北京市海淀区2018届高三第一学期期末理科数学试题(Word版含答案)

1 海淀区高三年级第一学期期末练习 数学 理科 2018 1 第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共一 选择题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目要求的一项 1 复数1 2i i A B C D 2i 2i 2i 2i 2 在极坐标系中 方程表示的圆为Ox2sin A B C D 3 执行如图所示的程序框图 输出的值为k A 4 B 5 C 6 D 7 4 设是不为零的实数 则 是 方程表示m0m 22 1 xy mm 的曲线为双曲线 的 2 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5 已知直线与圆相交于两点 且为正三角形 则实数的值为0 xym 22 1O xy A BAOB m A B C 或 D 或 3 2 6 2 3 2 3 2 6 2 6 2 6 从编号分别为 1 2 3 4 5 6 的六个大小完全相同的小球中 随机取出三个小球 则恰有两个小球编号相 邻的概率为 A B C D 1 5 2 5 3 5 4 5 7 某三棱锥的三视图如图所示 则下列说法中 三棱锥的体积为 1 6 三棱锥的四个面全是直角三角形 三棱锥的四个面的面积最大的是 3 2 所有正确的说法是 A B C D 3 8 已知点为抛物线的焦点 点为点关于原点的对称点 点在抛物线上 F 2 2 0 C ypx p KFMC 则下列说法错误的是 A 使得为等腰三角形的点有且仅有 4 个MFK M B 使得为直角三角形的点有且仅有 4 个MFK M C 使得的点有且仅有 4 个 4 MKF M D 使得的点有且仅有 4 个 6 MKF M 第二部分 非选择题第二部分 非选择题 共共 110110 分 分 二 填空题共二 填空题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 点到双曲线的渐近线的距离是 2 0 2 2 1 4 x y 10 已知公差为 1 的等差数列中 成等比数列 则的前 100 项和为 n a 1 a 2 a 4 a n a 11 设抛物线的顶点为 经过抛物线的焦点且垂直于轴的直线和抛物线交于两点 2 4C yx OCxC A B 则 OAOB 12 已知的展开式中 各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64 1 则 51 nx n 13 已知正方体的棱长为 点是棱的中点 点在底面内 点在 1111 ABCDABC D 4 2MBCPABCDQ 线段上 若 则长度的最小值为 11 AC1PM PQ 4 14 对任意实数 定义集合 k 20 20 0 k xy Dx yxyx yR kxy 若集合表示的平面区域是一个三角形 则实数的取值范围是 k Dk 当时 若对任意的 有恒成立 且存在 使得0k k x yD 3 1ya x k x yD 成立 则实数的取值范围为 xya a 三 解答题共三 解答题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题 13 分 如图 在中 点在边上 且 ABC DAC3 7 36 ADBC ABADBC 求的值 DC 求的值 tanABC 16 本小题 13 分 据中国日报网报道 2017 年 11 月 13 日 TOP500 发布的最新一期全球超级计算机 500 强榜单显示 中国超 算在前五名中占据两席 其中超算全球第一 神威太湖之光 完全使用了国产品牌处理器 为了了解国产品牌 5 处理器打开文件的速度 某调查公司对两种国产品牌处理器进行了 12 次测试 结果如下 数值越小 速度越 快 单位是 MIPS 测试 1 测试 2 测试 3 测试 4 测试 5 测试 6 测试 7 测试 8 测试 9 测试 10 测试 11 测试 12 品牌 A 3691041121746614 品牌 B 2854258155121021 从品牌 A 的 12 次测试中 随机抽取一次 求测试结果小于 7 的概率 从 12 次测试中 随机抽取三次 记X X为品牌 A 的测试结果大于品牌 B 的测试结果的次数 求X X的分 布列和数学期望E E X X 经过了解 前 6 次测试是打开含有文字和表格的文件 后 6 次测试是打开含有文字和图片的文件 请你 依据表中数据 运用所学的统计知识 对这两种国产品牌处理器打开文件的速度进行评价 17 本小题 14 分 如题 1 梯形中 为中点 将沿翻折到ABCD 1 2 ADBC CDBC BCCDADE ADABE BE 的位置 如图 2 1 ABE 求证 平面平面 1 ADE BCDE 求直线与平面所成角的正弦值 1 AB 1 ACD 设分别为和的中点 试比较三棱锥和三棱锥 图中未画出 的体 M N 1 AEBC 1 MACD 1 NACD 积大小 并说明理由 6 18 本小题 13 分 已知椭圆 点 22 29C xy 2 0 P 求椭圆的短轴长和离心率 C 过的直线 与椭圆相交于两点 设的中点为 判断与的大小 并证明你 1 0 lC M NMNTTPTM 的结论 7 19 本小题 14 分 已知函数 2 222 x f xeaxx 求曲线在点处的切线方程 yf x 当时 求证 函数有且仅有一个零点 0a f x 当时 写出函数的零点的个数 只需写出结论 0a f x 20 本小题 13 分 无穷数列满足 为正整数 且对任意正整数 为前项 中等于的项的个数 n a 1 an 1n a n 1 a 2 a n a n a 若 请写出数列的前 7 项 1 2a n a 8 求证 对于任意正整数 必存在 使得 M kN k aM 求证 是 存在 当时 恒有成立 的充要条件 1 1a mN nm 2n a n a 海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案海淀区高三年级第一学期期末练习参考答案 2018 12018 1 数学 理科 数学 理科 阅卷须知阅卷须知 1 评分参考中所注分数 表示考生正确做到此步应得的累加分数 9 2 其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分分 题 号 12345678 选 项 ADBADCDC 二 填空题二 填空题 本大题共本大题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分分 有两空的小题第一空有两空的小题第一空 3 3 分分 9 10 5050 11 2 12 6 13 2 5 5 33 14 1 1 1 2 5 三 解答题三 解答题 本大题共本大题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分分 15 本小题 13 分 解 如图所示 1 分 366 DBCADBC 故 2 分DBCC DBDC 设 则 DCx DBx 3DAx 在中 由余弦定理ADB 3 分 222 2cosABDADBDA DBADB 即 4 分 222 1 7 3 2 37 2 xxx xx 解得 即 5 分1x 1DC 方法一 在中 由 得 故ADB ADAB 60ABDADB 6 分 362 ABCABDDBC 在中 由正弦定理ABC 10 7 分 sinsin ACAB ABCACB 即 故 9 分 47 1 sin 2 ABC 2 sin 7 ABC 由 得 11 分 2 ABC 3 cos 7 ABC 13 分 22 tan3 33 ABC 方法二 在中 由余弦定理ADB 7 分 222 7 1 91 cos 227 12 7 ABBDAD ABD AB BD 由 故 9 分 0 ABD 3 3 sin 2 7 ABD 故 11 分tan3 3ABD 故 3 3 3tantan 2 63 tantan 3 633 1tantan 13 3 6 3 ABD ABCABD ABD 13 分 16 本小题 13 分 从品牌的 12 次测试中 测试结果打开速度小于 7 的文件有 A 测试 1 2 5 6 9 10 11 共 7 次 设该测试结果打开速度小于 7 为事件 因此 3 分A 7 12 P A 11 12 次测试中 品牌的测试结果大于品牌的测试结果的次数有 AB 测试 1 3 4 5 7 8 共 6 次 随机变量所有可能的取值为 0 1 2 3X 30 66 3 12 1 0 11 C C P X C 21 66 3 12 9 1 22 C C P X C 12 66 3 12 9 2 22 C C P X C 7 分 03 66 3 12 1 3 11 C C P X C 随机变量的分布列为X X0123 P 1 11 9 22 9 22 1 11 8 分 10 分 19913 0123 112222112 E X 本题为开放问题 答案不唯一 在此给出评价标准 并给出可能出现的答案情况 阅卷时按照标准酌 情给分 给出明确结论 1 分 结合已有数据 能够运用以下 8 个标准中的任何一个陈述得出该结论的理由 2 分 13 分 标准 1 会用前 6 次测试品牌 A 品牌 B 的测试结果的平均值与后 6 次测试品牌 A 品牌 B 的测试 结果的平均值进行阐述 这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的平均值均小于打开含有 文字和图片的文件的测试结果平均值 这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的平均速度均快于打开 含有文字和图片的文件的平均速度 12 标准 2 会用前 6 次测试品牌 A 品牌 B 的测试结果的方差与后 6 次测试品牌 A 品牌 B 的测试结 果的方差进行阐述 这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件的测试结果的方差均小于打开含有文字和 图片的文件的测试结果的方差 这两种品牌的处理器打开含有文字与表格的文件速度的波动均小于打开含有文 字和图片的文件速度的波动 标准 3 会用品牌 A 前 6 次测试结果的平均值 后 6 次测试结果的平均值与品牌 B 前 6 次测试结果 的平均值 后 6 次测试结果的平均值进行阐述 品牌 A 前 6 次测试结果的平均值大于品牌 B 前 6 次测试结果 的平均值 品牌 A 后 6 次测试结果的平均值小于品牌 B 后 6 次测试结果的平均值 品牌 A 打开含有文字和表 格的文件的速度慢于品牌 B 品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度快于品牌 B 标准 4 会用品牌 A 前 6 次测试结果的方差 后 6 次测试结果的方差与品牌 B 前 6 次测试结果的方 差 后 6 次测试结果的方差进行阐述 品牌 A 前 6 次测试结果的方差大于品牌 B 前 6 次测试结果的方差 品 牌 A 后 6 次测试结果的方差小于品牌 B 后 6 次测试结果的方差 品牌 A 打开含有文字和表格的文件的速度波 动大于品牌 B 品牌 A 打开含有文字和图形的文件的速度波动小于品牌 B 标准 5 会用品牌 A 这 12 次测试结果的平均值与品牌 B 这 12 次测试结果的平均值进行阐述 品牌 A 这 12 次测试结果的平均值小于品牌 B 这 12 次测试结果的平均值 品牌 A 打开文件的平均速度快于 B 标准 6 会用品牌 A 这 12 次测试结果的方差与品牌 B 这 12 次测试结果的方差进行阐述 品牌 A 这 12 次测试结果的方差小于品牌 B 这 12 次测试结果的方差 品牌 A 打开文件速度的波动小于 B 标准 7 会用前 6 次测试中 品牌 A 测试结果大于 小于 品牌 B 测试结果的次数 后 6 次测试中 品牌 A 测试结果大于 小于 品牌 B 测试结果的次数进行阐述 前 6 次测试结果中 品牌 A 小于品牌 B 的有 2 次 占 1 3 后 6 次测试中 品牌 A 小于品牌 B 的有 4 次 占 2 3 故品牌 A 打开含有文字和表格的文件的 速度慢于 B 品牌 A 打开含有文字和图片的文件的速度快于 B 标准 8 会用这 12 次测试中 品牌 A 测试结果大于 小于 品牌 B 测试结果的次数进行阐述 这 12 次测试结果中 品牌 A 小于品牌 B 的有 6 次 占 1 2 故品牌 A 和品牌 B 打开文件的速度相当 参考数据参考数据 期望前 6 次后 6 次12 次 品牌 A 5 509 837 67 13 品牌 B 4 3311 838 08 品牌 A 与品牌 B 4 9210 83 方差前 6 次后 6 次12 次 品牌 A 12 30 27 37 23 15 品牌 B 5 07 31 77 32 08 品牌 A 与品牌 B 8 27 27 97 17 本小题 14 分 证明 因为 平面 1 BEAE BEDE 1 AEDEE I 1 AEDE 1 ADE 1 分 所以平面 2 分BE 1 ADE 因为平面 所以平面平面 3 分BE BCDE 1 ADE BCDE 解 在平面内作 1 ADEEFED 由平面 建系如图 4 分BE 1 ADE 则 1 13 0 22 A 1 0 0 B 1 1 0 C 0 1 0 D 0 0 0 E 1 13 1 22 AB uuu r BC E D A1 z x y M N 14 7 分 1 13 0 22 AD uuu r 1 0 0 DC uuu r 设平面的法向量为 则 1 ACD nx y z r 即 令得 1 0 0 n AD n DC r uuu r r uuu r 13 0 22 0 yz x 1z 3y 所以是平面的一个方向量 9 分 0 3 1 n r 1 ACD 10 分 1 1 1 36 cos 42 2 AB n AB n ABn uuu r r uuu r r uuu rr 所以与平面所成角的正弦值为 11 分 1 AB 1 ACD 6 4 解 三棱锥和三棱锥的体积相等 12 分 1 MACD 1 NACD 理由如 方法一 由 知 则 13 0 44 M 1 1 0 2 N 13 1 44 MN uuu r 0MN n uuu r r 因为平面 所以平面 13 分MN 1 ACD MN 1 ACD 故点 到平面的距离相等 有三棱锥和同底等高 所以体积相等 MN 1 ACD 1 MACD 1 NACD 14 分 方法二 如图 取中点 连接 DEPMPNPMN 因为在中 分别是 的中点 所以 1 ADE MP 1 AEDE 1 MPAD 因为在正方形中 分别是 的中点 所以BCDENPBCDE NPCD 因为 平面 平面MPNPP MPNP MNP 1 ADCD 1 ACD 15 所以平面平面MNP 1 ACD 因为平面 所以平面 13 分MN MNP MN 1 ACD 故点 到平面的距离相等 有三棱锥和同底等高 所以体积相等 MN 1 ACD 1 MACD 1 NACD 14 分 BC E D A1 M N P BC E D A1 M N Q 法二法三 方法三 如图 取中点 连接 1 ADQMNMQCQ 因为在中 分别是 的中点 所以且 1 ADE MQ 1 AE 1 AD MQED 1 2 MQED 因为在正方形中 是的中点 所以且BCDENBC NCED 1 2 NCED 所以且 故四边形是平行四边形 故 MQNCMQNC MNCQ MNCQ 因为平面 平面 所以平面 13 分CQ 1 ACDMN 1 ACD MN 1 ACD 故点 到平面的距离相等 有三棱锥和同底等高 所以体积相等 MN 1 ACD 1 MACD 1 NACD 14 分 18 本小题 13 分 16 解 故 C 22 1 9 9 2 xy 2 9a 2 9 2 b 2 9 2 c 有 3 分3a 3 2 2 bc 椭圆的短轴长为 离心率为 5 分C23 2b 2 2 c e a 结论是 6 分 TPTM 设直线 l1xmy 11 M x y 22 N xy 整理得 8 分 22 29 1 xy xmy 22 2 280mymy 222 2 32 2 36640mmm 故 10 分 12 2 2 2 m yy m 12 2 8 2 y y m PM PN uuu r uuu r 11 分 1212 2 2 xxy y 1212 1 1 mymyy y 2 1212 1 1my ym yy 2 22 82 1 1 22 m mm mm 12 分 2 2 56 2 m m 0 故 即点在以为直径的圆内 故 13 分90MPN PMN TPTM 17 19 本小题 14 分 因为函数 2 222 x f xaxx e 所以 2 分 222 x fxax e 故 4 分 0 0f 0 0f 曲线在处的切线方程为 5 分 yf x 0 x 0y 当时 令 则0a 222 x g xfxax e 220 x g xa e 6 分 故是上的增函数 7 分 g xR 由 故当时 当时 0 0g 0 x 0g x 0 x 0g x 即当时 当时 0 x 0fx 0 x 0fx 故在单调递减 在单调递增 9 分 f x 0 0 函数的最小值为 10 分 f x 0 f 由 故有且仅有一个零点 12 分 0 0f f x 当时 有一个零点 当且时 有两个零点 1a f x0a 1a f x 14 分 20 本小题 13 分 解 2 1 1 2 2 3 1 3 分 18 假设存在正整数 使得对任意的 由题意 M k N k aM 1 2 3 k aM 考虑数列的前项 n a 2 1M 1 a 2 a 3 a 2 1M a 其中至少有项的取值相同 不妨设1M 121M iii aaa 此时有 矛盾 1 1 1 M i aMM 故对于任意的正整数 必存在 使得 8 分M k N k aM 充分性 当时 数列为 1 1a n a112131411k 1k 特别地 21k ak 2 1 k a 故对任意的 n N 1 若为偶数 则n 2 1 nn aa 2 若为奇数 则n