《复变函数与积分变换》期末考试试卷A及答案

共 6 页第 页1 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 期末试题 期末试题 A 答案及评分标准 答案及评分标准 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 期末试题 期末试题 A 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 3 分 共计分 共计 15 分 分 1 的幅角是 2 的主值是 2 31i 2 1 0 2 3 kk 1 iLn 3 0 i 4 3 2ln 2 1 2 1 1 z zf 0 5 f 4 是 的 一级一级 极点 5 0 z 4 sin z zz 1 z zf 1 Rezfs 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 3 分 共计分 共计 15 分 分 1 解析函数的导函数为 B yxivyxuzf A B yx iuuzf yx iuuzf C D yx ivuzf xy ivuzf 2 C 是正向圆周 如果函数 D 则 3 z zf0d C zzf A B C D 2 3 z2 1 3 z z 2 2 1 3 z z 2 2 3 z 3 如果级数在点收敛 则级数在 C 1n n nz c 2 z A 点条件收敛 B 点绝对收敛 2 ziz2 C 点绝对收敛 D 点一定发散 iz 1iz21 共 6 页第 页2 下列结论正确的是 B A 如果函数在点可导 则在点一定解析 zf 0 z zf 0 z B 如果在 C 所围成的区域内解析 zf 则 0 C dzzf C 如果 则函数在 C 所围成的区域内一定解析 0 C dzzf zf D 函数在区域内解析的充分必要条件是 yxivyxuzf 在该区域内均为调和函数 yxu yxv 5 下列结论不正确的是 D A B 的可去奇点 为 z 1 sin 的本性奇点 为zsin C D 1 sin 1 的孤立奇点为 z sin 1 的孤立奇点为 z 三 按要求完成下列各题 每小题三 按要求完成下列各题 每小题 10 分 共计分 共计 40 分 分 1 设是解析函数 求 2222 ydxycxibyaxyxzf dcba 2 计算其中 C 是正向圆周 C z z zz e d 1 2 2 z 3 计算 3 3422 15 d 2 1 z z zz z 4 函数在扩充复平面上有什么类型的奇点 3 232 sin 3 2 1 z zzzz zf 如果有极点 请指出它的级 四 本题 14 分 将函数在以下区域内展开成罗朗级数 1 1 2 zz zf 1 2 3 110 z10 z z1 五 本题 10 分 用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 共 6 页第 页3 1 0 0 4 5 yy exyxyxy x 六 本题 6 分 求的傅立叶变换 并由此证明 0 t etf t ed t 2 0 22 cos 三 按要求完成下列各题 每小题三 按要求完成下列各题 每小题 10 分 共分 共 40 分 分 1 设是解析函数 求 2222 ydxycxibyaxyxzf dcba 解 因为解析 由 C R 条件 zf y v x u x v y u ydxayx22 22dycxbyax 2 2 da 2 2dbca 1 1 bc 给出给出 C RC R 条件条件 6 6 分 正确求导给分 正确求导给 2 2 分 结果正确分 结果正确 2 2 分 分 2 计算其中 C 是正向圆周 C z z zz e d 1 2 解 本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算 仅给出用前者计算过程 因为函数在复平面内只有两个奇点 分别以 zz e zf z 2 1 1 0 21 zz 为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于 c 内 21 z z 21 c c 21 d 1 d 1 d 1 2 2 2 C z C z C z z z z e z z z e z zz e i z e i z e i z z z z 2 1 2 2 0 2 1 共 6 页第 页4 无论采用那种方法给出公式至少给一半分 其他酌情给分 3 3 3422 15 d 2 1 z z zz z 解 设在有限复平面内所有奇点均在 内 由留数定理 zf3 z 5 分 Re2d 2 1 3 3422 15 zfsiz zz z z 8 分 1 1 Re2 2 zz fsi 2 342 2 15 2 1 1 2 1 1 1 1 1 z zz z zz f 0 z 12 1 11 1 34222 有唯一的孤立奇点 zzzzz f 1 12 1 11 1 0 1 1 Re 3422 0 2 0 2limlim zzzz zf zz fs zz 10 分 3 3422 15 2d 2 1 z iz zz z 4 函数在扩充复平面上有什么类型的奇点 2 3 32 3 sin 2 1 z z zzz zf 如果有极点 请指出它的级 解 的奇点为 3 2 1 0 sin 3 2 1 3 232 kkz z zzzz zf 1 的的三三级级零零点点 为为 03210 3 zkkz sin 2 的的可可去去奇奇点点 是是的的二二级级极极点点 为为 zfzzfzz210 3 的一级极点 为 3zfz 4 的三级极点 为 4 3 2zfz 5 的的非非孤孤立立奇奇点点 为为 zf 备注 给出全部奇点给 5 分 其他酌情给分 共 6 页第 页5 四 本题 14 分 将函数在以下区域内展开成罗朗级数 1 1 2 zz zf 1 2 3 110 z10 z z1 解 1 当110 z 11 1 1 1 1 1 2 zzzz zf 而 1 1 11 1 0 n nn z z 0 1 1 1 n nn zn 6 分 0 21 1 1 n nn znzf 2 当10 z 1 1 1 1 22 zzzz zf 0 2 1 n n z z 10 分 0 2 n n z 3 当 z1 1 1 1 1 1 3 2 z z zz zf 14 分 0 3 0 3 1 1 1 n n n n zzz zf 每步可以酌情给分 五 本题 10 分 用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题 1 0 1 0 4 5 yy exyxyxy x 解 对的Laplace 变换记做 依据Laplace 变换性质有 xy sL 共 6 页第 页6 5 分 1 1 4 1 51 2 s sLssLssLs 整理得 7 分 4 15 1 1 6 5 1 10 1 1 1 4 15 1 1 6 1 1 10 1 1 1 4 1 1 1 sss ssss ssss sL 10 分 xxx eeexy 4 15 1 6 5 10 1 六 6 分 求的傅立叶变换 并由此证明 0 t etf t ed t 2 0 22 cos 解 3 分 0 dteeF t ti 0 0 0 dteedteeF ttitti 0 0 0 dtedte titi 0 0 0 i e i e titi 4 分 0 211 22 ii F 5 分 0 2 1 dFetf ti 0 2 2 1 22 de ti sin cos0 1 22 dtit sincos 0 2 22 0 22 d ti d t 共 6 页第 页7 6 分 cos 0 2 0 22 d t tf t ed t 2 0 22 cos 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 期末试题 期末试题 B 1 填空题 每小题填空题 每小题 3 分 共计分 共计 15 分 分 2 2 1 的幅角是 的幅角是 2 2 的主值是的主值是 2 1i iLn 3 3 a 在复平面内处处解析 在复平面内处处解析 4 4 2 2 2222 yxyaxiyxyxzf 是是 的 的 极点 极点 5 5 0 z 3 sin z zz z zf 1 Rezfs 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 3 分 共计分 共计 15 分 分 1 解析函数的导函数为 yxivyxuzf A B xy ivuzf yx iuuzf C D yx ivuzf yx iuuzf 2 C 是正向圆周 如果函数 则 2 z zf0d C zzf A B C D 1 3 z1 3 z z 2 1 3 z z 2 1 3 z 3 如果级数在点收敛 则级数在 1n n nz ciz2 共 6 页第 页8 A 点条件收敛 B 点绝对收敛 2 ziz2 C 点绝对收敛 D 点一定发散 iz 1iz21 下列结论正确的是 A 如果函数在点可导 则在点一定解析 zf 0 z zf 0 z B 如果 其中 C 复平面内正向封闭曲线 则在 C 所围0 C dzzf zf 成的区域内一定解析 C 函数在点解析的充分必要条件是它在该点的邻域内一定可以 zf 0 z 展开成为的幂级数 而且展开式是唯一的 0 zz D 函数在区域内解析的充分必要条件是 yxivyxuzf yxu 在该区域内均为调和函数 yxv 5 下列结论不正确的是 A 是复平面上的多值函数 是无界函数 lnzcosz B 是复平面上的有界函数 D 是周期函数 zsin C z e 三 按要求完成下列各题 每小题三 按要求完成下列各题 每小题 8 分 共计分 共计 50 分 分 1 设是解析函数 且 求 ygxiyxuzf 2 00 f zfyxuyg 2 计算 其中 C 是正向圆周 C z izz z d 1 22 2 z 3 计算 其中 C 是正向圆周 C z ze z z d 1 1 2 2 z 4 利用留数计算 其中 C 是正向圆周 C z zz d 2 1 1 23 z 5 函数在扩充复平面上有什么类型的奇点 如 3 32 21 sin z zzz zf 果有极点 请指出它的级 得分 共 6 页第 页9 四 本题 12 分 将函数在以下区域内展开成罗朗级数 1 1 2 zz zf 1 2 3 110 z 10 z z1 五 五 本题 本题 10 分 用分 用 Laplace 变换求解常微分方程定解问题变换求解常微分方程定解问题 1 0 0 4 5 yy exyxyxy x 六 本题 8 分 求的傅立叶变换 并由此证明 0 t etf t ed t 2 0 22 cos 复变函数与积分变换复变函数与积分变换 期末试题简答及评分标准 期末试题简答及评分标准 B 一 填空题 每小题一 填空题 每小题 3 分 共计分 共计 15 分 分 1 的幅角是 的幅角是 2 2 的主值是的主值是 2 1 i 2 10 2 4 kk 1 iLn 3 3 0 0 4 4 4 2ln 2 1 i 2 1 1 z zf 0 7 f 0 0 5 5 3 sin z zz zf 0 Rezfs 2 1 z zf 0 0 Rezfs 二 选择题 每小题二 选择题 每小题 3 分 共计分 共计 15 分 分 1 5 A A C C C 三 按要求完成下列各题 每小题三 按要求完成下列各题 每小题 10 分 共计分 共计 40 分 分 1 求使是解析函数 dcba 2222 ydxycxibyaxyxzf 共 6 页第 页10 解 因为解析 由 C R 条件 zf y v x u x v y u ydxayx22 22dycxbyax 2 2 da 2 2dbca 1 1 bc 给出给出 C RC R 条件条件 6 6 分 正确求导给分 正确求导给 2 2 分 结果正确分 结果正确 2 2 分 分 2 其中 C 是正向圆周 C z zz d 1 1 22 z 解 本题可以用柯西公式 柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算 仅给出用前者计算过程 因为函数在复平面内只有两个奇点 分别以 zz zf 2 1 1 1 0 21 zz 为圆心画互不相交互不包含的小圆且位于 c 内 21 z z 21 c c 21 d 1 1 d 1 1 d 1 1 2 2 2 CCC z z z z z z z zz 0 1 1 2 1 2 0 2 1 z z z i z i 3 计算 其中 C 是正向圆周 C z z z ez d 1 1 3 2 z 解 设在有限复平面内所有奇点均在 内 由留数定理 zf2 z 5 分 1 2 2 Re2 z d iczfsizf z z1 111 1 3 1 2 11 1 1 1 1 3232 2 1 2 1 3 zzzzzz z z ez z ez zz 共 6 页第 页11 111 1 4 1 3 1 2 1 322 2 zzzzz zz 3 1 2 1 11 1 c 3 8 izf z 2 3 8 z d 2 4 函数在扩充复平面上有什么类型的奇点 如果 3 32 sin 2 1 z zz zf 有极点 请指出它的级 的奇点为 3 2 1 0 kkzzf 的的三三级级零零点点 为为 03210 3 zkkz sin 的可去奇点 是的二级极点 为 2 1zfzzfz 的三级极点 为 4 3 2 0zfz 的的非非孤孤立立奇奇点点 为为 zf 给出全部奇点给 5 分 其他酌情给分 四 本题 14 分 将函数在以下区域内展开成罗朗级数 1 1 2 zz zf 1 2 3 110 z 10 z z1 1 2 3 110 z10 z z1 解 1 当110 z 1 1 1 1 1 1 1 2 zzzz zf 而 1 1 1 1 0 n n z z 0