历年数列高考题汇编

1 历年高考真题汇编 数列 含 1 全国新课标卷理 等比数列的各项均为正数 且 n a 2 12326 231 9 aaaa a 1 求数列的通项公式 n a 2 设 求数列的前项和 31323 loglog log nn baaa 1 n b 解 设数列 an 的公比为 q 由得所以 有条件 2 326 9aa a 32 34 9aa 2 1 9 q 可知 a 0 故 1 3 q 由得 所以 故数列 an 的通项式为 12 231aa 12 231aa q 1 1 3 a an 1 3n 111111 loglog log n baaa 12 1 2 n n n 故 1211 2 1 1 n bn nnn 12 111111112 2 1 22311 n n bbbnnn 所以数列的前 n 项和为 1 n b 2 1 n n 2 全国新课标卷理 设数列满足 n a 21 11 2 3 2 n nn aaa A 1 求数列的通项公式 n a 2 令 求数列的前 n 项和 nn bna n S 解 由已知 当 n 1 时 111211 nnnnn aaaaaaaa 2123 3 222 2 nn 2 1 1 2 n 而 所以数列 的通项公式为 1 2 a n a 21 2 n n a 由知 21 2 n nn bnan 3521 1 22 23 22 n n Sn 2 从而 235721 21 22 23 22 n n Sn 得 2352121 1 2 22222 nn n Sn 即 21 1 31 22 9 n n Sn 3 设 n a是公比大于 1 的等比数列 Sn为数列的前 n 项和 已知 n a S3 7 且 a1 3 3a2 a3 4 构成等差数列 1 求数列 n a的通项公式 2 令 求数列的前 n 项和 Tn 2 1 ln 13 nab nn n b 4 辽宁卷 已知等差数列 an 满足 a2 0 a6 a8 10 I 求数列 an 的通项公式 II 求数列的前 n 项和 1 2n n a 解 I 设等差数列的公差为 d 由已知条件可得 n a 1 1 0 21210 ad ad 解得 1 1 1 a d 故数列的通项公式为 5 分 n a2 n an II 设数列 即 1 2 n n n a nS 的前项和为 2 11 1 1 22 n n n aa SaS 故 12 2242 nn n Saaa 所以 当时 1n 3 121 1 1 1 1 2222 1112 1 2422 12 1 1 22 nnnn nn nn nn Saaaaa a n n 所以 2n n 1 2 n n n S 综上 数列 11 22 n n nn an nS 的前项和 5 陕西省 已知 an 是公差不为零的等差数列 a1 1 且 a1 a3 a9成等比数 列 求数列 an 的通项 求数列 2an 的前 n 项和 Sn 解 由题设知公 差 d 0 由 a1 1 a1 a3 a9成等比数列得 12 1 d 1 8 12 d d 解得d 1 d 0 舍去 故 an 的通项 an 1 n 1 1 n 由 知 2n 由等比数列前 n 项和公式得2 m a Sn 2 22 23 2n 2n 1 2 1 2 1 2 n 6 全国卷 设等差数列 的前 项和为 公比是正数的等比数列 的前 项 n an n s n bn 和为 已知的通项公式 n T 113333 1 3 17 12 nn ababTSb 求 a 解 设的公差为 的公比为 n ad n bq 由得 33 17ab 2 12317dq 由得 33 12TS 2 4qqd 由 及解得 0q 2 2qd 故所求的通项公式为 1 21 3 2n nn anb 7 浙江卷 已知公差不为 0 的等差数列的首项为 且 n a Raa 成等比数列 求数列的通项公式 1 1 a 2 1 a 4 1 a n a 对 试比较与的大小 Nn n aaaa 2 3 2 2 22 1 111 1 1 a 4 解 设等差数列的公差为 由题意可知 n ad 2 214 111 aaa 即 从而因为 2 111 3 ada ad 2 1 a dd 1 0 ddaa 所以 故通项公式 n ana 解 记 2 2 2 22 111 2 n n n n Taa aaa 因为 所以 2 11 1 1 111111 22 1 1 2222 1 2 n n n n T aaa 从而 当时 当0a 1 1 n T a 1 1 0 n aT a 时 8 湖北卷 成等差数列的三个正数的和等于 15 并且这三个数分别加上 2 5 13 后成为等比数列 n b中的 3 b 4 b 5 b I 求数列 n b的通项公式 II 数列 n b的前 n 项和为 n S 求证 数列 5 4 n S 是等比数列 5 9 2010 年山东卷 已知等差数列满足 的前 项和为 n a7 3 a26 75 aa n an n S 求及 n a n S 解 设等差数列的首项为 公差为 n a 1 ad 由于 所以 26102 1 da 7 3 a26 75 aa72 1 da 解得 2 d 由于 3 1 adnaan 1 1 2 1n n aan S 所以 12 nan 2 nnSn 因为 所以12 nan 1 41 2 nnan 因此 1 11 4 1 1 4 1 nnnn bn 6 故 nn bbbT 21 1 11 3 1 2 1 2 1 1 4 1 nn 所以数列的前项和 1 1 1 4 1 n 1 4 n n n bn 1 4 n n Tn 令 求数列的前 项和为 1 1 2 n n a b Nn n bn n T 10 重庆卷 已知是首项为 19 公差为 2 的等差数列 为的前 项和 n a n S n an 求通项及 n a n S 设是首项为 1 公比为 3 的等比数列 求数列的通 nn ba n b 项公式及其前 项和 n n T 11 四川卷 已知等差数列 n a 的前 3 项和为 6 前 8 项和为 4 求数列 n a 的通项公式 设 1 4 0 n nn ba qqnN 求数列 n b 的前 n 项和 n S 由 得解答可得 1n n bn q A 于是 0121 123 n n Sqqqn q AAA A 若 1q 将上式两边同乘以 q 有 121 121 nn n qSqqnqn q AA AA 两式相减得到 7 121 11 nn n qSn qqqq A 1 1 n n q nq q 1 11 1 nn nqnq q 于是 1 2 11 1 nn n nqnq S q 若 1q 则 1 123 2 n n n Sn 所以 1 2 1 1 2 11 1 1 nn n n n q S nqnq q q 12 12 上海卷 已知数列的前 项和为 且 n an n S585 nn Sna nN 证明 是等比数列 并求数列 n a 的通项公式 1 n a 解 由 1 585 nn SnanN 可得 即 111