参数函数的单调区间

第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 第 16 炼 含参数函数的单调区间 在高考导数的综合题中 所给函数往往是一个含参数的函数 且导函数含有参数 在 分析函数单调性时面临的分类讨论 本节通过一些例题总结参数讨论的方法与技巧 便于 更加快速准确的分析含参数函数的单调区间 一 基础知识 1 导数解单调区间的步骤 利用导数求函数单调区间的方法 大致步骤可应用到解含参函 数的单调区间 即确定定义域 求出导函数 令解不等式 得到递增区间后取 0fx 定义域的补集 减区间 单调性列出表格 2 求含参函数单调区间的实质 解含参不等式 而定义域对的限制有时会简化含参不x 等式的求解 3 求单调区间首先确定定义域 并根据定义域将导数不等式中恒正恒负的项处理掉 以简 化讨论的不等式 4 关于分类讨论的时机与分界点的确定 1 分类时机 并不是所有含参问题均需要分类讨论 例如解不等式 其解0 xa 集为 中间并没有进行分类讨论 思考 为什么 因为无论参数为何值 均是 a a 将移到不等号右侧出结果 所以不需要分类讨论 再例如解不等式 第一步a 2 0 xa 移项得 同样无论为何值 均是这样变形 但是第二步不等式两边开方时发 2 xa a 现的不同取值会导致不同结果 显然是负数时 不等式恒成立 而是正数时 需要aaa 开方进一步求解集 分类讨论由此开始 体会 什么时候开始分类讨论 简而言之 当参 数的不同取值对下一步的影响不相同时 就是分类讨论开始的时机 所以一道题是否进行 分类讨论不是一开始就决定的 而是在做的过程中遇到不同值导致不同步骤和结果 就自 然的进行分类讨论 2 分界点的确定 分类讨论一定是按参数的符号分类么 不一定 要想找好分界点 首先要明确参数在问题中所扮演的角色要明确参数在问题中所扮演的角色 例如上面的不等式 2 xa 所扮演的角色是被开方数 故能否开方是进行下一步的关键 那自然想到按的符号进aa 行分类讨论 3 当参数取值为一个特定值时 可将其代入条件进行求解 4 当参数扮演多个角色时 则以其中一个为目标进行分类 在每一大类下再考虑其他a 角色的情况以及是否要进行进一步的分类 第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 例如 解不等式 可得 此时扮演两个 110axx 12 1 0 1xax a a 角色 一个是的系数 将决定解集是小大根之外还是小大根之间 另一个角色是决定x 的大小 进而要和来角逐大小根 那么在处理时可先以其中一个为主要目标 例如以 1 x 2 x 系数的正负 进行分类 x 当时 此时不等式的解集为小大根之间 而由于 以此为前提0a 0a 故小大根不存在问题 解集为 12 01xx 1 1 a 当时 不等式变为0a 10 1xx 当时 不等式解集为小大根之外 而 的大小由的取值0a 12 1 0 1xx a 12 x xa 决定 所以自然考虑再结合小大根进行进一步讨论了 重视 的对比 时 不等式解集为 12 01xxa 1 1 a 时 不等式化为 12 1xxa 2 101xx 时 不等式解集为 12 1xxa 1 1 a 希望通过此例能够体会分类讨论的时机与分界 若能领悟 其分类讨论不再是一个难点 而是有线索可循了 二 典型例题 例 1 已知函数 求的单调区间 1 ln x f xx ax f x 解 定义域 0 x 1 1 1lnf xx ax 22 111ax fx axxax 令 所解不等式为 0fx 1 0 ax a 当时 即解不等式0a 1 10axx a 的单调区间为 f x 第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 x 1 0 a 1 a fx fx AA 当时 恒成立0a 10 0axa 0fx 为增函数 f x 例 2 已知函数 32 3 31f xaxx a 1 若的图像在处的切线与直线垂直 求实数的值 f x1x 1 1 3 yx a 2 求函数 求函数的单调区间的单调区间 f x 解 1 由切线与垂直可得 1 1 3 yx 13f 2 36fxaxx 13631faa 2 思路 导函数 令解单调增区间 得到含参不等式 2 36fxaxx 0fx 分类讨论时注意扮演两个角色 一个是影响最高次项的符号 一个是影响方程的根a 解 令即 2 36fxaxx 0fx 2 360axx 320 x ax 将的范围分类后 要善于把每一类的范围作为已知条0a 12 2 0 xx a 21 xx a 使用件 在本题中使用的条件使得大小能够确定下来 避免了进一步的分类 0a 12 x x 的单调区间为 f x x 0 2 0 a 2 a fx fx AAA 的单调区间为 0a 21 xx f x 第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 x 2 a 2 0 a 0 fx fx AAA 例 3 已知函数 求的单调区间 2 2lnf xxax f x 解 定义域 0 x 令 可得 2 222 2 ax fxax xx 0fx 2 220ax 即 2 1ax 当时 0a 2 1 0 a xx aa 的单调区间为 f x x0 a a a a fx fx AA 当时 为增函数0a 2lnf xx 当时 恒成立 为增函数0a 2 222 20 ax fxax xx f x 例 4 讨论函数的单调区间 2 1 ln1fxaxax 解 令 2 121 2 aaxa fxax xx 0fx 即 注意定义域为 所以导函数分母恒正 去掉 22 21021axaaxa 0 后简化所解不等式 时 求解需要除以后开方 进而两个地方均需要分类讨论 先从0a 2 1 2 a x a x2a 第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 的符号入手 2a 恒成立 在单调递增 1 00 2 a a a 0fx fx 0 函数 为增函数0a ln1fxx 时 下一步为开方出解集 按的符号进行再分类 0a 2 1 2 a x a 1 2 a a 当即时 恒成立 在单调递减 1 0 2 a a 1a 0fx fx 0 当即时 解得 1 0 2 a a 10a 1 0 2 a x a 的单调区间为 f x x 1 0 2 a a 1 2 a a fx fx AA 小炼有话说 本题定义域为 故对单调区间既有促进作用又有制约作用 促进作 0 用体现在对所解不等式的简化 请大家养成一个良好习惯 当已知变量范围时 一边关注 范围一边解不等式 制约作用体现在单调区间应该是定义域的子集 所以在时 10a 表格中自变量的区间是从处开始分析的0 x 例 5 已知函数 讨论的单调性 2 2lnfxxax x fx 解 定义域为 0 令即 2 22 22 1 axax fx xxx 0fx 2 20 xax 考虑 左边无法直接因式分解 考虑二次函数是否与轴有交点 2 8a x 时 恒成立 故在单调递增02 22 2a 2 20 xax fx 0 时 的解 2 2a 2 20 xax 22 12 88 22 aaaa xx 12 0 x x 第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 的解集为 2 20 xax 22 88 0 22 aaaa 的单调区间为 fx x 2 8 0 2 aa 22 88 22 aaaa 2 8 2 aa fx fx AAA 时 2 2a 12 0 x x 0 x 0fx 在单调递增 fx 0 小炼有话说 本题亮点在于 的讨论 判断极值点是否在定义域中 进而确定单调性 除了解出根来判断符号之外 本题还可以利用韦达定理进行判断 说明两根 12 2xx 同号 而 说明的符号决定的正负 从而在的情况下进行再次分 12 xxa a 12 x x0 类讨论 例 6 已知函数 其中 1 ax a fxea x 1a 1 当时 求曲线在点处的切线方程 1a yfx 1 1f 2 2 求求的的单单调调区区间间 fx 解 1 1 2 x fxe x 2 11 2 x fxe xx 切线方程为 即 13 12fe fe 321yee x 2yexe 2 2 111 0 ax xax fxaex x 令 即解不等式 0fx 1110a xax 当时 解得 故的单调区间为 1a 1x fx x 1 1 0 0 第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 fx fx AAA 当时 所以解得 10a 12 1 1 0 1 xx a 1 1 1 x a 故的单调区间为 fx x 1 1 0 1 0 1a 1 1a fx fx AAAA 则 常值函数不具备单调性0a 1fx 时 解得 或 故的单调区间为 0a 1x 1 1 x a fx x 1 1 0 1 0 1a 1 1a fx fx AAAA 例 7 已知函数 求函数的单调区间 2 1 ln1 2 fxxaxaxaR fx 解 2 11 111 xaxx xaa fxxa xxx 令 即 0fx 10 x xa 参数角色 的大小 是否在定义域内 以 为目标分类 12 0 1xxa a 12 x x 2 x 即 此时一定在定义域中 故不再分类 21 10 xxa 1a 1a 不等式的解集为或 的单调区间为 10 x 1xa fx x 1 0 0 1a 1 a fx 第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 fx 在单调递增 21 1xxa 2 0fxx fx 1 要根据是否在进行进一步分类 21 01xxa 2 x 1 0 当时 不等式的解集为或 10a 2 0 1x 0 x 11xa 的单调区间为 fx 当时 则 不等式的解集为 的单调区间为 0a 10 xa 0 x fx 小炼有话说 1 在求单调区间时面临一个的根是否在定义域中的问题 由此也可体会到定 0fx 义域对单调区间 双刃剑 的作用 一方面缩小自变量的范围从而有利于不等式的化简 另一方面也圈住了单调区间 极值点所在的范围 2 体会参数起到多重作用时 是如何进行分类讨论的 以及在某个大前提下 参数讨论 也可进行些简化 例 8 已知函数 求的单调区间 2 ln2f xxaxax f x 解 定义域 0 x x 2 2212111 22 axaxxax fxaxax xxx 令 即解不等式 0fx 2110 xax x 1 1a 1 0a 0 fx fx x 1 0 0 fx fx 第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 1 当时 可得 则不等式的解为0a 10ax 1 2 x 的单调区间为 f x x 1 0 2 1 2 fx fx AA 2 当时 0a 12 11 2 xx a 时 即 解得或 12 xx 11 2 2 a a 1 2 x 1 0 x a 的单调区间为 f x x 1 0 a 1 1 2a 1 2 fx fx AAA 代入到恒成立 为增函数 12 2xxa 2 21 0 x fx x f x 解得 或 12 20 xxa 1 x a 1 0 2 x 的单调区间为 f x x 1 0 2 11 2a 1 a fx fx AAA 例 9 设函数 求的单调区间 32 1 212 0 3 fxaxaxa x a fx 解 令即 2 412fxaxaxa 0fx 2 4120axaxa 22 16412244461aaaaaaa 第三章 第 16 炼 含参数函数的单调区间 导数 1 则恒成立 在上单调递增 1 00 6 a 0fx fx R 2 或 00a 1 6 a 22 42446 2 2 aaaaa x aa 当时 解得 单调区间为 0a 22 66 22 aaaa x aa fx x 2 6 2 aa a 22 66 2 2 aaaa aa 2 6 2 aa a fx fx AAA 当时 解得 或 1 6 a 2 6 2 aa x a 2 6 2 aa x a 单调区间为 fx x 2 6 2 aa a 22 66 2 2 aaaa aa 2 6 2 aa a fx fx AAA 例 10 已知函数