2003年全国高中数学联赛试题(及答案)

2003 年全国高中数学联赛试题年全国高中数学联赛试题 第一试第一试 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 6 分分 满分满分 36 分 分 1 删去正整数数列 1 2 3 中的所有完全平方数 得到一个新数列 这个新数列的第 2003 项是 A 2046 B 2047 C 2048 D 2049 2 设 a b R ab 0 那么 直线 ax y b 0 和曲线 bx2 ay2 ab 的图形是 O x y x y O x y O x y O A B C D 3 过抛物线 y2 8 x 2 的焦点 F 作倾斜角为 60 的直线 若此直线与抛物线交于 A B 两点 弦 AB 的中垂 线与 x 轴交于 P 点 则线段 PF 的长等于 A B C D 8 3 16 3 8 3 316 3 4 若 x 则 y tan x tan x cos x 的最大值是 12 5 3 3 2 6 6 A B C D 2 5 12 2 6 11 3 6 11 3 5 12 5 已知 x y 都在区间 2 2 内 且 xy 1 则函数 u 的最小值是 2 4 4 x 2 9 9 y A B 11 24 C 7 12 D 5 8 5 12 6 在四面体 ABCD 中 设 AB 1 CD 3 直线 AB 与 CD 的距离为 2 夹角为 则四面体 ABCD 的 3 体积等于 A B C D 2 3 2 1 3 1 3 3 二 填空题二 填空题 每小题每小题 9 分分 满分满分 54 分分 7 不等式 x 3 2x2 4 x 3 0 的解集是 8 设 F1 F2是椭圆的两个焦点 P 是椭圆上的点 且 PF1 PF2 2 1 则 PF1F2的面积等于1 49 22 yx 9 已知 A x x2 4x 3 0 x R B x 0 x2 2 a 7 x 5 0 x R 若 A B 则实数 a 的取值范围a x 1 2 是 10 已知 a b c d 均为正整数 且 logab logcd 若 a c 9 则 b d 2 3 4 5 11 将八个半径都为 1 的球分两层放置在一个圆柱内 并使得每个球和其相邻的四个球相切 且与 圆柱的一个底面及侧面都相切 则此圆柱的高等于 12 设 Mn 十进制 n 位纯小数 0 ai只取 0 或 1 i 1 2 n 1 an 1 Tn是 Mn中元素的个 n aaa 21 数 Sn是 Mn中所有元素的和 则 n n n T S lim 三 解答题三 解答题 每小题每小题 20 分 满分分 满分 60 分分 1 已知 证5 2 3 x1923153212 xxx 2 设 A B C 分别是复数 对应的不共线三点 aiz 0 biz 2 1 1 1 2 Rcbaciz 证 曲线与中平行于 AC 的中位线只有一个公共 sinsincos2cos 4 2 22 1 4 0 Rttzttztzz ABC 点 并求出此点 3 一张纸上画有半径为 R 的圆 O 和圆内一定点 A 且 OA a 折叠纸片 使圆周上某一点刚好与 A A 点重合 这样的每一种折法 都留下一条直线折痕 当取遍圆周上所有点时 求所有折痕所在直 A 线上点的集合 第二试第二试 一 一 过圆外一点 P 作圆的两条切线和一条割线 切点为 A B 所作割线交圆于 C D 两点 C 在 P D 之间 在弦 CD 上取一点 Q 使 求证 PBCDAQ PACDBQ 二 二 设三角形的三边长分别是整数且 已知 其中nml nml 444 10 3 10 3 10 3 nmt 求这种三角形周长的最小值 xxx 三 三 由 n 个点和这些点之间的 条连线段组成一个空间图形 其中 l1 2 qqn 已知此图中任四点不共面 每点至少有一条连线段 存在一点至少有Nqqqql 2 1 1 2 1 2 q 2 条连线段 证明 图中必存在一个空间四边形 即由 A B C D 和 AB BC CD DA 组成的图形 2003 年全国高中数学联赛第一试参考答案年全国高中数学联赛第一试参考答案 一 选择题一 选择题 123456 CBACDB 提示 1 注意到 故 2025452 2116462 2048452003 2003 a 2 题设方程可化为和 观察图形可知 baxy 1 22 b y a x 3 易知直线 AB 的方程为 因此 A B 两点的横坐标满足方程 从而弦 AB 中点xy3 01683 2 xx 的横坐标为 纵坐标 进而求得中垂线方程之后 令 y 0 得点 P 的横坐标即 3 4 0 x 3 4 0 y PF 3 16 4 原函数可化为 可以证明函数在已知的区间上为增函数 故当 6 cos 3 4 2sin 2 x x y 时 y 取最大值 3 x3 6 11 5 消去 y 之后可得 用基本不等式可求得函数 u 的最小值 2 2 4 937 35 1 x x u 5 12 6 可用等积法求得 过程略 二 填空题二 填空题 7 提示 原不等式可以化为 3 2 15 2 15 3 01 3 2 xxx 8 4 是直角三角形 故的面积为 21F PF 21F PF 442 2 1 2 1 21 PFPFS 9 14 a 提示 令 则只需在 1 3 上的 3 1 A axf x 1 2 572 2 xaxxg xgxf 图象均在 x 轴的下方 其充要条件是 由此推出 03 01 03 01 g g f f 14 a 10 93 提示 由已知得 又 故dcba 4 5 2 3 42 c d c a b a9 ca 推得 9 2 2 2 2 42 c d a b c d a b c d a b 1 9 2 2 2 2 c d a b c d a b 32 125 16 25 db ca 11 4 82 提示 如图 上下层的四个球的球心 A1 B1 C1 D1 A B C D 分别是上下两个 边长为 2 的正方形的顶点 且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱 同时 A1 在底面上的射影 M 为弧 AB 的中点 由于 A1A A1B AB 2 求得2 OAOM12 MN 故所求的高为 4 22 11 8 MNNAMA 4 82 12 提示 1 18 1 2 n n T n n n n n S 10 1 2 10 1 10 1 10 1 2 2 1 1 12 1 三 解答题三 解答题 13 证明 由可得 bdacdacdbcabdcbadcba 2 22222 当且仅当 a b c d 时取等号 5 分 2 2222 dcbadcba 则 xxxxxxx315321123153212 15 分192142 x 因为不能同时相等 所以xxx315 32 1 20 分1923153212 xxx 14 设 则代入并由复数相等可得 Ryxyixz 即因为 A B C 不共线 10121 sin 2 2 2 xcxxxbxay tx axabxbcay 22 2 所以 可见所给曲线是抛物线段 图略 5 分02 bca AB BC 的中点分别是 2 4 3 2 4 1cb E ba D 所以 DE 的方程为 10 分 cbaxacy 23 4 1 联立两式得 得 注意到 所以抛物线与中平行于 AC 的 0 2 1 2 2 xbca 2 1 x 4 3 2 1 4 1 ABC 中位线 DE 有且只有一个公共点 此点的坐标为 相应的复数为 4 2 2 1bca i bca z 4 2 2 1 15 分 15 如图建立直角坐标系 设 MN 为 AA1 的中垂线 设 P x y 是 MN 上任一点 sin cos 1 RRA 则 PA PA1 5 分 代入推得 10 分 axaRyxR2sincos2 22 可得其中 2 2 sin 22 22 yxR axaR 22 sin yx x 所以 15 分 22 cos yx y 1 2 2 22 22 yxR axaR 平方后可化为1 222 2 22 2 2 2 aR y R a x 所求点的集合为椭圆外 含边界 部分 20 分1 222 2 22 2 2 2 aR y R a x 2003 年全国数学联赛二试解答年全国数学联赛二试解答 1 证明 证明 四点共圆 由已知 ABCDABCADC PBCDAQ 而是 的一个外角 PBAPBCABCDAQADC PQA ADQ DAQADCPQA PBAPQA 故 四点共圆 从而 PAQBAPQABQ 所以ABCABQCBDQBD ADCAPQCAD 180 CADADCAPQ 180 命题得证 CADPAD PAC 2 解 解 444 10 3 10 3 10 3 nml nml 333 4 10mod 考虑最小的正整数 使之满足 p13 p4 10mod134 10modp 4 令 即 qp4 1 110 93 224 qqq4 10mod 于是 11000100101 3 2 2 2 1 2 qqq CCC 4 10mod 0 6 22 12 2 1000 2 12 2 100210 qqqqq q 4 10mod 0 6 22 12 2 100 2 12 2 102 qqqqq q 3 10modq2 10q 5 令 则 sq5 0 6 210 110 10 100 2 110 10 1010 sssss s 3 10mod 即 0 6 210 110 10 10 2 110 10 sssss s100mods 5 令 则 ts5 0 6 250 150 50 10 2 150 50 5 ttttt t100mod 0 6 250 150 10 10 2 150 10 ttttt t20modt