利用放缩法证明数列型不等式压轴题

1 利用放缩法证明数列型不等式压轴题利用放缩法证明数列型不等式压轴题 摘要 摘要 纵观近几年高考数学卷 压轴题很多是数列型不等式 其中通常需要证明数列 型不等式 它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法 而且还可以综合考查其它多种 数学思想方法 充分体现了能力立意的高考命题原则 处理数列型不等式最重要要的方法 为放缩法 放缩法的本质是基于最初等的四则运算 利用不等式的传递性 其优点是能迅 速地化繁为简 化难为易 达到事半功倍的效果 其难点是变形灵活 技巧性强 放缩尺 度很难把握 对大部分学生来说 在面对这类考题时 往往无从下笔 本文以数列型不等 式压轴题的证明为例 探究放缩法在其中的应用 希望能抛砖引玉 给在黑暗是摸索的学 生带来一盏明灯 关键词 放缩法 不等式 数列 数列型不等式 压轴题关键词 放缩法 不等式 数列 数列型不等式 压轴题 主体 主体 一 常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用一 常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1 裂项放缩法 裂项放缩法 放缩法与裂项求和的结合 用放缩法构造裂项求和 用于解决和 式问题 裂项放缩法主要有两种类型 1 先放缩通项 然后将其裂成某个数列的相邻两项的差 在求和时消去 先放缩通项 然后将其裂成某个数列的相邻两项的差 在求和时消去 中间的项 中间的项 例例 1 1 设数列的前项的和 设 n an 1 412 2 333 n nn Sa 1 2 3 n 2n n n T S 证明 1 2 3 n 1 3 2 n i i T 证明 易得证明 易得 1 2 21 21 3 nn n S 11 32311 2 21 21 2 2121 n n nnnn T 112231 11 3113111111 221212 212121212121 nn i iinn ii T 11 3113 2 21212 n 点评 点评 此题的关键是将裂项成 然后再求和 即可 1 2 21 21 n nn 1 11 2121 nn 达到目标 2 先放缩通项 然后将其裂成 先放缩通项 然后将其裂成项之和 然后再结合其余条件进项之和 然后再结合其余条件进 3 n n 行二次放缩 行二次放缩 例例 2 已知数列和满足 数列的 n a n b 11 2 1 1 nnn aaa a 1 nn ba n b 前和为 n n S 2nnn TSS 2 I 求证 1nn TT II 求证 当时 2n 2n S 711 12 n 证明 证明 I 1 111111 2322122 nn TT nnnnnn 111 21221nnn 1 0 21 22 nn 1nn TT II 112 211 22222 2 nnnnn nSSSSSSSS 12 211 22 nn TTTTS 由 I 可知递增 从而 又 n T 12 2 22 nn TTT 112 17 1 212 TST 12 211 222 nnn STTTTS 211 71711 1 1 1 12212 n nTTSn 即当时 2n 2n S 711 12 n 点评 点评 此题 II 充分利用 I 的结论 递增 将裂成 n T 2n S 的和 从而找到了解题的突破口 112 211 2222 nnnn SSSSSSS 2 迭乘 迭乘放缩法放缩法 放缩法与迭乘法的结合 用放缩法构造迭乘形式 相乘时消去中 间项 用于解决积式问题 例例 3 已知数列的首项为点在直线上 n a 1 3 a 1 nn aa 03 Nnyx 若证明对任意的 不等式 3 3 log2 nn canN n N 恒成立 3 12 111 1 1 1 31 n n ccc 证明 证明 32 n cn 33 1313133131 1 3232 31332 n nnnnn cnnnnn 所以 3 12 1114 731 1 1 1 31 1 432 n n n cccn 3 12 111 1 1 1 31 n n ccc 点评 点评 此题是证明积式大于根式 由于左边没有根式 右边是三次根式 立方后比较 3 更容易处理 可以看成是三个假分式的乘积 保持其中一项不变 另 33 131 1 32 n n cn 两项假分数分子分母同时加 1 加 2 则积变小 3 313133131 3232 31332 nnnnn nnnnn 而通项式为的数列在迭乘时刚好相消 从而达到目标 31 32 n n 3 3 迭代放缩法 迭代放缩法 通过放缩法构造递推不等关系 进行迭代 从而求解 例例 4 4 已知数列满足 证明 n x 11 11 21 n n xxnN x 1 1 12 65 n nn xx 证明 证明 当时 结论成立 1n 121 1 6 nn xxxx 当时 易知2n 11 1 11 01 12 12 nnn n xxx x 111 1 15 1 1 1 1 2 12 nnnn n xxxx x 1 1 11 11 11 1 1 nn nn nnnn xx xx xxxx 211 1121 2221 2 5556 5 nn nnnn xxxxxx 点评 点评 此题将目标式进行放缩得到递推不等关系 进行迭代 找到解题途径 4 等比公式放缩法 等比公式放缩法 先放缩构造成等比数列 再求和 最后二次放缩实现目 标转化 例例 5 已知数列的各项均为正数 且满足记 n a 1 1 1 12 2 1 nn nn aa anN aa 数列的前项和为 且 2 nnn baa n bn n x 1 2 nn f xx I 数列和的通项公式 n b n a II 求证 12 231 1 2 2 n n f xf xf xnn nN f xf xf x 略解 略解 I 2n n b 2 112 2 n n a 21 n n f x 4 证明 证明 II 1 1 21211 1 212 2 2 2 nn n n n n f x f x 12 231 2 n n f xf xf xn f xf xf x 11 1 2111 2122 21 n n nn n f x f x 111 1111 22 22 22 nnn 12 231 231 111111 1 22222222 n nn n f xf xf xnnn f xf xf x 12 231 1 2 2 n n f xf xf xnn f xf xf x 反思 反思 右边是 感觉是个的和 而中间刚好是项 所以利用 2 n n 1 2 n 1 211 212 n n 左边是不能用同样的方式来实现 想到 试着考虑 1 2 n 11 0 222 nn f nf n 将缩小成是等比数列 从而找到了此题的突破口 1 21 21 n n 1 2 nn cc 5 二项式定理放缩法 二项式定理放缩法 在证明与指数有关的数列型不等式时 用二项式定理放缩 特别有效 二项式定理放缩法有两种常见类型 1 1 部分二项式定理放缩法 部分二项式定理放缩法 即只在式子的某一部分用二项式定理放缩 例例 6 6 已知数列满足 n a aa 1 2 a 1 46 410 21 n n nan a n n N 证明数列是等比数列 并求出通项 2 21 n a n n a 如果时 设数列的前项和为 试求出 并证明当时 有1a n a n n S n S3n 21 世纪教育网世纪教育网 34 1111 10 n SSS 略解略解 则 22 3 12 2 1 n n na a nN 21 21 n n Sn n n n nnn n CCCC 110 2 当时 则 3 n 011 22 1 nnn nnnn CCCCn 1212 n n 5 则 12 12 nnSn 12 1 12 1 2 1 12 12 11 nnnnSn 因此 12 1 12 1 9 1 7 1 7 1 5 1 2 1111 43 nnSSS n 10 1 12 1 5 1 2 1 n 反思 反思 为什么会想到将放缩成 联想到 11 21 21 n n Sn 1 21 21 nn 因为要证明 而是一个 1111 11 1 22 3 1 1nnn 1 10 34 111 n SSS 数列前项的和 最后通过放缩很可能变成的形式 而应是由n 1 0 10 f nf n 1 10 放缩后裂项而成 3 11 3 7S 3 111 11 3 52 35S 111 21 21 21 21 n n Snnn 此时刚好得到 接下来就 111 2 2121nn 34 1111 111 2 52110 n SSSn 要处理 想到用二项式定理 1212 n n 2 2 完全二项式定理放缩法 完全二项式定理放缩法 整个式子的证明主要借助于二项式定理 例例 7 7 设数列的前项和为 且对任意的 都有 n an n S nN 333 12 0 nnn aSaaa I 求的值 II 求数列的通项公式 III 证明 12 a a n a n a 21221 nnn nnn aaa 略解 略解 I II 12 1 2aa n an 证明证明 III 012233 1 n nnnn xCC xC xC x 012233 1 n nnnn xCC xC xC x 令 133551 1 1 22222 nn nnnn xxC xC xC xC xnx 1 2 x n 则有 从而 即 11 1 1 1 22 nn nn 21 2 21 nnn nnn 21221 nnn nnn aaa 6 点评 点评 利用二项式定理结合放缩法证明不等式时 一定要紧密结合二项式展开式的特 点 联系需证不等式的结构 通过化简 变形 换元等手段使问题得以解决 6 比较放缩法 比较放缩法 比较法与放缩法的结合 先进行比较 作差或作商 再进行放缩 例例 8 在单调递增数列中 且成等差数列 n a1 1 a2 2 a 12212 nnn aaa 成等比数列 22122 nnn aaa 3 2 1 n I 分别计算 和 的值 3 a 5 a 4 a 6 a II 求数列的通项公式 将用表示 n a n an III 设数列的前项和为 证明 1 n a n n S 2 4 n n Sn nN 略解 略解 I II 得 3 3a 4 9 2 a 5 6a 6 8a 为偶数 为奇数 n n n nn an 8 2 8 3 1 2 证明 证明 III 由 II 得 为偶数 为奇数 n n n nn an 2 8 3 1 8 1 2 显然 21 14 3 4 1 1 1 1 a S 当为偶数时 n 4 2 n n S n 222 1111114 8 2 444 66 2 2 2 n nnnn 1111114 8 2 42 44 64 6 2 2 2 n nnn nn 111111114 8 24466822 n nnn 114 80 222 n nn 当为奇数 时 n3 n 1 4144 1 84 22 1 2 1 3 2 nn n nnnn SS nannnnn 128 40 1 1 3 2 1 2 3 nn nnnnnnn 综上所述 即 4 0 2 n n S n 2 4 n n Sn nN 点评 点评 此题在作差比较中实施裂项放缩 进而得到最后结果小于 0 从而得证 7 7 单调函数放缩法 单调函数放缩法 根据题目特征 构造特殊的单调函数 再进行放缩求解 例例 9 设函数 其中 证明对任意的正整数 不等式 2 ln 1 f xxbx 0b n 都成立 23 111 ln1 nnn 分析 分析 欲证上述结论 直接作差比较 无从下手 接着想到令 23 111 ln1 nnn 判断函数的单调性 由于定义域为正整数 23 111 ln1 g n nnn g n nN 不能用导数 只能计算 其结果还是很难处理 联想到数列是一种特殊的 1 g ng n 函数 将命题加强 令 判断函数的单 1 0 x n 32 ln 1 0 h xxxxx 调性 如果在单调 则函数也单调 0 g n 解 解 令函数 3232 ln 1 ln 1 h xxxxxxx 则 32 2 13 1 32 11 xx h xxx xx 当时 所以函数在上单调递增 0 x 0h x h x 0 时 恒有 即恒成立 0 x 0 0h xh 23 ln 1 xxx 故当时 有 0 x 23 ln 1 xxx 对任意正整数取 则有 n 1 0 x n 23 111 ln1 nnn 二 放缩法的注意问题以及解题策略二 放缩法的注意问题以及解题策略 1 明确放缩的方向 明确放缩的方向 即是放大还是缩小 看证明的结论 是小于某项 则放大 是大于某个项 则缩小 2 放缩的项数 放缩的项数 有时从第一项开始 有时从第三项 有时第三项 等等 即不一 定是对全部项进行放缩 3 放放缩缩法法的的常常见见技技巧巧及及常见的放缩式 常见的放缩式 1 根式的放缩 111 121kkkkk 2 在分式中放大或缩小分子或分母 2 111 2 1 1 k k kkk k 8 真分数分子分母同时加上一个正数 则变大 1 1 nn nn 假分数分子分母同时加上一个正数 则变小 如 212 221 nn nn 3 应用基本不等式放缩 22 22 22 nnnn nnnn 4 二项式定理放缩 如 2121 3 n nn 5 舍掉 或加进 一些项 如 121321 2 nnn aaaaaaaan 4 把握放缩的尺度 把握放缩的尺度 如何确定放缩的尺度 不能过当 是应用放缩法证明中最关 键 最难把握的问题 这需要勤于观察和思考 抓住欲证命题的特点 只有这样 才能使 问题迎刃而解 再看例 2 若构造函数 2 111711 1 1 223212 n n nn f nSnN 则 1 f nf n 1 111718 1 23212 n n 111711 1 23212 n n 1111 2122222 nnnn 17171 20 221221212 n nn 前后不等号不一致 不能确定的单调性 此时放缩过当 此题不适宜用单调函数放 f n 缩法 若要证明 则 2 1 2 n n S 1 f nf n 1 1113 1 2322 n n 1112 1 2322 n n 1111 2122222 nnnn 所以 从而递增 1111 20 22222 n nn 1 f nf n f n nN 所以成立 此时用单调函数放缩法可行 同样 13 1 10 22 f nf 2 1 2 n n S 的题干 稍有调整 我们所用的方法便有不同 5 放缩法的策略以及精度的控制 放缩法的策略以及精度的控制 例例 10 已知数列的前项和为 且满足 n an n S 11 1 20 2 2 nnn aaS Sn I 数列是否为等差数列 并证明你的结论 1 n S II 求和 n S n a III 求证 2222 123 1 2 n SSSS 9 简解 简解 1 2 1 1 12 1 2 2 2 1 nn n Sa n n n n 3 证法一 证法一 当时 成立 1n