实验07讲评、参考答案-微分方程模型(2学时)

1 实验实验 07 讲评 参考答案讲评 参考答案 讲讲 评评 未按时交的同学未按时交的同学 数学 01 边清水 14 黄浦 28 陆杭涛 34 谭世韬 50 钟鑫 信科 19 施磊 批改情况 批改情况 2 附参考答案 附参考答案 数学建模实验数学建模实验 王平王平 实验实验 0707 微分方程模型 微分方程模型 2 2 学时 学时 第 第 5 5 章章 微分方程模型 微分方程模型 1 验证 传染病模型 验证 传染病模型 2 SI 模型 模型 p136 138 传染病模型传染病模型 2 SI 模型 模型 0 1 0 di k iiii dt 其中 其中 i t 是第是第 t 天病人在总人数中所占的比例 天病人在总人数中所占的比例 k 是每个病人每天有效接触的平均人数 日接触率 是每个病人每天有效接触的平均人数 日接触率 i0是初始时刻 是初始时刻 t 0 病人的比例 病人的比例 1 11 1 画画曲线图曲线图 p136 138p136 138 di i dt 取取 k 0 1 画出 画出的曲线图 求的曲线图 求 i 为何值时为何值时达到最大值 并在曲线图达到最大值 并在曲线图i dt di dt di 上标注 上标注 参考程序 参考程序 传染病模型传染病模型 2 SI 模型 的模型 的 di dt i 曲线图曲线图 文件名 文件名 p137fig2 m 0 1 clear clc 3 fplot 0 1 x 1 x 0 1 1 0 0 03 x fminbnd 0 1 x 1 x 0 1 y 0 1 x 1 x hold on plot 0 x y y x x 0 y text 0 y di dt m VerticalAlignment bottom text x 0 001 num2str x HorizontalAlignment center title SI 模型的模型的 di dt i 曲线曲线 xlabel i ylabel di dt hold off 提示 提示 fplot fminbnd plot text title xlabel 1 画曲线图 画曲线图 用用 fplot 函数 调用格式如下 函数 调用格式如下 fplot fun lims fun 必须为一个必须为一个 M 文件的函数名或对变量文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串 的可执行字符串 若若 lims 取取 xmin xmax 则 则 x 轴被限制在此区间上 轴被限制在此区间上 若若 lims 取取 xmin xmax ymin ymax 则 则 y 轴也被限制 轴也被限制 本题可用本题可用 fplot 0 1 x 1 x 0 1 1 0 0 03 2 求最大值 求最大值 用求解边界约束条件下的非线性最小化函数用求解边界约束条件下的非线性最小化函数 fminbnd 调用格式如下 调用格式如下 x fminbnd fun x1 x2 fun 必须为一个必须为一个 M 文件的函数名或对变量文件的函数名或对变量 x 的可执行字符串 的可执行字符串 返回自变量返回自变量 x 在区间在区间 x1 x x2 上函数取最小值时的上函数取最小值时的 x 值 值 本题可用本题可用 x fminbnd 0 1 x 1 x 0 1 y 0 1 x 1 x 3 指示最大值坐标 指示最大值坐标 用线性绘图函数用线性绘图函数 plot 调用格式如下 调用格式如下 plot x1 y1 颜色颜色 线型线型 数据点图标数据点图标 x2 y2 颜色颜色 线型线型 数据点图标数据点图标 本题可用本题可用 hold on 在上面的同一张图上画线 同坐标系 在上面的同一张图上画线 同坐标系 plot 0 x y y x x 0 y 4 图形的标注 图形的标注 使用文本标注函数使用文本标注函数 text 调用格式如下 调用格式如下 格式格式 1 text x y 文本标识内容文本标识内容 HorizontalAlignment 字符串字符串 1 x y 给定标注文本在图中添加的位置 给定标注文本在图中添加的位置 HorizontalAlignment 为水平控制属性 控制文本标识起点位于点为水平控制属性 控制文本标识起点位于点 x y 同一同一 水平线上 水平线上 4 字符串字符串 1 为水平控制属性值 取三个值之一 为水平控制属性值 取三个值之一 left 点 点 x y 位于文本标识的左边 位于文本标识的左边 center 点 点 x y 位于文本标识的中心点 位于文本标识的中心点 right 点 点 x y 位于文本标识的右边 位于文本标识的右边 格式格式 2 text x y 文本标识内容文本标识内容 VerticalAlignment 字符串字符串 2 x y 给定标注文本在图中添加的位置 给定标注文本在图中添加的位置 VerticalAlignment 为垂直控制属性 控制文本标识起点位于点为垂直控制属性 控制文本标识起点位于点 x y 同一垂同一垂 直线上 直线上 字符串字符串 1 为垂直控制属性值 取四个值之一 为垂直控制属性值 取四个值之一 middle top cap baseline bottom 对应位置可在命令窗口应用 对应位置可在命令窗口应用 确定 确定 本题可用本题可用 text 0 y di dt m VerticalAlignment bottom text x 0 001 num2str x HorizontalAlignment center 5 坐标轴标注 坐标轴标注 调用函数调用函数 xlabel ylabel 和和 title 本题可用本题可用 title SI 模型模型 di dt i 曲线曲线 xlabel i ylabel di dt 程序运行结果 比较程序运行结果 比较 138 图图 2 在图形窗口菜单选择 在图形窗口菜单选择 Edit Copy Figure 复制图形 复制图形 00 20 40 60 81 0 0 005 0 01 0 015 0 02 0 025 0 03 di dt m 0 5 SI人 人 人 di dt i人 人 i di dt 5 1 21 2 画画 i t 曲线图曲线图 p136 138 求出微分方程的解析解求出微分方程的解析解 i t 画出 画出 i t 曲线 曲线 i 0 0 15 k 0 2 t 0 30 见 见 138 图图 1 比较 比较 参考程序 参考程序 5 1 传染病模型传染病模型 模型模型 2 文件名 文件名 p136fig1 m di dt ki 1 i i 0 i0 clear clc x dsolve Dx k x 1 x x 0 x0 求微分方程的解析解 为符号表达式求微分方程的解析解 为符号表达式 x0 0 15 k 0 2 xi 对应对应 i xi0 对应对应 i0 k 对应对应 tt 0 0 1 30 时间单位为天时间单位为天 for s 1 length tt x 的表达式中没有点运算 按标量运算取值的表达式中没有点运算 按标量运算取值 xx t tt s xx s eval x 给出给出 xi0 0 2 k 0 2 t 求符号表达式求符号表达式 xi 的对应值的对应值 end xx 为复数表示为复数表示 plot tt xx axis 0 31 0 1 1 title 图图 1 SI 模型的模型的 i t 曲线曲线 xlabel t 天 天 ylabel i 病人所占比例 病人所占比例 提示 提示 1 求解微分方程求解微分方程 dsolve 见提示 见提示 2 画出画出 i t 曲线 曲线 i 0 0 15 0 2 t 0 30 用用 for 循环 函数循环 函数 length eval plot axis title xlabel ylabel 程序运行结果 见程序运行结果 见 138 图图 1 命令窗口中的结果 命令窗口中的结果 图形窗口中的结果 比较图形窗口中的结果 比较 138 图图 1 051015202530 0 0 2 0 4 0 6 0 8 1 人 1 SI人 人 人 i t人 人 t 人 人 人 i 人 人 人 人 人 人 人 人 6 2 编程 传染病模型 编程 传染病模型 3 SIS 模型 模型 已知传染病模型已知传染病模型 3 SIS 模型 模型 0 0 1 1 iiii dt di 其中 其中 i t 是第是第 t 天病人在总人数中所占的比例 天病人在总人数中所占的比例 是每个病人每天有效接触的平均人数 日接触率 是每个病人每天有效接触的平均人数 日接触率 i0是初始时刻 是初始时刻 t 0 病人的比例 病人的比例 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数 接触数 是整个传染期内每个病人有效接触的平均人数 接触数 2 12 1 画画曲线图曲线图 p138 139p138 139 di i dt 取取 0 1 1 5 画出如下所示的 画出如下所示的曲线图 试编写一个曲线图 试编写一个 m 文件来实文件来实i dt di 现 现 在图形窗口菜单选择 在图形窗口菜单选择 Edit Copy Figure 复制图形 复制图形 00 050 10 150 20 250 30 350 4 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 x 10 3 SIS人 人 人 di dt i人 人 i di dt 注 注 p139 图图 3 提示 提示 用用 fplot 函数画出函数画出的曲线图 的曲线图 i dt di 在上图上用在上图上用 plot 函数画一条过原点的水平线 函数画一条过原点的水平线 7 用用 title xlabel ylabel 标注 标注 编写的编写的 M 文件和运行结果 见文件和运行结果 见 139 图图 3 传染病模型传染病模型 3 SIS 模型 的模型 的 di dt i 曲线图曲线图 文件名 文件名 p138fig3 m 0 1 1 5 clear clc fplot 0 1 x x 1 1 1 5 0 0 4 0 0005 0 003 hold on plot 0 0 4 0 0 title SIS 模型的模型的 di dt i 曲线曲线 xlabel i ylabel di dt 00 050 10 150 20 250 30 350 4 0 5 0 0 5 1 1 5 2 2 5 3 x 10 3 SIS人 人 人 di dt i人 人 i di dt 2 22 2 画画 i t 曲线图曲线图 p138 139 要求 要求 求出微分方程的解析解求出微分方程的解析解 i t 取 取 0 2 3 t 0 40 画出如下所示的图形 画出如下所示的图形 试编写一个试编写一个 m 文件来实现 文件来实现 8 0510152025303540 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 t 人 人 人 i 人 人 人 人 人 人 人 人 人 1 SI人 人 人 i t人 人 0 2 3 i 0 0 2 1 1 i 0 0 9 注 注 p139 图图 4 其中其中 蓝色实线为蓝色实线为 i 0 0 2 时的时的 i t 曲线 第曲线 第 1 条 条 黑色虚点线为过点 黑色虚点线为过点 0 1 1 的水平线 第 的水平线 第 2 条 条 红色虚线为红色虚线为 i 0 0 9 时的时的 i t 曲线 第曲线 第 3 条 条 提示提示 图例标注可用图例标注可用 legend i 0 0 2 1 1 i 0 0 9 编写的编写的 M 文件和运行结果 比较文件和运行结果 比较 139 图图 4 解法一 解法一 程序 程序 传染病模型传染病模型 3 SIS 模型 的模型 的 i t 曲线图曲线图 文件名 文件名 p138fig4 m clear clc 0 2 3 i 0 0 2 x 代表代表 i x dsolve Dx 0 2 x x 1 1 3 x 0 0 2 求微分方程的解析解 为符号表达求微分方程的解析解 为符号表达 式式 tt 0 0 1 40 时间单位为天时间单位为天 for i 1 length tt t tt i xx i eval x end 9 plot tt xx hold on plot 0 41 1 1 3 1 1 3 k 0 2 3 i 0 0 9 x dsolve Dx 0 2 x x 1 1 3 x 0 0 9 tt 0 0 1 40 时间单位为天时间单位为天 for i 1 length tt t tt i xx i eval x end plot tt xx r legend i 0 0 2 1 1 i 0 0 9 axis 0 40 0 1 title 图图 1 SI 模型的模型的 i t 曲线曲线 0 2 3 xlabel t 天天 ylabel i 病人所占比例病人所占比例 命令窗口的结果 命令窗口的结果 图形窗口的结果 图形窗口的结果 10 0510152025303540 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 t 人 人 人 i 人 人 人 人 人 人 人 人 人 1 SI人 人 人 i t人 人 0 2 3 i 0 0 2 1 1 i 0 0 9 解法二 解法二 程序 程序 传染病模型传染病模型 3 SIS 模型 的模型 的 i t 曲线图曲线图 文件名 文件名 p138fig4 m clear clc 0 2 3 x 代表代表 i x dsolve Dx 0 2 x x 1 1 3 x 0 x0 求微分方程的解析解 为符号表达求微分方程的解析解 为符号表达 式式 tt 0 0 1 40 时间单位为天时间单位为天 for x0 0 2 0 9 i 0 0 2 0 9 for t tt xx 2 x0 0 2 round t 0 1 1 eval x end end plot tt xx 1 b 0 41 1 1 3 1 1 3 k tt xx 2 r legend i 0 0 2 1 1 i 0 0 9 axis 0 40 0 1 title 图图 1 SI 模型的模型的 i t 曲线曲线 0 2 3 xlabel t 天天 ylabel i 病人所占比例病人所占比例 命令窗口的结果 命令窗口的结果 11 图形窗口的结果 图形窗口的结果 与解法一相同与解法一相同 解法三 解法三 程序程序 传染病模型传染病模型 3 SIS 模型 的模型 的 i t 曲线图曲线图 文件名 文件名 p138fig4 m clear clc x dsolve Dx lam x x 1 1 si x 0 x0 求微分方程的解析解 为符号表求微分方程的解析解 为符号表 达式达式 tt 0 0 1 40 时间单位为天时间单位为天 lam 0 2 si 3 0 2 3 x 代表代表 i for x0 0 2 0 9 i 0 0 2 0 9 for t tt xx 2 x0 0 2 round t 0 1 1 eval x end end plot tt xx 1 b 0 41 1 1 3 1 1 3 k tt xx 2 r legend i 0 0 2 1 1 i 0 0 9 axis 0 40 0 1 title 图图 1 SI 模型的模型的 i t 曲线曲线 0 2 3 xlabel t 天天 ylabel i 病人所占比例病人所占比例 命令窗口的结果 命令窗口的结果 图形窗口的结果 图形窗口的结果 与解法一相同与解法一相同 12 3 验证 传染病模型 验证 传染病模型 4 SIR 模型 模型 p140 141 SIR 模型的方程 模型的方程 0 0 0 0 di siiii dt ds siss dt 设设 1 0 3 i 0 0 02 s 0 0 98 输入 输入 p140 的程序并运行 结果与的程序并运行 结果与 教材教材 p141 的图的图 7 和图和图 8 比较 比较 ode45 pause 的用法见提示 的用法见提示 2 个个 M 文件 见文件 见 140 和运行结果 比较 和运行结果 比较 141 图图 7 图 图 8 函数函数 M 文件 文件 5 1 传染病模型传染病模型 模型模型 4 SIR 模型 模型 文件名文件名 ill m function y ill t x a 1 b 0 3 用用 a 表示表示 用用 b 表示表示 y a x 1 x 2 b x 1 a x 1 x 2 i 用用 x 1 表示表示 s 用用 x 2 表示表示 命令命令 M 文件 文件 5 1 传染病模型传染病模型 模型模型 4 SIR 模型 模型 文件名 文件名 p140 m clear clc ts 0 50 x0 0 02 0 98 t x ode45 ill ts x0 t x plot t x 1 t x 2 grid pause 图图 7 i t s t 图形图形 plot x 2 x 1 grid 图图 8 i s 图形图形 相轨线相轨线 i t s t 图形 比较图形 比较 141 图图 7 13 05101520253035404550 0 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 9 1 i s 图形 相轨线 图形 相轨线 比较 比较 141 图图 8 00 10 20 30 40 50 60 70 80 91 0 0 05 0 1 0 15 0 2 0 25 0 3 0 35 14 4 验证 人口指数增长模型参数估计及结果分析 美国 验证 人口指数增长模型参数估计及结果分析 美国 1790 2000 年人口 年人口 p163 164 美国美国 1790 2000 年人口统计数据 以百万为单位 年人口统计数据 以百万为单位 年年17901800181018201830184018501860187018801890 人口人口3 95 37 29 612 917 123 231 438 650 262 9 年年19001910192019301940195019601970198019902000 人口人口76 092 0106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 281 4 人口指数增长模型 人口指数增长模型 x t x0 e r t 1 用表中数据进行数据拟合求参数用表中数据进行数据拟合求参数 r x0 将将 x t x0 e r t两边取对数 可得两边取对数 可得 y rt a 其中 其中 y ln x a ln x0 即 即 x0 exp a 采用线性最小二乘法进行数据拟合 用采用线性最小二乘法进行数据拟合 用 MATLAB 中的函数中的函数 polyfit 计算 计算 r 为每为每 10 年估计的人口增长率 年估计的人口增长率 x0为为 1790 年估计的初始人口数 年估计的初始人口数 以下是以下是 M 文件 文件 clc format compact x 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 0 92 0 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 281 4 t 0 length x 1 t 0 为为 1790 年 年 t 1 为为 1800 年 年 y log x 取取 1790 2000 年的数据年的数据 ra polyfit t y 1 disp 用用 1790 20001790 2000 年数据估计的参数为 年数据估计的参数为 r ra 1 x0 exp ra 2 1 运行程序并给出结果 见运行程序并给出结果 见 167 15 2 人口指数增长模型计算结果与实际数据比较 数据表 人口指数增长模型计算结果与实际数据比较 数据表 以下是以下是 M 文件 文件 clc format compact x 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 0 92 0 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 281 4 t 0 length x 1 y log x 取取 1790 2000 年的数据年的数据 ra polyfit t y 1 r ra 1 x0 exp ra 2 x2 x0 exp r t disp 指数增长模型拟合美国人口数据的结果指数增长模型拟合美国人口数据的结果 x2 x2 format short g disp 1790 10 t x round 10 x2 10 16 2 运行程序并给出结果 见运行程序并给出结果 见 167 表表 4 中中 x2列 列 3 人口指数增长模型计算结果与实际数据比较 拟合图形 人口指数增长模型计算结果与实际数据比较 拟合图形 以下是以下是 M 文件 文件 x 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 0 92 0 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 281 4 t 0 length x 1 y log x 取取 1790 2000 年的数据年的数据 ra polyfit t y 1 r ra 1 x0 exp ra 2 t2 linspace 0 length x 1 30 x2 x0 exp r t2 plot t x r t2 x2 b title 指数增长模型拟合图形指数增长模型拟合图形 17 3 运行程序并给出结果 见运行程序并给出结果 见 168 图图 3 b 0510152025 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 人 人 人 人 人 人 人 人 人 人 5 验证 编程 估计阻滞增长模型的参数和绘制图形 验证 编程 估计阻滞增长模型的参数和绘制图形 p165 168 美国美国 1790 2000 年人口统计数据 以百万为单位 年人口统计数据 以百万为单位 年年17901800181018201830184018501860187018801890 人口人口3 95 37 29 612 917 123 231 438 650 262 9 年年19001910192019301940195019601970198019902000 人口人口76 092 0106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 281 4 人口阻滞增长模型 人口阻滞增长模型 0 d 1 0 d m xx rxxx tx 或或 0 11 e m rt m x x t x x 1 验证 用 验证 用 1860 1990 年的数据拟合估计参数年的数据拟合估计参数 r xm 用下面方程用下面方程 d d m x r t rsxs xx 估计参数估计参数 r xm 程序如下 程序如下 18 用数值微分的三点公式计算美国人口增长率用数值微分的三点公式计算美国人口增长率 10 年年 clear clc x 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 0 92 0 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 1790 1990 年的人口年的人口 xx x 1 8 end 取取 1860 1990 年的数据年的数据 len length xx h 1 dx 3 xx 1 4 xx 2 xx 3 xx 3 len xx 1 len 2 求数值微分求数值微分 dx 3 xx len 4 xx len 1 xx len 2 2 h y dx xx sr polyfit xx y 1 r sr 2 xm r sr 1 1 运行程序并给出结果 见运行程序并给出结果 见 168 差异大 书上结果数据差异大 书上结果数据 处理过 处理过 2 编程 计算阻滞增长模型拟合美国人口数据 编程 计算阻滞增长模型拟合美国人口数据 1790 1990 取参数取参数 r 0 2557 xm 392 0886 x0 3 9 编写程序计算 编写程序计算 1790 1990 年的人口 年的人口 参考的输出如下 第参考的输出如下 第 1 列为年 第列为年 第 2 列为实际人口 第列为实际人口 第 3 列为计算人口 列为计算人口 19 2 给出程序及其运行结果 见给出程序及其运行结果 见 167 表表 4 中中 x 列 列 clear clc format compact x 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 0 92 0 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 1790 1990 年的人口年的人口 t 0 length x 1 x0 3 9 r 0 2557 xm 392 0886 代入参数值代入参数值 xx xm 1 xm x0 1 exp r t 计算人口计算人口 format short g 1790 10 t x round 10 xx 10 20 3 编程 绘制阻滞增长模型拟合图形 编程 绘制阻滞增长模型拟合图形 1790 1990 取参数取参数 r 0 2557 xm 392 0886 x0 3 9 编写程序绘制 编写程序绘制 1790 1990 年的人口年的人口 数据拟合图形 参考图形如下 实线为模型曲线 数据拟合图形 参考图形如下 实线为模型曲线 为实际数据值 为实际数据值 02468101214161820 0 50 100 150 200 250 300 3 给出程序及其运行结果 见给出程序及其运行结果 见 168 图图 4 clear clc format compact 21 x 3 9 5 3 7 2 9 6 12 9 17 1 23 2 31 4 38 6 50 2 62 9 76 0 92 0 106 5 123 2 131 7 150 7 179 3 204 0 226 5 251 4 1790