Chapter13-VARMA模型

19VARMA 模型模型 1980 年 Sims 提出向量自回归模型 vector autoregressive model 这种模型采用多方程联 立的形式 它不以经济理论为基础 在模型的每一个方程中 内生变量对模型的全部内生变量 的滞后值进行回归 从而估计全部内生变量的动态关系 8 1基本概念基本概念 8 1 1向量平稳过程向量平稳过程 设 X t x1t x2t xNt 由 N 个随机过程构成的多维随机过程 如果 X t的一阶矩 均值 和 二阶矩 协方差 tt kttt kt k E E X X X 为时不变的 即与 t 没有关系 则称 X t为弱平稳过程 tk 当 k 0 时 表示 X t的同期协方差矩阵 对角线元素 ii 0 表示 0 tttt E X X 过程 xit 的方差 非对角线元素 ij 0 表示过程 xit 与 xjt 的协方差 当 k 0 时 对角线元素 ii k 表示 xit 与 xi t k 的协方差 非对角线元素 ij k 表示 xit 与 xj t k 的协方差 8 1 2跨相关矩阵跨相关矩阵 令 D 表示 X t x1t x2t xNt 标准差构成的对角矩阵 则 X t与 X t k的相关系数矩阵为 11 kk D D 其中 第 i 行第 j 列的元素具体为 cov cov itjt kitjt k ij itjt kitjt xxxx k std xstd xstd xstd x 当 k 0 时 0 D 1 0D 1表示 Xt的同期相关系数矩阵 对角线元素 ii 0 表示过程 xit 的同 期相关系数 1 非对角线元素 ij 0 表示过程 xit 与 xjt 的同期跨相关系数 当 k 0 时 对角线 元素 ii k 表示 xit 与 xit k 的自相关系数 非对角线元素 ij k 表示 xit 与 xjt k 的跨相关系数 显然 ij k 与 ji k 表示不同的线性依存关系 一般情况下 ij k ji k 因此 ij k 和 ij k 不是对称矩阵 由以及平稳条件可得 cov cov itj t kj t kit xxxx cov cov cov j t kitj ti t kjti tk xxxxxx 即 ij k ji k ij k 表示矩阵 k 的第 i 行第 j 列元素 ji k 表示矩阵 k 的第 j 行第 i 列元素 因此 k k 而是 k k 同样地 ij k k 而是 k k 将多维相关矩阵总结如下 ij k k 0 1 表示 xit 的自相关函数 ij k k 0 1 表示 xit 与 xjt 的同期相关系数 ij k k 0 1 表示 xit 与 xj t k 的跨期相关系数 样本相关系数矩阵估计公式为 11 k k D D 其中 1 1 T t t T tt k t k T Tk X X X Kosking 1980 1981 和 Li and McLeod 1981 将单变量情形下的 Ljung Box Q 统计量 推广到多元情形 原假设为 k 0 k 1 2 m 即不存在自相关和跨相关 检验统计量为 211 00 1 1 m kk k Q mTTrace Tk 在原假设成立的条件下 其中 N 表示变量的个数 22 Q mNm 例 1926 年 1 月至 1999 年 11 月 SP500 指数收益率和 IBM 股价收益率的自相关和跨相关 例 石油期货与现货价格 8 1 3多维变量滤子多维变量滤子 设 A L 和 B L 表示两个滤子 Aj 和 Bj 表示 m r 和 r s 矩阵 滤子的积为 D L A L B L 000 01101 0211202 0110jjjj A BD A BA BD A BA BA BD A BA BA BD 如果 A L B L I 则称 B L 为 A L 的逆 或者 A L 为 B L 的逆 从卷积公式可以看出 只要 A0 0 A L 的逆就存在 比如 求一阶多项式 L I 1L 的逆 A0 I A1 1 B0 I B1 A1 0 B1 A1 1 B2 A1B1 A2 0 B2 A1B1 12 Bj 1j 8 2向量自回归模型设定向量自回归模型设定 VAR 模型是自回归模型的联立形式 所以称向量自回归模型 假设 y1t y2t之间存在关系 如果分别建立两个自回归模型 y1 t f y1 t 1 y1 t 2 y2 t f y2 t 1 y2 t 2 则无法捕捉两个变量之间的关系 如果采用联立的形式 就可以建立起两个变量之间的关系 VAR 模型的结构与两个参数有关 一个是所含变量个数 N 一个是最大滞后阶数 k 含有 N 个 变量滞后 k 期的 VAR 模型表示如下 Yt c 1 Yt 1 2 Yt 2 k Yt k ut ut IID 0 8 4 其中 11 12 1 111 21 22 2 222 1 2 jjN jtt jjN jtt ttjt NjNjNN j NNtNt Yuc Ycu cYu Yc u Yt为 N 1 阶时间序列列向量 c 为 N 1 阶常数项列向量 1 k 均为 N N 阶参数矩阵 ut IID 0 是 N 1 阶随机误差列向量 其中每一个元素都是非自相关的 但这些元素 即 不同方程对应的随机误差项之间可能存在相关 用滞后算子的表述为 I 1L 2L2 pLp Yt L Yt c ut 此处 c 表示的不是 Yt的均值 对于平稳过程来讲 Yt的均值为 E Yt 1 1c 其中 1 I 1 2 p 以两个变量 y1t y2t滞后 1 期的 VAR 1 模型为例 y1 t c1 11 y1 t 1 12 y2 t 1 u1t y2 t c2 21 y1 t 1 22 y2 t 1 u2 t 8 1 其中 u1t u2 t 为独立白噪声过程 但 u1t与 u2 t存在相关关系 11体现了 y1的滞后项对其 当期项的影响 12体现了 y2的滞后项对 y1当期项的影响 21体现了 y1的滞后项对 y2当期项 的影响 22体现了 y2的滞后项对 y2当期项的影响 如果 12 0 21 0 说明从 y1到 y2存在 单向影响关系 如果 21 0 12 0 说明从 y2到 y1存在单向影响关系 如果 21 0 12 0 说明 y2与 y1不存在反馈关系 如果 21 0 12 0 说明 y2与 y1存在双向反馈关系 y2与 y1的 当期相关关系通过 12体现 如果 12 0 说明 y2与 y1不存在当期相关 2 112 2 212 var var ttt uu u 其矩阵形式是 8 2 t t y y 2 1 1 2 c c 11 112 1 21 122 1 1 2 1 1 t t y y t t u u 2 1 设 Yt c 1 ut t t y y 2 1 1 2 c c 11 112 1 21 122 1 t t u u 2 1 则 Yt c 1 Yt 1 ut 8 3 因 VAR 模型中每个方程的右侧只含有内生变量的滞后项 他们与 ut是渐近不相关的 所 以可以用 OLS 法依次估计每一个方程 得到的参数估计量都具有一致性 VAR 模型的特点是 1 不以严格的经济理论为依据 在建模过程中只需明确两件事 共有哪些变量是相 互有关系的 把有关系的变量包括在 VAR 模型中 确定滞后期 k 使模型能反映出变量间 相互影响的绝大部分 2 VAR 模型对参数不施加零约束 对无显着性的参数估计值并不从模型中剔除 不 分析回归参数的经济意义 3 VAR 模型的解释变量中不包括任何当期变量 所有与联立方程模型有关的问题在 VAR 模型中都不存在 主要是参数估计量的非一致性问题 4 VAR 模型的另一个特点是有相当多的参数需要估计 比如一个 VAR 模型含有三个 变量 最大滞后期 k 3 则有 k N 2 3 32 27 个参数需要估计 当样本容量较小时 多数 参数的估计量误差较大 5 无约束 VAR 模型的应用之一是预测 由于在 VAR 模型中每个方程的右侧都不含有 当期变量 这种模型用于样本外一期预测的优点是不必对解释变量在预测期内的取值做任何预 测 6 用 VAR 模型做样本外近期预测非常准确 做样本外长期预测时 则只能预测出变动 的趋势 而对短期波动预测不理想 西姆斯 Sims 认为 VAR 模型中的全部变量都是内生变量 近年来也有学者认为具有单 向因果关系的变量 也可以作为外生变量加入 VAR 模型 附录 file B8c1 8 3VAR 模型的平稳条件模型的平稳条件 根据齐次差分方程理论 VAR p 模型平稳性的充分必要条件为 如下特征方程的特征根 落在单位圆之外 I 1L 1L2 pLp 0 或者等价地表述为 如下特征方程的特征根落在单位圆之内 ILp 1Lp 1 1L p 2 p 0 显然 这两个特征方程的特征根互为倒数 以 VAR 1 模型 Yt c 1 Yt 1 ut 为例 将其用滞后算子表述为 I 1 L Yt c ut 8 13 保持 VAR 模型稳定的条件是 I 1L 0 的根都在单位圆以外 或者 1 L I 0 的根都 落在单位圆以内 而 1 L I 0 的根即是矩阵 1的特征根 例例 8 1 对于二变量 N 2 k 1 的 VAR 模型 8 14 1 111 2 122 5 81 2 1 45 8 ttt ttt yyu yyu 其中 1 8 54 1 2 18 5 其特征方程是 I 1L 10 5 8 1 2 1 5 8 1 2 01 1 4 5 8 1 4 1 5 8 LLLL LLLL 1 5 8 L 2 1 8 L 2 1 0 978 L 1 0 27 L 0 8 15 求解得 L 1 1 0 978 1 022 L 2 1 0 27 3 690 因为 L 1 L 2都大于 1 所以对应的 VAR 模型是稳定的 例例 8 2 对于 2 个变量 2 阶 VAR 模型 Yt c 1 Yt 1 2 Yt 2 ut 其中 1 2 16 34 3 16 58 5 4 34 1 4 18 1 其特征方程为 I 1 L 2 L 2 0 I 1L 2 L 2 22 22 10 5 8 1 2 1 8 1 4 01 1 4 5 8 1 4 3 4 LLLL LLLL 22 22 1 5 8 1 8 1 2 1 4 1 4 1 4 1 5 8 3 4 LLLL LLLL 1 5 8 L 1 8 L 2 1 5 8 L 3 4 L 2 1 2 L 1 4 L 2 1 4 L 1 4 L 2 1 0 978 L 1 0 27 L 0 8 15 求解得 4 个根如下表所示 根模 L1 1 0001 000 L 2 0 9470 947 L 3 0 380 0 144 i0 406 L 4 0 380 0 144 i0 406 其中 3 个根在单位圆内 一个根落在单位圆上 所以平稳性条件未能得到满足 练习 模拟上述两个模型的随机数据 观察其变化趋势 注 注 对于高阶自回归方程 可以通过友矩阵变换 companion form 的方法将其转换为 VAR 1 模型 然后根据 VAR 1 模型的平稳条件判断其平稳性 具体变换过程如下 给出 k 阶 VAR 模型 Yt c 1 Yt 1 2 Yt 2 k Yt k ut 8 17 再配上如下等式 Yt 1 Yt 1 Yt 2 Yt 2 Yt k 1 Yt k 1 把以上 k 个等式写成分块矩阵形式 8 18 1121 12 23 1 1111 ttkkt tt tt t kt k NKNK NKNKNKNK YYc u YY0I0000 YY00I000 YY000I00 其中每一个元素都表示一个向量或矩阵 令 Yt Yt 1 Yt 2 Yt k 1 NK 1 C c 0 0 0 NK 1 A 121kk NK NK I000 0I00 00I0 Ut ut 0 0 0 NK 1 上式可写为 Yt C A Yt 1 Ut 8 19 这样 k 阶 VAR 模型用友矩阵表示成了 1 阶分块矩阵的 VAR 模型 VAR 模型的稳定性要求 A 的全部特征值 即特征方程 I A L 0 的全部根必须在单位 圆以外 或者特征方程 A I 0 的全部根落在单位圆以内 注意 特征方程中的 A 是 Nk Nk 阶的 特征方程中的 I 也是 Nk Nk 阶的 对于 k 阶 VAR 模型的友矩阵变换形式 特征 方程是 A I 121kk L I000 0I00I000 00000I00 000I00I0 121kk LLLL L L L I I000 0I00 00II 即 I 1 L 2 L 2 k L k 0 的特征根落在单位圆之外 例 例 2 变量 2 阶 VAR 模型的友矩阵变换形式是 8 20 112 12 00 ttt tt YYc u YYI0 其中等式的每一个元素 项 都表示一个 4 1 阶向量或 4 4 阶矩阵 平稳性条件要求其特征方程为 I AL 1212 LL L L I0 I 0II0II I 1 L 2 L2 0 8 22 的全部根必须在单位圆以外 例 例 2 变量 3 阶 VAR 模型的友矩阵变换形式是 8 21 1123 12 23 ttt tt tt YY cu YYI0000 0I0Y0Y0 其中等式的每一个元素 项 都表示一个 6 1 阶向量或 6 6 阶矩阵 平稳性条件要求其特征方程为 I AL 123123 0 0 LLL LL L I00 I 0I0 II00I 000I0II I I I 1 L 2 L2 3 L3 0 8 23 的全部根必须在单位圆以外 例 例 以例 8 1 为例 其友矩阵变换形式是 8 25 112 12 ttt tt YYc u YY0I00 或 8 26 12 11 2 1 t t t t y y y y 1 2 5 85 161 81 4 3 43 161 43 4 10000 01000 c c 22 21 12 11 t t t t y y y y 0 0 2 1 t t u u 或 Yt C A Yt 1 Ut 8 27 因为 A 的阶数为 4 4 注意 因为 N 2 k 2 所以 A 的阶数为 4 4 所以有 4 个特征根 特征方程是 A I 1000 0100 0010 0001 0010 0001 4 34 116 34 3 4 18 116 58 5 0 8 28 010 001 4 34 116 34 3 4 18 116 58 5 得到与前文分析完全相同的特征根和同样的结论 8 4VAR 模型的估计模型的估计 对于平稳 VAR 模型 每个方程中的解释变量均与随机误差项不相关 因此可采用 OLS 单 独估计每个方程 如果假定随机误差项服从联合正态分布 则可以采用 ML 方法进行估计 对 数似然函数为 1 1log 2 log 22 T tt t NTT LnL T u u 8 4 1VAR 模型滞后期模型滞后期 k 的选择的选择 建立 VAR 模型除了要满足平稳性条件外 还应该正确确定滞后期 k 如果滞后期太少 误差项的自相关会很严重 并导致参数的非一致性估计 正如在第 4 章介绍 ADF 检验的原理 一样 在 VAR 模型中适当加大 k 值 增加滞后变量个数 可以消除误差项中存在的自相关 但从另一方面看 k 值又不宜过大 k 值过大会导致自由度减小 直接影响模型参数估计量的 有效性 下面介绍几种选择 k 值的方法 1 用 LR 统计量选择 k 值 LR 似然比 统计量定义为 LR 2 log L k log L k 1 8 34 2 2 N 其中 log L k 和 log L k 1 分别是 VAR k 和 VAR k 1 模型的极大似然估计值 k 表示 VAR 模型中滞后变量的最大滞后期 LR 统计量渐近服从分布 显然当 VAR 模型滞后期的增 2 2 N 加不会给极大似然函数值带来显着性增大时 即 LR 统计量的值小于临界值时 新增加的滞后 变量对 VAR 模型毫无意义 应该注意 当样本容量与被估参数个数相比不够充分大时 LR 的 有限样本分布与 LR 渐近分布存在很大差异 2 根据信息准则选择 k 值 实践中常用的几种信息准则包括赤池 Akaike 准则 AIC 施瓦茨 Schwartz 准则 SC 以及 Hannan Quinn 准则 HN 系统方程中的信息准则计算公式为 log mC T IC T AIC 令 C T 2 SC 令 C T Log T HN 令 C T 2Log Log T 一般地 给出最高的 kmax 在 k 1 2 kmax 中选择使 IC 取最小值的 k 作为最优选择 但需要注意的是 信息准则受被解释变量 y 的测度单位的影响 因此信息准则不能用于选 择被解释变量不同的模型 比如 y 和 log y 例 8 3 以第 8 章案例为例 k 1 2 3 4 时的 LogL Akaike AIC 和 Schwarz SC 的值见 下表 VAR 1 VAR 2 VAR 3 VAR 4 LogL184 6198 9200 0207 8 2 log L k log L k 1 28 62 215 6 2 9 16 9 Akaike AIC 7 84 8 27 8 09 8 23 Schwarz SC 7 36 7 41 6 85 6 6 建立滞后 2 期的 VAR 模型是可以的 8 4 2Granger 因果关系因果关系 在标准的 VAR 模型中 所有变量的滞后项出现在每个方程中 检验部分变量的滞后项是 否对其他变量的当期项存在显著的解释作用 这种检验称为 Granger 因果关系检验 如果解释 作用显著 则称之为存在 Granger 因果关系 比如 在 VAR 2 模型中 1 11111 2 1222122 0 ttt ttt yyu yyu y2的滞后项对于 y1没有解释作用 称作 y2不会格兰杰导致 y1 Granger 检验方法可以直接 通过回归方程的参数显著性进行 更一般地 检验部分变量 y2与 y1的格兰杰因果关系可以通过 VAR k 进行 设数据为 x y z 其中 x y z 分别包含 N1 N2和 N3个变量 1111 111 1112 111 kkk tit iit iit it iii kkk tit iit iit it iii xA xB yC zu yD xE yF zu 令 将 分解为 12 ttt uuuE tt u u 1112 1222 x 不会格兰杰导致 y 当且仅当 A1 0 y 不会格兰杰导致 x 当且仅当 E1 0 对 A1 0 或 E1 0 的检验可以通过似然比统计量进行 log RU LRTk 其中 和分别表示受约束模型和无约束模型的协方差矩阵 R U 注意 1 滞后期 k 的选取是任意的 实质上是一个判断性问题 以 xt和 yt为例 如果 xt 1对 yt 存在显著性影响 则不必再做滞后期更长的检验 如果 xt 1对 yt不存在显著性影响 则应该再 做滞后期更长的检验 一般来说要试检验若干个不同滞后期 k 的格兰杰因果关系检验 且结论 相同时 才可以最终下结论 2 当做 xt是否为导致 yt变化的格兰杰原因检验时 如果 zt也是 yt变化的格兰杰原因 且 zt又与 xt相关 这时在 xt是否为导致 yt变化的格兰杰因果关系检验式的右端应加入 zt的滞后项 实际上是 3 个变量 VAR 模型中的一个方程 3 EViews 4 1 在 VAR 模型的框架内 可做一对一变量的格兰杰非因果性检验 也可以做 一对多个变量的格兰杰非因果性检验 4 不存在协整关系的非平稳变量之间不能进行格兰杰因果关系检验 8 5VAR 模型的脉冲响应函数和方差分解模型的脉冲响应函数和方差分解 由于 VAR 模型参数的 OLS 估计量只具有一致性 单个参数估计值的经济解释是很困难的 要想对一个 VAR 模型做出分析 通常是观察系统的脉冲响应函数和方差分解 8 5 1脉冲响应函数脉冲响应函数 脉冲响应函数描述一个内生变量对误差冲击的反应 具体地说 它描述的是在随机误差项 上施加一个标准差大小的冲击后对内生变量的当期值和未来值所带来的影响 对于平稳的 VAR 过程 总可以将其转换为 VMA 过程 即 11 0 1 ttkt k k L Y u u 其中 00 0 I 1 k i i I 相应地 11 0 1 t st skt s k k L Y u u s中第 i 行第 j 列元素表示的是第 i 个变量对第 j 个变量的误差冲击项产生的响应 即 令其它条件不变的情况下 当第 j 个变量 yjt对应的误差项 ujt在 t 期受到一个单位的冲击后 对 第 i 个内生变量 yt在 t s 期造成的影响 把 s中第 i 行第 j 列元素 ij看作是滞后期 s 的函数 s 1 2 3 i t s ij jt y u 称作脉冲响应函数 impulse response function 脉冲响应函数描述了各个变量在 t 期以及以前 各期保持不变的前提下 yi t s s 1 2 对 uj t的一次冲击的响应过程 以 VAR 1 模型为例 Yt c 1 Yt 1 ut 8 29 前文已经得出 I 1L 的逆矩阵 B0 I B1 1 B2 12 Bj 1j 因此 上述 VAR 1 模型可以表示为 VMA 的形式 Yt I 1 1 c 8 33 1 0 i t i i u 其中 10 I 由 8 33 式可得 1 st s t Y U 考虑如下 VAR 1 模型 1 111 2 122 0 40 11614 0 20 51425 ttt ttt yyu yyu 假设 y0 0 在第 1 期给 u1一个标准差的冲击 u2为 0 新息 即 11 21 4 0 u u 设第 2 3 期 u1 u2均为 0 新息 那么 y2 y3分别为 1 4 0 y 212 0 40 1401 6 0 20 5000 8 y yu 323 0 40 11 600 72 0 20 50 800 72 y yu 类似地 假设 y0 0 在第 1 期给 u2一个标准差的冲击 u1为 0 新息 即 11 21 0 5 u u 设第 2 3 期 u1 u2均为 0 新息 那么 y2 y3分别为 1 0 5 y 212 0 40 1000 5 0 20 5502 5 y yu 323 0 40 10 500 45 0 20 52 501 35 y yu 每个变量在不同期的响应如下表和下图所示 表 脉冲响应表 脉冲响应图 如上例所示 如果不同方程的新息不相关 则可以考察变量对每个不同信息的脉冲的响应 即某个方程的新息出现波动而其他方程的新息不变时 各个变量的响应 实践中 不同方程的 新息是相关的 当误差项相关时 它们有一个共同的组成部分 不能被任何特定的变量所识别 因此 不可能做到只有某个方程的新息变化而其他方程的新息不变 因此 对脉冲响应函数的 解释就比较困难 为解决这一问题 考虑 Cholesky 分解 引入一个变换矩阵 M 与 ut相乘 MM M 1 M 1 I vt M 1ut 则 vt的协方差矩阵为 cov vtvt cov M 1utut M 1 M 1 M 1 I vt M 1ut 0 I 或者 ut Mvt 从而把 ut的方差协方差矩阵 变换为一个单位矩阵 I 转换后的误差项 vt是正交的 如上例中 的 Cholesky 分解矩阵为 40 3 53 5707 M 第 1 期的 y1的 1 个标准差冲击 即 11 21 1 0 v v 11 4014 3 53 570703 5 uMv 设第 2 3 期 v1 v2均为 0 新息 u1 u2也为 0 那么 y2 y3分别为 1 212 323 4 3 5 0 40 1401 95 0 20 53 502 55 0 40 11 9501 035 0 20 52 5501 665 y y yu y yu 类似地 第 1 期的 y2方程的 1 个标准差冲击 即 11 21 0 1 v v 11 4000 3 53 5713 57 uMv 设第 2 3 期 v1 v2均为 0 新息 u1 u2也为 0 那么 y2 y3分别为 1 212 323 0 3 57 0 40 1000 357 0 20 53 5701 785 0 40 10 35700 3213 0 20 51 78500 9639 y y yu y yu 虽然乔利斯基分解被广泛应用 但是对于共同部分的归属来说 它还是一种很随意的方法 方程顺序的改变将会影响到脉冲响应函数 因此在解释脉冲响应函数时应小心 比如 在上例中 将方程的顺序更改为 2 122 1 111 0 20 52514 0 40 11416 ttt ttt yyu yyu 的 Cholesky 分解矩阵为 50 2 82 86 M 第 1 期的 y1的 1 个标准差冲击 即 21 11 0 1 v v 11 5000 2 82 8612 86 uMv 设第 2 3 期 v1 v2均为 0 新息 u1 u2也为 0 那么 y2 y3分别为 1 212 323 0 2 86 0 20 5001 43 0 40 12 8600 286 0 20 51 4300 429 0 40 10 28600 6006 y y yu y yu 类似地 第 1 期的 y1的 1 个标准差冲击 即 21 11 1 0 v v 11 5015 2 82 8602 8 uMv 设第 2 3 期 v1 v2均为 0 新息 u1 u2也为 0 那么 y2 y3分别为 1 212 323 5 2 8 0 40 1502 28 0 20 52 802 4 0 40 12 2801 152 0 20 52 401 656 y y yu y yu 每个变量在不同期的响应如下表和下图所示 注意 对于 ut中的每一个误差项 内生变量都对应着一个脉冲响应函数 这样 一个含 有 4 个内生变量的 VAR 将有 16 个脉冲响应函数 8 5 2预测误差方差分解预测误差方差分解 VAR 模型的另一种分析方法是方差分解 既分析未来 t s 期的 yj t s的预测误差的方差由 不同新息的冲击影响的比例 与脉冲响应函数 impulse response function 相对应 方差分解提供 了另一种描述系统动态变化的方法 脉冲响应函数是追踪系统对一个内生变量的冲击效果 反 映一个变量的冲击对所有内生变量当期及未来各期的影响 而方差分解将 VAR 系统中任意一 个内生变量的预测均方误差分解成系统中各变量的随机冲击所做的贡献 然后计算出每一个变 量冲击的相对重要性 即各变量冲击的贡献占总贡献的比例 比较这个相对重要性信息随时间 的变化 就可以估计出该变量的作用时滞 还可估计出各变量效应的相对大小 因此 方差分 解揭示了一个变量的运动轨迹在多大程度上是由于自己的冲击 多大程度上是由于系统中其它 变量的冲击 另外 在 VAR 模型中 如果对一个方程的冲击在任何预测区间都不能解释所关注变量的 预测误差方差 那么称所关注的这些变量为外生的 其运动独立于其它方程的冲击 另一方面 如果一个方程的冲击在任何区间完全解释了所关注变量的预测误差方差 那么称所关注的这些 变量为完全内生的 其运动完全取决于其他方程的冲击 在这一方面 预测误差方差分解也为 我们提供了非常有用信息 以 VAR 1 模型为例 假设均值为 0 yt A yt 1 ut 对 t 1 期的预测值为 11 111 ttt tttt E YAYu YYYYAY 对 t 2 期的预测值为 2 21212 2 221 tttttt tttt E YAYuA YAuu YYYYA Y 依此类推 可得到对 t s 期的预测值 1 111 ss t st st sttt st s s t st YAYuA YAuAuu YA Y 预测误差为 1 11 s st st stt st s eYYAuAuu 预测误差的方差为 2211 ss s Var e A AA AA A 对于 VAR k 过程的预测误差 可以通过其友矩阵变换的形式来计算 假设下式是由任一 VAR k 模型转换而得到的关于 Yt的一阶向量自回归模型 Yt A Yt 1 Ut 8 38 E Ut Us t s ts Q 0 其中 QNk Nk 00 000 000 Q 中的每一个元素都是 N N 阶的 注意 8 38 式中的前 N 行就是原 VAR k 模型 对 8 38 进行迭代运算 1 21211 ss tttttt st s YAYuA YAUAUU 上式中的前 N 行 原 VAR 中的方程 可用向量表示为 Yt s A11 s Yt A12 s Yt 1 A1k s Yt k 1 ut s A11 ut s 1 A11 2 ut s 2 A11 s 1 ut 1 8 40 其中 A11 s Yt A12 s Yt 1 A1k s Yt k 1 表示 8 39 式中 As Yt的前 N 行 ut s A11 ut s 1 A112 ut s 2 A11s 1 ut 1 表示 8 39 式中 Ut s A Ut s 1 A2 Ut s 2 As 1 Ut 1 的前 N 行 其中 A1j s j 1 2 k 表示 As中第 1 至 N 行和 N k 1 1 到 Nk 列围成的块 A11 i i 1 2 s 1 表示 Ai的左上块 Ai为 A 的 i 次方 把 8 40 式写成 Yt s A11 s Yt A12 s Yt 1 A1k s Yt k 1 ut s 1 ut s 1 2 ut s 2 s 1 ut 1 8 41 其中 A11 1 A11 2 2 A11 s 1 s 1 可得到对 t s 期的预测值 A11 s Yt A12 s Yt 1 A1k s Yt k 1 t s t Y 预测误差为 Yt s ut s 1 ut s 1 s 2 ut 2 s 1 ut 1 t s t Y 预测误差的方差为 Var es 1 1 2 2 s 1 s 1 8 40 其中 E ut ut 不同期的 ut等于零 下面考察每一个正交化误差项对预测误差方差的贡献 通过下式把 ut变换为正交化误差 项 vt 根据 Cholesky 分解 可以找到矩阵 M M 满足 MM M 1 M 1 I vt M 1ut 则 vt的协方差矩阵为 cov vtvt cov M 1utut M 1 M 1 M 1 I vt M 1ut 0 I 或者 ut Mvt 转换后的 vt彼此正交 称为正交误差项 vt的方差矩阵为 var vt I I 为对角矩阵 每一期随机误差项的方差为 E E tttt u u v v 将其带入预测误差方差表达式中 2211 2211 ss s ss Var e A AA AA A A A A A A A 这里 我们注意和式中每一项的结构 以二元 VAR 模型为例 根据 Cholesky 分解 E E tttt u u v v 1111121 12 2212222 00 1 00 v vv v ccc ccc 第 1 期的预测误差为 即 y1的预测误差为 2 11111 var v yc y2的预测误差为 22 21211222 var vv ycc 因此 的预测误差方差完全是由于第 1 个方程的新息带来的 即 var v1 和 var v2 各自的比 11 y 例为 100 和 0 的预测误差则是由于第 1 个方程的新息和第 2 个方程的新息 21 y 2 211v c 共同带来的 var v1 和 var v2 各自的比例为 c21 c21 c22 和 c22 c21 c22 2 222v c 第 2 期的预测误差为 A A 即 y1的预测误差为 22 121111 11122111 111221112222 var vv yca ca ca ca ca c y2的预测误差为 222 21222121 11222121 11222112222222 var var vv yyca ca ca ca cca c 因此 第 1 2 个方程的新息在的预测误差方差中所占比重分别为 12 y 2 1111 11122111 111221 22 1111 11122111 1112211222 ca ca ca ca c ca ca ca ca ca c 2 1222 2 11 11122111 1112211222 a c a ca ca ca ca c 第 1 2 个方程的新息在的预测误差方差中所占比重分别为 22 y 2 2121 11222121 112221 222 2121 11222121 112221222222 ca ca ca ca c ca ca ca ca cca c 22 222222 222 2121 11222121 112221222222 ca c ca ca ca ca cca c 每一期的预测误差都可以做同样的分解 因此 在预测误差方差中 我们可以通过 Cholesky 分解把每个变量的预测误差方差分解到不同变量的冲击项当中 这便是预测误差方差 分解 例例 考察如下模型的第 1 2 3 期的预测误差方差分解 1 111 2 122 0 40 11614 0 20 51425 ttt ttt yyu yyu 的 Cholesky 分解矩阵为 40 3 53 5707 M 根据预测误差方差分解公式 2211 2211 ss s ss Var e A AA AA A A AA AA A 第 1 期的预测误差方差分解为 11 1 212 016 4043 5 0 12 2512 753 53 5703 57 vv vvv Var e 第 2 期的预测误差方差分解为 1 2 016140 40 14043 50 40 2 014250 20 53 53 5703 570 10 5 v v A A 12 12 19 800 13 18 7515 94 第 3 期的预测误差 2222 3 Var e A AA A A AA A 12 12 36 870 23 33 7729 62 以此类推 我们可以得到如下预测误差方差分解表 表 预测误差方差分解表 8 6结构结构 VAR 模型模型 在 VAR 模型中 变量之间的当期相关关系没有直接体现出来 而是通过随机误差项的协 方差矩阵体现的 将其称作简化形式 reduced form VAR 模型 为了更直接地体现变量之间 直接的线性相关和考察脉冲响应的直接的经济含义 考虑对 VAR 模型进行适当的变换 首先 来看如下例子 例例 在如下结构模型中 0 0 0 1 1 1 10 121314121314 0 0 0 1 1 1 20 212324212324 0 0 0 1 1 30 3232343232 0 0 0 40121212 11 11 11 1 t t t t M I Y P 11 12 1 13 34 1 1 1 14121212 1 tt tt tt tt Mv Iv Yv Pv 将其表述为 A L Yt c vt vt IID 0 I 其中 A L A0 A1 L Ap Lp 假定 vt是白噪声过程 如果不满足这一假定 比如说 vt是一个向量自回归过程 vt 1 vt 1 2 vt 2 k vt k et et IID 0 则可以通过在结构模型两边同时乘以 I 1 L 2 L2 k Lk 将误差项转换为白噪声过程 即在模型中增加 Yt的滞后项 由 p 阶滞后增加到 p k 阶滞后 模型中 v1 v2 v3 v4分别表示货币余额 名义利率 收入和价格水平的冲击项 将此 模型转换为 VAR 模型 即两边同时乘以 A 0 1 新的随机扰动项为 A 0 1vt ut 每个新的随机扰动项都是 u1 u2 u3 u4的一个线性组合 这时候 脉冲响应函数为 Yt s ui t 显然 它没有直接的经济含义 我们更感兴趣的是 Yt s vi t 结构 VAR 模型是通过 VAR 模 型的估计结果来计算 Yt s vi t的重要方法 8 6 1Cholesky 分解分解 Cholesky 分解分解 任意对称正定矩阵 A 可以写为一个下三角矩阵 L 与其转置 U L 的乘积 即 A LU 考虑对 L 进行进一步转换 令 di表示 L 对角线元素的倒数 令 D Diag d1 d2 dK 则 A LU LD 1D2D 1U LD 1 D2 D 1U L D2 L L 1是一个特殊的下三角矩阵 其形式为 21 1 3132 123 1 1 1 1 NNN w ww www L 在 VAR 模型 Yt c 1 Yt 1 2 Yt 2 k Yt k ut ut IID 0 中 为对称正定矩阵 根据 Cholesky 分解 L D2 L L G L 由此可得 L 1 L 1 G G D2为对角矩阵 模型两边同时乘以 L 1得到 L 1 Yt L 1c L 1 1 Yt 1 L 1 2 Yt 2 L 1 k Yt k L 1ut Yt c 1 Yt 1 2 Yt 2 k Yt k ut 在转换的新模型中 k L 1 k 11 1 1 var var tttt u uL u u LL LG 根据 L 的形式可知 Yt 的形式为 1101 11 1 221 1202 12 1 1 111 0 12 1 k tii tt i k ttii tt i k NtNtNNtNNii tt i Yyu Yw Yyu Yw YwYyu 由于 ut 的方差矩阵为对角矩阵 wNj直接体现了变量的当期相关关系 因此 称这种方程 为结构 structural VAR 模型 需要注意的是 在 SVAR 模型分析中 Cholesky 分解结果依赖于变量的排序 事实上 由于 L 是下三角矩阵 因此 Cholesky 分解体现了变量因果关系的一种递推关系 即每个变 量影响排在其后面的所有变量 但不受排在其前面的变量的影响 因此 第一个变量影响所有 其他变量而不受其他变量的影响 是外生性最强的 而最后一个变量受所有其他变量的影响 而不影响其他变量 是内生性最强的 例例 考虑如下二元 VAR 1 模型 1 111 2 122 0 20 20 3 0 40 61 1 ttt ttt yyu yyu 21 var 11 tt u u 根据 Cholesky 分解 可得 1 10 0 51 L 模型两边同时乘以 L 1 1 111 2 122 100 20 20 3 0 510 30 70 95 ttt ttt yyv yyv 第二个方程 y2 为 211 12 12 0 30 50 70 95 ttttt yyyyv 类似地 将变量重新排序 可得到第二个方程 y1 为 122 11 11 0 21 00 80 8 ttttt yyyyv 8 6 2短期短期 SVAR 模型模型 Cholesky 分解只是 SVAR 模型的一种特殊形式 其最大局限在于 分析结果直接受到变 量排序的影响 而这一个问题的来源在于 Cholesky 分解中的递归性质 SVAR 估计的主要目 的在于在脉冲响应分析中获得随机误差项的非递归正交分解 设一般形式的系统方程为 A L Yt c vt vt IID 0 I 其中 A L A0 A1 L Ap Lp 为 n n 的多项式矩阵 I 为单位矩阵 注意 在结构方程 中每个方程中都存在内生解释变量 方程两边同时乘以 A0 1可得 A0 1 A L Yt A 0 1c A 0 1vt A0 1 A0 A1 L Ap Lp Y