四边形中“新定义”型试题探究

1 四边形中四边形中 新定义新定义 型试题探究型试题探究 浙江省象山县丹城中学 王赛英 徐敏贤 邮编 所谓 新定义 型试题 是指在试题中给出一个考生从未接触过的新概念 要求考生 现学现用 主要考查考生阅读理解能力 应用新知识能力 逻辑推理能力和创新能力 给 什么 用 什么 是 新定义 型试题解题的基本思路 以四边形为背景的几何 新 定义 型试题 看似平淡无奇 仔细研读却发现试题韵味无穷 极具探究价值和选拔功能 求解这类试题的关键是 正确理解新定义 并将此定义作为解题的依据 同时熟练掌握相 关的基本概念 性质 把握图形的变化规律 一 以特殊点为契机进行一 以特殊点为契机进行 新定义新定义 例 1 2007 年宁波市中考数学试题 四边形一条对角线所在直线上的点 如果到这条 对角线的两端点的距离不相等 但到另一对角线的两个端点的距离相等 则称这点为这个 四边形的准等距点 如图 l 点 P 为四边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一点 PD PB PA PC 则点 P 为四边形 ABCD 的准等距点 1 如图 2 画出菱形 ABCD 的一个准等距点 2 如图 3 作出四边形 ABCD 的一个准等距点 尺规作图 保留作 图痕迹 不要求写作法 3 如图 4 在四边形 ABCD 中 P 是 AC 上的点 PA PC 延长 BP 交 CD 于点 E 延长 DP 交 BC 于点 F 且 CDF CBE CE CF 求证 点 P 是四边形 ABCD 的准等距点 4 试研究四边形的准等距点个数的情况 说出相应四边形的特征及准等距点的个数 不 必证明 解 1 如图 2 连结 AC 在 AC 上任取除 AC 中点外的点 P 点 P 即为所画点 2 如图 3 连结 BD 作 BD 的中垂线交直线 AC 于点 P 因点 P 不是 AC 的中点 故点 P 即为所求作点 3 如图 4 连结 DB 在 DCF 与 BCE 中 CDF CBE DCF BCE CF CE DCF BCE AAS CD CB CDB CBD PDB PBD PD PB PA PC 点 P 是四边形 ABCD 的准等距点 4 当四边形的对角线互相垂直且任何一条对角线不平分另一对角线时 准等距点 的个数为 0 个 四边形的对角线互相垂直且至少有一条对角线平分另一对角线时 准等距点有无数 个 图 2 图 1 图 3 D C B A P 图 4 D E C F B PA 图4 2 当四边形的对角线不互相垂直 但互相平分时 准等距点的个数为 0 个 当四边形的对角线不互相垂直 又不互相平分 且有一条对角线的中垂线经过另一 对角线的中点时 准等距点的个数为 1 个 当四边形的对角线既不互相垂直又不互相平分 且任何一条对角线的中垂线都不经 过另一条对角线的中点时 准等距点的个数为 2 个 评析 本道题以特殊点为契机 创设了一个全新的概念 四边形的准等距点 第 1 小题是新定义的简单应用 第 2 小题根据新定义的内涵作图 其实质作一对角线的 中垂线与另一对角线的交点 且这一交点不在另一对角线的中点上 思维敏锐 镇定从容 的同学 从作图中不难发现一般的四边形等距点可能为 0 1 2 无数个 第 3 小题 常 中见新 拙中藏巧 利用新定义及三角形有关知识就可使命题获证 第 4 小题则难度极 大 对分析问题能力 分类讨论能力 抽象思维能力 归纳能力及语言表达能力提出了极 高的要求 好在 1 2 两小题解决后累积的经验 为第 4 小题解决铺设了平台 尤 其是第 2 小题画图时产生的灵感 为第 4 小题的解决指引着思维的方向 于是 类比 联想能力强 思维敏捷的同学会从对角线位置关系入手 对四边形等距点个数进行分类研究 思维严密 深刻的同学 会根据对角线垂直与否及是否平分 分成五类 最后 经抽象 归纳成四类 二 二 以特殊以特殊边边为契机为契机边进行边进行 新定义新定义 例 2 2007 年北京市中考数学试题 我们知道 有两条边相等的三角形叫做等腰三角 形 类似地 我们定义 至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形 1 请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称 2 如图 在 ABC 中 点 D E 分别在 AB AC 上 设 CD BE 相交于点 O 若 A 60 DCB EBC A 请你 1 2 写出图中一个与 A 相等的角 并猜想图中哪个四边形是等对边四 边形 3 在 ABC 中 如果 A 是不等于 60 的锐角 点 D E 分别在 AB AC 上 且 DCB EBC A 探究 满足上述条件的图形中是否存在等对 1 2 边四边形 并证明你的结论 解 1 平行四边形 等腰梯形等 2 答 与 A 相等的角是 BOD 或 COE 四边形 DBCE 是等对边四边形 3 答 此时存在等对边四边形 是四边形 DBCE 证明 如图 5 作 CG BE 于 G 点 作 BF CD 交 CD 延长线于 F 点 F 900 EGC BC 为公共边 1 2 DCBEBCA BCFCBG BF CG BDF ABE EBC DCB BEC ABE A BDF BEC 又 F EGC BD CE 四边形 DBCE 是等对边四边形 BDFCEG 评析 此题以一组对边相等关系为契机 创设了一个全新的概念 等对边四边形 语 B O A D E C F G 图 5 3 言精练 设问流畅 层次感强 解决此题 需较强的分析问题能力 推理论证能力 第 1 小题是新定义的简单应用 第 2 小题的第一问 利用三角形的内外角的数量关系即可解 决 而第二问 易得猜想 BD CE 四边形 DBCE 为等对边四边形 但凭直角得到的猜想 不一定可靠 为此大多数考生会设法证明自己的猜想 由公共边 BC DCB EBC A 30 BOD COE 60 这些条件及要证的猜想 BD CE 不 1 2 难想到添辅助线的方法 分别过点 B C 作 CD BE 的垂线 从而证明自己的猜想 第 3 小题完全可类比第 2 小题的第二问进行 先证 再证得BCFCBG 继而使问题获得解决 当然 第 3 小题 也可作 HCB DBCBDFCEG 交 BE 于点 H 构造全等三角形 BDC 与 CHB 得 BD CH 再证 CH CE 也可使问 题获得解决 三 以特殊角为三 以特殊角为契机契机进行进行 新定义新定义 例 3 2006 年安徽省中考数学试题 如图 6 凸四边形 ABCD 中 如果点 P 满足 APD APB 且 BPC CPD 则称点 P 为四边形 ABCD 的一个半等角 点 l 在图 7 正方形 ABCD 内画一个半等角点 P 且满足 2 在图 8 四边形 ABCD 中画出一个半等角点 P 保留画图痕迹 不需写出画法 3 若四边形 ABCD 有两个半等角点 P1 P2 如图 9 证明线段 P1 P2上任一点 也是它的半等角点 解 1 所画的点 P 在 AC 上且不是 AC 的中点和 AC 的端点 即可 2 画点 B 关于 AC 的对称点 B 延长 D B 交 AC 于点 P 点 P 即为所求的点 3 连 P1A P1D P1B P1C 和 P2D P2B 根据题意 A P1D A P1B D P1C B P1C A P1B B P1C 1800 P1在 AC 上 同理 P2也在 AC 上 在 D P1 P2和 BP1 P2中 D P1 P2 B P1 P2 D P2 P1 B P2P1 P1 P2 P1 P2 D P1 P2 BP1 P2 P1D P1B P2D P2B B D 关于 AC 对称 设 P 是 P1 P 上任一点 连结 PD PB 由 对称性 得 DPA BPA DPC BPC 点 P 是四边形的半等角点 评析 此题以顶点相同的四个角满足特殊的数量 位置关系为契机 创设了一个全新 的概念 四边形半等角点 第 1 小题是新定义的直接应用 第 2 小题 语言简洁 精 练 看似平淡 实则蕴涵丰富的思维内涵 突出考查了学生灵活运用基础知识解决问题的 能力 通过分析 发现所求作的点在对角线 AC 上 且 DPA BPA 但要画出点 P 仍不 容易 继续分析 发现 DPB 关于直线 AC 对称 点 B 关于 AC 的对称点 B 在 DP 上 至此 才峰回路转 柳暗花明 第 3 小题要证明线段 P1 P2上任一点也是它的半等角点 需先证 A P1 P2 B 四点在一直线上 再证线段 P1 P2上任一点满足条件 DPA B 图 6 图 9 图 7 A C D B P 图 8 P B I A D C 4 BPA DPC BPC 从而使问题获证 此小题对思维的严密性提出了较高的要求 四 四 以特殊以特殊对角线为对角线为契机契机进行进行 新定义新定义 例 4 2006 年北京市中考数学试题 我们给出如下定义 若一个四边形的两条对角线相 等 则称这个四边形为等对角线四边形 请解答下列问题 1 写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称 2 探究 当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为 600时 这对 600角所对的两边 之和与其中一条对角线的大小关系 并证明你的结论 解 1 矩形 等腰梯形 2 结论 等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为 600时 这对 600角所对的两边之 和大于或等于一条对角线的长 已知 四边形中 对角线 交于点 ABCDACBDOACBD 且 60AOD 求证 BCADAC 证明 过点作 在上截DDFAC DF 取 使 连结 DEDEAC CEBE 四边形是平60EDOAOD ACED 行四边形 又CEAD DE AC ACBD BD EDO 600 是等边三角形 当与在BDE BEDEAC BCCE 同一条直线上时 如图 10 则 当与不BCCEBE BCADAC BCCE 在同一条直线上时 如图 11 在中 有 BCE BCCEBE 综合 得 BCADAC BCADAC 即等对角线四边形中两条对角线所夹角为 600时 这对 600角所对的两边之和大于或等 于其中一条对角线的长 评析 此题以对角线之间满足相等关系为契机 创设了一个全新的概念 等对角线 四边形 第 1 小题考查学生运用新知识的能力及掌握课标规定的双基知识的情况 第 2 小题 语言精练 构思精巧 涉及的知识点不多 但思维含量及高 着重考查学生观察力 分析能力 逻辑推理能力 好多考生面对此题 犹如 昨夜西风凋碧树 独上高楼 望尽天 涯路 解决此题 可就其特殊情形入手 即当此等对角线四边形为梯形时先研究 不难想 到等对角线梯形问题常添辅助线是平移对角线至过角的顶点 从而使特殊情形时问题获证 对于一般情形 则可类比特殊情形的方法 使问题得到解决 五 以特殊位置关系为五 以特殊位置关系为契机契机进行进行 新定义新定义 例 5 2005 年资阳市中考数学试题 阅读以下短文 然后解决下列问题 如果一个三角形和一个矩形满足条件 三角形的一边与矩形的一边重合 且三角形的 这边所对的顶点在矩形这边的对边上 则称这样的矩形为三角形的 友好矩形 如图 12 所 示 矩形 ABEF 即为 ABC 的 友好矩形 显然 当 ABC 是钝角三角形时 其 友好矩形 AD E F C B O 图 1 图 10 A D E F C B O 图 11 5 只有一个 1 仿照以上叙述 说明什么是一个三角形的 友好平行四边形 2 如图 13 若 ABC 为直角三角形 且 C 90 在图 13 中画出 ABC 的所有 友 好矩形 并比较这些矩形面积的大小 3 若 ABC 是锐角三角形 且 BC AC AB 在图 14 中画出 ABC 的所有 友好矩 形 指出其中周长最小的矩形并加以证明 解 1 如果一个三角形和一个平行四边形满足条件 三角形的一边与平行四边形的 一边重合 三角形这边所对的顶点在平行四边形这边的对边上 则称这样的平行四边形为 三角形的 友好平行四边形 2 此时共有 2 个友好矩形 如图的矩形 BCAD ABEF 易知 矩形 BCAD ABEF 的面积都等于 ABC 面积的 2 倍 ABC 的 友好矩形 的面积相等 3 此时共有 3 个友好矩形 如图的矩形 BCDE CAFG 及 ABHK 其中的矩形 ABHK 的周长最小 证明 易知 这三个矩形的面积相等 令其为 S 设矩形 BCDE CAFG 及 ABHK 的周 长分别为 l1 l2 l3 ABC 的边长 BC a CA b AB c 则 l1 2a l2 2b l3 2S a 2S b 2c l1 l2 2a 2b 2 a b 而 ab S a b l1 l2 0 即 l1 2S c 2S a 2S b abS ab l2 同理可得 l2 l3 l3最小 即矩形 ABHK 的周长最小 评析 此题以图形的特殊位置关系为契机 创设了一个全新的概念 等对角线四边 形 试题平和清新 一题多问 层层平缓递进 为不同程度的学生展示自己的数学才华创设 了平台 第 1 小题是新定义的直接应用 第 2 小题是新定义的简单应用 前两小题为第 3 小题的解决作了铺垫 第 3 小题的解决 要抓住 变 中的 不变量 矩形面积 相等 然后 把三个矩形的周长用其面积及其与三角形