 广州市民万众喜迎奥运 某商厦用 8 万元购进奥运纪念运 动休闲衫 面市后供不应求 商厦又用 17 6 万元购进了第二批这种衬衫 所购数量是第一批购进数量的 2 倍 但单价贵了 4 元 商厦销 售这种运动休闲衫时每件定价都是 58 元 最后剩下的 150 件按八折销售 很快 售完 请问在这两笔生意 中 商厦共赢利多少元 顺水逆水问题 例 1 A B 两地相距 48 千米 一艘轮船从 A 地顺流航行至 B 地 又立即从 B 地 逆流返回 A 地 共用去 9 小时 已知水流速度为 4 千米 时 若设该轮船在静水中的速度为x千米 时 则可列方程 A B C D 9 4 48 4 48 xx 9 4 48 4 48 xx 94 48 x 9 4 96 4 96 xx 例 2 一只船顺流航行 90km 与逆流航行 60km 所用的时间相等 若水流速度是 2km h 求船在静水中的速度 设船在静水中速度为 xkm h 则可列方程 A 2 90 x 2 60 x B 2 90 x 2 60 x C x 90 3 x 60 D x 60 3 x 90 例 3 轮船顺流航行 66 千米所需时间和逆流航行 48 千米所需时间相同 已知 水流速度是每小时 3 千米 求轮船在静水中的速度 行程问题 例 1 在一段坡路 小明骑自行车上坡的速度为每小时V1千米 下坡时的速度 为每小时V2千米 则他在这 段路上 下坡的平均速度是每小