安徽省池州一中2012-2013学年高一数学下学期期中试题（含解析）新人教A版

1 2012 20132012 2013 学年安徽省池州一中高一 下 期中数学试卷学年安徽省池州一中高一 下 期中数学试卷 一 选择题 每小题一 选择题 每小题 5 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 1 5 分 在 ABC 中 则 S ABC A B C D 考点 正弦定理的应用 专题 解三角形 分析 利用三角形的面积公式 S ABC 即可求得结论 解答 解 S ABC 故选 D 点评 本题考查三角形的面积公式 考查学生的计算能力 属于基础题 2 5 分 2012 杭州一模 必修 5 做 已知 x 1 则函数的最小值 为 A 4B 3C 2D 1 考点 基本不等式 专题 计算题 分析 由 x 1 可得 x 1 0 然后利用基本不等式可得 可求答案 注意等号成立的条件 解答 解 x 1 x 1 0 由基本不等式可得 当且仅当即 x 1 1 时 x 2 时取等号 故选 B 点评 本题主要考查基本不等式求解函数的最值 要注意配凑积为定值 注意基本不等式 应用的前提 属于基础题 2 3 5 分 若集合 M x x2 4 则 M N A x x 2 B x 2 x 3 C x x 2 或 x 3 D x x 3 考点 交集及其运算 专题 不等式的解法及应用 分析 通过求解一元二次不等式化简集合 M 求解分式不等式化简集合 N 然后直接利用交 集的运算进行求解 解答 解 由 x2 4 得 x 2 或 x 2 所以 M x x2 4 x x 2 或 x 2 又得 1 x 3 N x 1 x 3 所以 M N x x 2 或 x 2 x 1 x 3 2 3 故选 B 点评 本题考查了交集及其运算 考查了不等式的解法 是基础题 4 5 分 在 ABC 中 若 则 ABC 是 A 等腰三角形 B 等边三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形 考点 正弦定理 三角形的形状判断 专题 计算题 分析 利用正弦定理化简已知等式 变形后利用二倍角的正弦函数公式化简 得到 A 与 B 相等或互余 即可判断出三角形 ABC 的形状 解答 解 由正弦定理得 sinAcosA sinBcosB 即 sin2A sin2B sin2A sin2B 2A 2B 或 2A 2B 180 即 A B 或 A B 90 则 ABC 为等腰三角形或直角三角形 故选 D 点评 此题考查了正弦定理 以及三角形形状的判断 熟练掌握正弦定理是解本题的关 键 3 5 5 分 若 0 则下列不等式中 正确的不等式有 a b ab a b a b 2 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 考点 基本不等式 分析 由已知条件可得 b a 0 利用不等式的性质 逐一分析各选项 从而确定正确答 案 解答 解 0 b a 0 a b 0 ab 0 b a 故 正确 错误 a b 同号且 a b 均为正 2 2 故 正确 正确的不等式有 2 个 故选 B 点评 依据给定的条件 利用不等式的性质 判断不等式或有关的结论是否成立 是高考 考查的重点内容 需熟练掌握 6 5 分 下列不等式的解集是 R 的为 A x2 2x 1 0 B C D 考点 其他不等式的解法 一元二次不等式的解法 专题 计算题 分析 选项 A 解集为 x x 1 不合题意 选项 B x 0 时不等式不成立 选项 C 根 据指数函数的值域可得结论 选项 D x 0 时不等式无意义 从而得到正确选项 解答 解 选项 A x2 2x 1 x 1 2 0 则 x 1 不合要求 选项 B x 0 时不等式不成立 不合要求 选项 C 恒成立 恒成立 符合要求 选项 D x 0 时不等式无意义 不符合要求 故选 C 点评 本题考查一元二次不等式的解法 分式不等式的解法 指数不等式 及恒成立知识 4 属于基础题 7 5 分 2008 陕西 已知 an 是等差数列 a1 a2 4 a7 a8 28 则该数列前 10 项和 S10 等于 A 64B 100C 110D 120 考点 等差数列的前 n 项和 专题 计算题 分析 利用等差数列的通项公式 结合已知条件列出关于 a1 d 的方程组 求出 a1和 d 代入等差数列的前 n 项和公式求解即可 解答 解 设公差为 d 则由已知得 故选 B 点评 本题考查了等差数列的通项公式和前 n 项和公式 熟记公式是解题的关键 同时注 意方程思想的应用 8 5 分 ABC 的三个内角 A B C 的对边分别为 a b c 且 则 A A 30 B 60 C 120 D 150 考点 余弦定理 专题 计算题 解三角形 分析 利用余弦定理表示出 cosA 将已知的等式变形后代入求出 cosA 的值 由 A 为三角形 的内角 利用特殊角的三角函数值即可求出 A 的度数 解答 解 1 a2 b2 c2 bc 即 b2 c2 a2 bc cosA 又 A 为三角形的内角 则 A 60 故选 B 5 点评 此题考查了余弦定理 以及特殊角的三角函数值 利用了整体代入的思想 熟练掌 握余弦定理是解本题的关键 9 5 分 2010 天津 已知 an 是首项为 1 的等比数列 sn是 an 的前 n 项和 且 9s3 s6 则数列的前 5 项和为 A 或 5 B 或 5 C D 考点 等比数列的前 n 项和 等比数列的性质 专题 计算题 分析 利用等比数列求和公式代入 9s3 s6求得 q 进而根据等比数列求和公式求得数列 的前 5 项和 解答 解 显然 q 1 所以 所以是首项为 1 公比为 的等比数列 前 5 项和 故选 C 点评 本题主要考查等比数列前 n 项和公式及等比数列的性质 属于中等题 在进行等比 数列运算时要注意约分 降低幂的次数 同时也要注意基本量法的应用 10 5 分 已知等差数列 an 和 bn 的前 n 项和分别为 An和 Bn 且 则使得 为整数的正整数 n 的个数是 A 2B 3C 4D 5 考点 等差数列的性质 专题 等差数列与等比数列 分析 先将通项之比转化为前 n 项和之比 进而再用验证法得解 6 解答 解 7 验证知 当 n 1 4 9 时为整数的正整数 故选 B 点评 本题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和公式及性质的应用 属于中档题 二 填空题 每题二 填空题 每题 5 5 分 共分 共 2525 分 分 11 5 分 2009 苏州模拟 若实数 a b 满足 a b 2 则 3a 3b的最小值是 6 考点 基本不等式 专题 计算题 分析 根据基本不等式和指数运算可直接得到答案 解答 解 a b 2 3a 3b 2 2 6 当且仅当 a b 1 时等号成立 故答案为 6 点评 本题主要考查基本不等式的应用 应用基本不等式时要注意 一正 二定 三相等 为要满足的条件 12 5 分 等差数列 an 中 a1 a9 a2 a8 20 则 a3 a7 10 考点 等差数列的性质 专题 计算题 分析 把已知等式的左边前两项结合 后两项结合 利用等差数列的性质变形 列出所求 式子的关系式 即可得到所求式子的值 解答 解 a1 a9 a2 a8 a1 a9 a2 a8 2 a3 a7 20 a3 a7 10 故答案为 10 点评 此题考查了等差数列的性质 是一道高考的基础题 熟练掌握等差数列的性质是解 7 本题的关键 13 5 分 不等式 ax2 bx 2 0 的解集为 则 a b 等于 14 考点 一元二次不等式的解法 专题 计算题 分析 通过不等式解集转化为对应方程的根 然后根据韦达定理求出方程中的参数 a b 即可求出 a b 解答 解 不等式 ax2 bx 2 0 的解集为 为方程 ax2 bx 2 0 的两个根 根据韦达定理 由 解得 a b 14 故答案为 14 点评 本题考查一元二次不等式解集的定义 实际上是考查一元二次不等式解集与所对应 一元二次方程根的关系 属于中档题 14 5 分 已知数列 an a1 2 an 2an 1 1 n 2 求 an 2n 1 1 考点 等比数列的通项公式 专题 等差数列与等比数列 分析 构造可得 an 1 2 an 1 1 从而可得数列 an 1 是以 1 为首项 以 2 为等比数列 可先求 an 1 进而可求 an 解答 解 由题意 两边减去 1 得 an 1 2 an 1 1 a1 1 1 an 1 是以 1 为首项 以 2 为等比数列 an 1 1 2 n 1 2n 1 an 2n 1 1 n 2 故答案为 2n 1 1 点评 本题的考点是数列递推式 主要考查了利用数列的递推关系求解数列的项 关键是 8 构造等比数列的方法的应用 15 5 分 给出下列四个命题 函数的最小值为 6 不等式的解集是 x 1 x 1 若 a b 1 则 若 a 2 b 1 则 a b 1 所有正确命题的序号是 考点 基本不等式 命题的真假判断与应用 其他不等式的解法 不等式的基本性质 专题 计算题 分析 通过举反例判断出命题 错 通过解分式不等式判断出命题 正确 通过作差判 断差的正负 判断出 正确 解答 解 对于 当 x 0 时 f x 为负 所以最小值不是 6 对于 1 x 1 解集为 x 1 x 1 对于 a b 1 1 a 1 b 0 又 故 a b 1 则 对于 例如 a 1 b 1 有 a b 2 1 所有正确命题的序号是 故答案为 点评 本题考查举反例是判断命题错误的一个重要方法 分式不等式的解法 作差比较大 小 三 解答题 共三 解答题 共 7575 分 分 16 12 分 已知函数 1 若 x 0 求 f x 的最小值及此时的 x 值 2 若 求 f x 的最小值及此时的 x 值 考 点 函数单调性的性质 专 函数的性质及应用 9 题 分 析 1 可以利用定义去判断函数的单调性 或者使用基本不等式求函数的最小值 2 利用定义判断函数在上的单调性 然后求出最小值 解 答 解 1 因为 x 0 所以由基本不等式得 2 当且仅当 即 x 时取等号 所以当 x 时 函数 f x 有最小值 12 2 设 则 因为 所以 x1 x20 所以 f x1 f x2 即函数在上为减函数 所以当 x 时 函数的最小值为 点 评 本题考查了利用定义证明和判断函数的单调性以及利用单调性求函数最值 17 12 分 在 ABC 中 已知 a b B 45 求 A C 及 c 考点 正弦定理 专题 计算题 分类讨论 分析 根据正弦定理和已知条件求得 sinA 的值 进而求得 A 再根据三角形内角和求得 C 最后利用正弦定理求得 c 解答 解 根据正弦定理 sinA B 45 90 且 b a A 60 或 120 当 A 60 时 C 75 c 当 A 120 时 C 15 c 点评 本题主要考查了正弦定理的应用 正弦定理是解三角形问题时常用的公式 对其基 本公式和变形公式应熟练记忆 10 18 理 已知 ABC 的内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且 a 2 cosB I 若 b 4 求 sinA 的值 II 若 ABC 的面积 S ABC 4 求 b c 的值 考点 正弦定理的应用 专题 解三角形 分析 I 利用同角三角函数公式求出 sinB 再利用正弦定理求 sinA 的值 II 利用三角形面积公式求 c 再利用余弦定理求 b 的值 解答 解 I cosB sinB a 2 b 4 sinA II 由 S ABC acsinB c 4 可解得 c 5 由余弦定理可得 b2 a2 c2 2accosB 4 25 2 2 5 17 点评 本题考查余弦定理 正弦定理的运用 考查三角形面积的计算 考查学生的计算能 力 属于中档题 19 12 分 设等差数列 an 满足 a3 5 a10 9 求 an 的通项公式 求 an 的前 n 项和 Sn及使得 Sn最大的序号 n 的值 考点 等差数列的通项公式 等差数列的前 n 项和 分析 1 设出首项和公差 根据 a3 5 a10 9 列出关于首项和公差的二元一次方程组 解方程组得到首项和公差 写出通项 2 由上面得到的首项和公差 写出数列 an 的前 n 项和 整理成关于 n 的一元二 次函数 二次项为负数求出最值 解答 解 1 由 an a1 n 1 d 及 a3 5 a10 9 得 a1 9d 9 a1 2d 5 解得 d 2 a1 9 数列 an 的通项公式为 an 11 2n 2 由 1 知 Sn na1 d 10n n2 因为 Sn n 5 2 25 11 所以 n 5 时 Sn取得最大值 点评 数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数 当自变量从小到大依次 取值对应的一列函数值 因此它具备函数的特性 20 12 分 在 ABC 中 已知角 A B C 所对的三条边分别是 a b c 且 1 求角 B 的大小 2 若 求 ABC 的面积 考点 解三角形 正弦定理 余弦定理 专题 计算题 分析 1 利用正弦定理化简已知的表达式 结合两角和的正弦函数以及三角形的内角 求出 B 的值即可 2 通过余弦定理 以及 B 的值 a c 4 求出 ac 的值 然后求出三角形的面积 解答 解 1 因为 所以得 2sinAcosB sinCcosB sinBcosC 0 2sinAcosB sinA 0 A 0 sinA 0 则 cosB B 0 B 2 由余弦定理得 b2 a2 c2 2accosB B 13 a2 c2 ac a c 2 ac 13 ac 3 点评 本题是中档题 考查正弦定理 余弦定理 两角和的正弦函数 三角形的面积公式 的应用 考查计算能力 21 13 分 2010 广东 某营养师要求为某个儿童预订午餐和晚餐 已知一个单位的午 餐含 12 个单位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 6 个单位的维生素 C 一个单位的晚餐 含 8 个单位的碳水化合物 6 个单位的蛋白质和 10 个单位的维生素 C 另外 该儿童这两 餐需要的营状中至少含 64 个单位的碳水化合物和 42 个单位的蛋白质和 54 个单位的维生素 C 如果一个单位的午餐 晚餐的费用分别是 2 5 元和 4 元 那么要满足上述的营养要求 并且花费最少 应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐 考点 简单线性规划的应用 12 分析 利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用 本题主要考 查找出约束条件与目标函数 准确地描画可行域 再利用图形直线求得满足题设的 最优解 解答 解 设为该儿童分别预订 x 个单位的午餐和 y 个单位的晚餐 设费用为 F 则 F 2 5x 4y 由题意知约束条件为 画出可行域如下图 变换目标函数 当目标函数过点 A 即直线 6x 6y 42 与 6x 10y 54 的交点 4 3 时 F 取得最小 值 13 即要满足营养要求 并且花费最少 应当为儿童分别预订 4 个单位的午餐和 3 个单 位的晚餐 点评 用图解法解决线性规划问题时 分析题目的已知条件 找出约束条件和目标函数是 关键 可先将题目中的量分类 列出表格 理清头绪 然后列出不等式组 方程组 寻求约束条件 并就题目所述找出目标函数 然后将可行域各角点的值一一代入 最后比较 即可得到目标函数的最优解 22