利用高斯--波涅公式所能解决的问题

1 高高斯斯 波波涅涅公公式式的的应应用用 邢家省 王拥军 北京航空航天大学数学与系统科学学院 数学 信息与行为教育部重点实验室 北京 摘 要 考虑曲面上高斯 波涅公式的应用 问题 对有关结果给予直接的证明 并列举了一些实例 关键词 高斯 波涅公式 高斯曲率 测地曲率 中图分类号 O186 11 文献标识码 A The Application of the Gauss Bonnet Formula Xing Jiasheng Wang Yongjun Department of Mathematics LMIB of the Ministry of Education Beihang University Beijing China Abstract Using the Gauss Bonnet theorem we give a direct proof of some relevant results and listed some examples Keywords Gauss Bonnet formula Gauss curvature geodesic curvature 高斯 波涅公式是微分几何中的重要定理 它描述了 曲面上多边形的 内角 1 4 和与曲面的高斯曲率及边界曲线上的测地曲率之 间的关系 对该定理的证明和推广引起 了人们持续不断的兴趣 定理 结果的应用也被人们发掘出来 我们对常见的能解 1 4 决的问题结果给出整理 给予 直接的证明 列举了一些实例 丰富 高斯 波涅公式的 应用 微分几何中其它相关问题的研究可见文献 5 12 收稿日期 基金项目 国家自然科学基金资助项目 北京航空航天大学教改项目基金资助 2 作者简介 邢家省 1964 男 河南泌阳人 博士 副教授 研究方向 偏微分方程 微分几何 1 光滑边界单连通区域上的Gauss Bonnet公式的应用 设曲面 是类正则曲面 曲面上的高斯曲率为 曲面上 S rr u v 3 CSK 的曲线的测地曲率为 曲面上的面积微元为 曲线的弧长微分为 区域 g kdAds 的边界记为 DD 定理1 Gauss Bonnet 公式 设区域是曲面上的一个单连通区域 如果 1 4 DS 是一条光滑曲线 D 则有 1 2 g DD KdAk ds 推论1 设区域是曲面上的一个单连通区域 如果是一条光滑曲 1 4 DSD 线 并且是曲面上的测地线 即曲线上的测地曲率 D D 0 g k 则有 2 D KdA 推论2 设曲面是一个单连通的封闭曲面 则有 1 4 S 4 S KdA 证明 用一条光滑的封闭曲线把曲面分成两个部分和 CS 1 S 2 S 利用定理1 有 11 2 g SS KdAk ds 22 2 g SS KdAk ds 由于和的定向相反 1 S 2 S 12 gSgS kk 把上两式相加后 得到 4 S KdA 例1 设是半径为的球面 此时有 1 4 SR 2 1 K R 3 自然成立 4 S KdA 例2 设是椭球面 曲面上的高斯曲率为 求 S 222 222 1 xyz abc K S KdA 解 由于椭球面是一个封闭地曲面 利用推论2 则有 S4 S KdA 推论3 在高斯曲率非正的单连通曲面上 不存在光滑的闭测地线 1 4 证明 设曲面 是一高斯曲率非正的单连通曲面 若其上存在一条光滑的闭测地线S 则的测地曲率 设在曲面所围的区域为 CC0 g k CSD 由Gauss Bonnet 公式 1 知 这与 上的高斯曲率 矛盾 2 D KdA S 0K 注 推论3 中必须要求所围成的区域是单连通的 否则命题不成立 例如在旋转单C 叶双曲面上 它的高斯曲率 存在着一条光滑闭测地线 即曲面上的最小纬圆 0K 2分段光滑边界单连通区域上的Gauss Bonnet公式的应用 定理2 Gauss Bonnet公式 设是有向曲面上的一条由 段光滑的曲线 1 4 CSn 组成的简单封闭曲线 它由段光滑曲线 所组成 而这些光滑曲线段在交接处 n 1 n CC 的外角为 曲线所包围的区域是曲面上的一个单连通区域 1 i in CDS 那么成立 11 2 i nn gi DC ii KdAk ds 2 1 2 n gi DD i KdAk ds 若用表示这些光滑曲线段在交接处的内角 则有 1 i in 3 1 2 n gi DD i KdAk ds 推论4 如果曲线 中每段光滑曲线 是测地线 则在由测地线段所围成 1 4 C i C 的单连通测地边形区域中 成立如下公式 n D 4 4 1 2 n i D i KdA 若用表示测地边形的外角 所对应的内角 则有 i n i 5 1 2 n i D i nKdA 例3 当曲面是平面时 因为 于是 5 式即平面几何中多边形内角之和的公S0K 式 如当 时就得到 三角形三内角之和等于 3n 推论5 如果是曲面上的一个测地三角形 即三条测地线所围成的三角 1 4 D S 形 则有 6 3 1 i D i KdA 例4 若曲面上的高斯曲率是常数 则曲面上的一个测地三角形三内 1 4 SKS 角之和为 123 KdAKA 其中A是这个测地三角形的面积 进而 当是正常曲率曲面 如球面 时 所在正常曲率曲面上的测地三角形三S0K 内角之和大于 而当 是负常曲率曲面 如伪球面 时 所以在负常曲率曲面 S0K 上的测地三角形三内角之和小于 例5 在单位球面上若两条大圆相交于南北极且相交处的内角为 试求其所围 1 4 区域的面积 解 由 利用 5 式 得1K 2 22 D KdAD 于是所围面积为 2 推论6 设是曲面上的一个四边形区域 其内角为 边界 1 4 DS 1 2 3 4 i i 5 由光滑四边构成 D 1 2 3 4 i C i 则有 44 11 2 i gi DC ii KdAk ds 定理3 设有定了向的封闭曲面 且 能被剖分成几个四边形 而且各顶点 1 4 SS 正好聚集四个四边形 则成立 0 S KdA 证明 设曲面被剖分成个四边形 曲面四边形的边界由四边Sn 1 2 i D in i D 组成 内角为 利用推论6 可得 1 2 3 4 ij Cj 1 2 3 4 ij j 44 11 2 iij gij DC jj KdAk ds 1 2 in 由条件可知 4 11 0 ij n g C ij k ds 4 11 2 n ij ij n 于是有 即成立 1 0 i n D i KdA 0 S KdA 例 6 设环面 sin cos sin sin cos rbabaa 其中是正常数 参数 ab 0 2 直接计算知 2 sin rrEGFa ba 2 2 sin sin LNM K EGFa ba 2 22 sin 2 2 sin LGMFNEba H EGFa ba 对环面具有定理上的条件 利用定理 3 可得到 0KdA 直接验证 2222 2 0000 sin0KdAKEGF d dd d 例 7 证明 在高斯曲率非正的单连通曲面上 不能有两条测地线交于两点 1 4 证明 设曲面 是一高斯曲率非正的单连通曲面 S 若其上存在两条测地线交于两点 设内角为 所围区域为 12 D 6 利用公式 当时 1 2 n i D i nKdA 2n 则有 12 0 D KdA 若 这与过一点及一个方向的测地线的唯一性矛盾 12 0 0 或 这与上的高斯曲率 矛盾 S0K 注 在曲面的高斯曲率为正的单连通曲面 可以存在两条测地线交于两点 例如 球面S 上的任两个大圆 都是测地线 相交于两点 例8 设曲面上的高斯曲率是正函数 且单连通的封闭曲面 证明曲面上的任何 4 SSS 两个闭测地线至少有一个交点 证明 用反证法 假若曲面上的存在两条不相交的封闭测地线和 S 1 C 2 C 设和所围曲面上的区域为 用一条曲线段将曲线和连接起来 1 C 2 CD 3 C 1 C 2 C 可看成一个四边形 其中被正向 方向各利用一次 利用推论6的结果 可得 3 C 4 1 2220 i D i KdA 而这与高斯曲率矛盾 所以原结论成立 0K 例9 利用高斯 波涅公式证明 若曲面上存在两族夹角为定角的测地线 则它 1 3 S 的高斯曲率处处为零 从而曲面为可展曲面 证明 在曲面上任取由两组测地线所围的曲边四边形 由条件知 此种四边形的内D 角和为利用公式 4 1 2 i i 1 2 n i D i nKdA 当时 则得 于是必有 4n 0 D KdA 0K 假若存在某点 有 P 0K P 不妨设 存在的一个邻域 在上 0K P PGG0K 在内取一个四边是测地线弧段四边形 GD 显然 矛盾 0 D KdA 故此曲面上的高斯曲率处处为零 定理4 Jacobi 1842 设 是曲率处处不为零的空间正则闭曲线 其 3 rr s 7 中为弧长参数 如果它的主法线球面标线是单位球面上的一条s 11 rr ss S 简单光滑闭曲线 则这条主法线的球面标线必定平分的面积 S 证明 设 是的弧长参数 是作为上曲线的测地曲率 是1 s 111 C rr s g k CSD 上由围成的区域之一 SC 我们首先证明 1 arctan g dds k dsk ds 由Frenet 公式 得 1 1111 drdddsds k dsdsds dsds 故有 22 1 1ds ds k 因为 在球面 上 故沿 的单位法向量 11 r s SCS 1 nr ss 于是 1111 g kn r srs 2 2 11 dsds s dsds 3 1 ds k sks ds 1 arctan dds dsk ds 因此 11 1 arctan g CC dds k dsds dsk ds 因为是闭曲线 arctan 0 C d ds dsk C 再由Gauss Bonnet 公式得 因为球面 的总曲率 S1K 1 22 g DDC S DdAKdAk ds 即区域D的面积为 又因为的面积为 2 S4 故 平分的面积 CS 参考文献 1 梅向明 黄敬之 微分几何 M 第 4 版 北京 高等教育出版社出版 8 2008 158 171 2 陈维桓 微分几何 M 北京 北京大学出版社 2006 284 293 3 彭家贵 陈卿 微分几何 M 北京 高等教育出版社 2002 129 133 169 179 4 马 力 简明微分几何 M 北京 清华大学出版社 2004 85 90 5 张立新 测地线及其应用 J 鞍山师范学院学报 2 0 0 5 7 4 3 4 6 闫德宝 球面上简单闭曲线的等周不等式 J 云南农业大学学报 2011 26 5 723 724 7 王韶丽 闫淑芳 曲面上几种特殊曲线间的关系分析 J 邢台学院学报 2011 26 4 174 175 8 李金辉 徐爱华 挠率线的几个性质 J 邯郸学