中考数学-尺规作图专题复习

中考总复习 二次函数中考总复习 二次函数 知识讲解 基础 知识讲解 基础 考纲要求考纲要求 1 二次函数的概念常为中档题 主要考查点的坐标 确定解析式 自变量的取值范围等 2 二次函数的解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标等是中考命题的热点 3 抛物线的性质 平移 最值等在选择题 填空题中都出现过 覆盖面较广 而且这些内容的综合题 一般较难 在解答题中出现 知识网络知识网络 考点梳理考点梳理 考点一 二次函数的定义考点一 二次函数的定义 一般地 如果 a b c 是常数 a 0 那么 y 叫做 x 的二次函数 2 yaxbxc 要点诠释 要点诠释 二次函数 a 0 的结构特征是 1 等号左边是函数 右边是关于自变量 x 的二次 2 yaxbxc 式 x 的最高次数是 2 2 二次项系数 a 0 考点二 二次函数的图象及性质考点二 二次函数的图象及性质 1 二次函数 a 0 的图象是一条抛物线 顶点为 2 yaxbxc 2 4 24 bacb aa 2 当 a 0 时 抛物线的开口向上 当 a 0 时 抛物线的开口向下 3 a 的大小决定抛物线的开口大小 a 越大 抛物线的开口越小 a 越小 抛物线的开口越大 c 的大小决定抛物线与 y 轴的交点位置 c 0 时 抛物线过原点 c 0 时 抛物线与 y 轴交于正 半轴 c 0 时 抛物线与 y 轴交于负半轴 ab 的符号决定抛物线的对称轴的位置 当 ab 0 时 对称轴为 y 轴 当 ab 0 时 对称轴在 y 轴左侧 当 ab 0 时 对称轴在 y 轴的右侧 4 抛物线的图象 可以由的图象移动而得到 2 ya xhk 2 yax 将向上移动 k 个单位得 2 yax 2 yaxk 将向左移动 h 个单位得 2 yax 2 ya xh 将先向上移动 k k 0 个单位 再向右移动 h h 0 个单位 即得函数 2 yax 的图象 2 ya xhk 要点诠释 要点诠释 求抛物线 2 yaxbxc a 0 的对称轴和顶点坐标通常用三种方法 配方法 公式法 代入 法 这三种方法都有各自的优缺点 应根据实际灵活选择和运用 考点三 二次函数的解析式考点三 二次函数的解析式 1 1 一般式一般式 a 0 2 yaxbxc 若已知条件是图象上的三个点 则设所求二次函数为 将已知条件代入 求出 2 yaxbxc a b c 的值 2 2 交点式 双根式 交点式 双根式 12 0 ya xxxxa 若已知二次函数图象与 x 轴的两个交点的坐标为 x1 0 x2 0 设所求二次函数为 将第三点 m n 的坐标 其中 m n 为已知数 或其他已知条件代入 求出待定系 12 ya xxxx 数 最后将解析式化为一般形式 3 3 顶点式顶点式 2 0 ya xhk a 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值 或最小值 设所求二次函数为 将已知条件代入 求出待定系数 最后将解析式化为一般形式 2 ya xhk 4 4 对称点式对称点式 12 0 ya xxxxm a 若已知二次函数图象上两对称点 x1 m x2 m 则可设所求二次函数为 将已知条件代入 求得待定系数 最后将解析式化为一般形 12 0 ya xxxxm a 式 要点诠释 要点诠释 已知图象上三点或三对 的值 通常选择一般式 已知图象的顶点或对称轴 通常选择顶点式 可以看成的图象平移后所对应的函数 已知图象与轴的交点坐标 通常选用交点式 a 0 由此得根与系数的关系 考点四 二次函数考点四 二次函数 a 0 a 0 的图象的位置与系数的图象的位置与系数 a a b b c c 的关系的关系 2 yaxbxc 1 开口方向 a 0 时 开口向上 否则开口向下 2 对称轴 时 对称轴在 y 轴的右侧 当时 对称轴在 y 轴的左侧 0 2 b a 0 2 b a 3 与 x 轴交点 时 有两个交点 时 有一个交点 时 没有 2 40bac 2 40bac 2 40bac 交点 要点诠释 要点诠释 当 x 1 时 函数 y a b c 当 x 1 时 函数 y a b c 当 a b c 0 时 x 1 与函数图象的交点在 x 轴上方 否则在下方 当 a b c 0 时 x 1 与函数图象的交点在 x 轴的上方 否则在下方 考点五 二次函数的最值考点五 二次函数的最值 1 当 a 0 时 抛物线有最低点 函数有最小值 当时 2 yaxbxc 2 b x a 2 4 4 acb y a 最小 2 当 a 0 时 抛物线有最高点 函数有最大值 当时 2 yaxbxc 2 b x a 2 4 4 acb y a 最大 要点诠释 要点诠释 在求应用问题的最值时 除求二次函数的最值 还应考虑实际问题的自变量的取 2 yaxbxc 值范围 典型例题典型例题 类型一 应用二次函数的定义求值类型一 应用二次函数的定义求值 1 二次函数 y x2 2 k 1 x k 3 有最小值 4 且图象的对称轴在 y 轴的右侧 则 k 的值是 思路点拨 因为图象的对称轴在 y 轴的右侧 所以对称轴 x k 1 0 即 k 1 又因为二次函数 y x2 2 k 1 x k 3 有最小值 4 所以 y最小值 4 可以求出 k 的值 4 4 2 k 3 2k 2 答案与解析 解 图象的对称轴在 y 轴的右侧 对称轴 x k 1 0 解得 k 1 二次函数 y x2 2 k 1 x k 3 有最小值 4 y最小值 k 3 k 1 2 k2 k 2 4 4 4 2 k 3 2k 2 整理得 k2 k 6 0 解得 k 2 或 k 3 k 3 1 不合题意舍去 k 2 总结升华 求二次函数的最大 小 值有三种方法 第一种可由图象直接得出 第二种是配方法 第三种是公式法 举一反三 举一反三 变式变式 已知是二次函数 求 k 的值 2 4 3 kk ykx 答案 是二次函数 则 2 4 3 kk ykx 2 42 30 kk k 由得 2 42kk 2 60kk 即 得 显然 当 k 3 时 3 2 0kk 1 3k 2 2k 原函数为 y 0 不是二次函数 k 2 即为所求 类型二 二次函数的图象及性质的应用类型二 二次函数的图象及性质的应用 2 把抛物线向左平移 1 个单位 然后向上平移 3 个单位 则平移后抛物线的解析式为 2 yx A B 2 1 3yx 2 1 3yx C D 2 1 3yx 2 1 3yx 思路点拨 抛物线的平移问题 实质上是顶点的平移 原抛物线 y x2顶点坐标为 0 0 向左平移 1 个单位 然后向上平移 3 个单位后 顶点坐标为 1 3 根据抛物线的顶点式可求平移后抛物线的解析式 答案 D 解析 根据抛物线的平移规律可知 向左平移 1 个单位可变成 2 yx 2 1 yx 再向上平移 3 个单位后可变成 2 1 3yx 总结升华 1 图象向左或向右平移 h 个单位 可得的图象 h 0 时向左 2 yax 2 ya xh h 0 时向右 2 的图象向上或向下平移 k 个单位 可得的图象 k 0 时向上 k 0 2 yax 2 yaxk 时向下 举一反三 举一反三 变式变式 将二次函数的图象向右平移 1 个单位长度 再向上平移 2 个单位长度后 所得图象的 2 yx 函 数表达式是 A B 2 1 2yx 2 1 2yx C D 2 1 2yx 2 1 2yx 答案 按照平移规律 上加下减 左加右减 得 故选 A 2 1 2yx 类型三 求二次函数的解析式类型三 求二次函数的解析式 3 已知二次函数的图象经过点 1 0 5 0 顶点纵坐标为 求这个二次 2 yaxbxc 9 2 函数的解析式 思路点拨 将点 1 0 5 0 代入二次函数 y ax2 bx c 再由 从而求得 a b c 的值 49 42 ac a 2 b 即得这个二次函数的解析式 答案与解析 解法一 由题意得 解得 0 2550 9 42 2 abc abc abc 1 2 2 5 2 a b c 所以二次函数的解析式为 2 15 2 22 yxx 解法二 由题意得 1 5 ya xx 把代入 得 解得 2x 9 2 y 9 2 1 25 2 a 1 2 a 所以二次函数的解析式为 1 1 5 2 yxx 即 2 15 2 22 yxx 解法三 因为二次函数的图象与 x 轴的两交点为 1 0 5 0 由其对称性知 对称轴是直线 所以 抛物线的顶点是 2x 9 2 2 可设函数解析式为 即 2 9 2 2 ya x 2 15 2 22 yxx 总结升华 根据题目的条件 有多种方法求二次函数的解析式 举一反三 举一反三 变式变式 已知 抛物线 2 1 yxbxc 经过点 12 Pb 1 求bc 的值 2 若3b 求这条抛物线的顶点坐标 3 若3b 过点P作直线PAy 轴 交y轴于点A 交抛物线于另一点B 且2BPPA 求 这条抛物线所对应的二次函数关系式 提示 请画示意图思考 答案 解 1 依题意得 2 1 1 1 2bcb 2bc 2 当3b 时 5c 22 25 1 6yxxx 抛物线的顶点坐标是 16 y x O BP A 3 解法 1 当3b 时 抛物线对称轴 1 1 2 b x 对称轴在点P的左侧 因为抛物线是轴对称图形 12 Pb 且2BPPA 32 Bb 1 2 2 b 5b 又2bc 7c 抛物线所对应的二次函数关系式 2 47yxx 解法 2 当3b 时 1 1 2 b x 对称轴在点P的左侧 因为抛物线是轴对称图形 12 Pb 且2 32 BPPABb 2 3 3 2 2bcb 又2bc 解得 57bc 这条抛物线对应的二次函数关系式是 2 47yxx 解法 3 2bc 2cb 2 1 2yxbxb BPx 轴 2 1 22xbxbb 即 2 1 20 xbxb 解得 12 1 2 xxb 即 2 B xb 由2BPPA 1 2 2 1b 57bc 这条抛物线对应的二次函数关系式 2 47yxx 类型四 二次函数图象的位置与类型四 二次函数图象的位置与 a a b b c c 的关系的关系 4 2015 包头 如图 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象与 x 轴交于点 A 1 0 对称 轴为直线 x 1 与 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 3 之间 包括这两点 下列结论 当 x 3 时 y 0 3a b 0 1 a 4ac b2 8a 其中正确的结论是 A B C D 思路点拨 先由抛物线的对称性求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为 3 0 从而可知当 x 3 时 y 0 由抛物线开口向下可知 a 0 然后根据 x 1 可知 2a b 0 从而可知 3a b 0 a a 0 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 则 y ax2 2ax 3a 令 x 0 得 y 3a 由抛物线与 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 3 之间 可知 2 3a 3 由 4ac b2 8a 得 c 2 0 与题意不符 答案 B B 答案与解析 解 由抛物线的对称性可求得抛物线与 x 轴令一个交点的坐标为 3 0 当 x 3 时 y 0 故 正确 抛物线开口向下 故 a 0 x 1 2a b 0 3a b 0 a a 0 故 正确 设抛物线的解析式为 y a x 1 x 3 则 y ax2 2ax 3a 令 x 0 得 y 3a 抛物线与 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 3 之间 2 3a 3 解得 1 a 故 正确 抛物线 y 轴的交点 B 在 0 2 和 0 3 之间 2 c 3 由 4ac b2 8a 得 4ac 8a b2 a 0 c 2 c 2 0 c 2 与 2 c 3 矛盾 故 错误 故选 B 总结升华 本题主要考查的是二次函数的图象和性质 掌握抛物线的对称轴 开口方向与系数 a b c 之间的关系 是解题的关键 举一反三 举一反三 变式变式 如图所示是二次函数图象的一部分 图象经过点 A 3 0 对称轴 2 yaxbxc 为 给出四个结论 其中正确结论1x 2 4bac 20ab 0abc 5ab 是 A B C D 答案 本例是利用二次函数图象的位置与 a b c 的和 差 积的符号问题 其中利用直线 1x 交抛物线的位置来判断 的符号问题应注意理解和掌握 1x abc abc 由图象开口向下 可知 a 0 图象与 x 轴有两个交点 所以 2 40bac 2 4bac 确 对称轴为 所以 又由 a 0 b 2a 可得 5a b 正确 1 2 b x a 2ba 故选 B 类型五 求二次函数的最值类型五 求二次函数的最值 5 某商品的进价为每件 40 元 售价为每件 50 元 每个月可卖出 210 件 如果每件商品的售价每 上涨 1 元 则每个月少卖 10 件 每件售价不能高于 65 元 设每件商品的售价上涨 x 元 x 为正整数 每个月的销售利润为 y 元 1 求 y 与 x 的函数关系式并直接写出自变量 x 的取值范围 2 每件商品的售价定为多少元时 每个月可获得最大利润 最大的月利润是多少元 3 每件商品的售价定为多少元时 每个月的利润恰为 2200 元 根据以上的结论 请你直接写出 售价在什么范围时 每个月的利润不低于 2200 元 思路点拨 1 每件商品的售价每上涨 1 元 则每个月少卖 10 件 当每件商品的售价上涨 x 元时 每个月可卖 出 210 10 x 件 每件商品的利润为 x 50 40 10 x 2 每个月的利润为卖出的商品数和每件商品的乘积 即 210 10 x 10 x 当每个月的利润恰为 2200 元时得到方程 210 10 x 10 x 2200 求此方程中 x 的值 答案与解析 1 y 210 l0 x 50 x 40 10 x2 110