江苏省南京市建邺高级中学高三数学第一轮复习《第5课时 函数的单调性》学案

用心 爱心 专心 1 第第 5 5 课时课时 函数的单调性函数的单调性 考点概述考点概述 理解函数的单调性 最大 小 值及其几何意义 理解函数单调性的定义 掌握函数单调性的判定与证明 能利用函数的单调性解决一 些问题 重点难点重点难点 领会函数单调性的实质 明确单调性是一个局部概念 并能利用函数单调性的定义证明 具体函数的单调性 领会函数最值的实质 明确它是一个整体概念 学会利用函数的单调 性求最值 知识扫描知识扫描 1 增函数和减函数 一般地 设函数 f x的定义域为I 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 12 x x 当 12 xx 时 都有 12 f xx 那么就说函数 f x在区间D上是 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 12 x x 当 12 xx 时 都有 12 f xx 那么就说函数 f x在区间D上是 2 单调性与单调区间 如果一个函数在某个区间M上是 或是 就说这个函数在这个区 间M上具有 区间M称为 3 最大 小 值 前面已复习过 4 判断函数单调性的方法 1 定义法 利用定义严格判断 2 导数法 若 f x在某个区间内可导 当 0fx 时 f x为 函数 当 0fx 时 f x为 函数 若 f x在某个区间内可导 当 f x在该区间上递增时 则 fx 0 当 f x 在该区间上递减时 则 fx 0 3 利用函数的运算性质 如若 f x g x为增函数 则 f xg x 为增函数 1 f x 为减函数 0f x f x为增函数 0f x f x g x为增 函数 0 0f xg x f x 为减函数 4 利用复合函数关系判断单调性 法则是 即两个简单函数的单调性相同 则这两个函数的复合函数为 若两个简单函数的单调性相反 则这两个函数的复合函数为 5 图像法 6 奇函数在两个对称区间上具有 的单调性 偶函数在两个对称区间上具有 的单调性 用心 爱心 专心 2 热身练习热身练习 1 1 设函数 21 f xaxb 是R上的减函数 则a的取值范围为 2 已知函数 xfy 在定义域 R 上是单调减函数 且 2 1 afaf 则a的取值范围 是 3 函数 2 45f xxmx 在区间 2 上是增函数 在区间 2 上是减函数 则 1 f 4 已知 函数 2 4 11f xxa x 在 1 上是增函数 则a的取值范围是 5 函数32 2 xxy的单调递减区间是 范例透析范例透析 例 1 已知函数 5 5 22 2 xaxxxf 1 当1 a时 求 xf最大值 2 求实数a的取值范围 使 xfy 在区间 5 5 上是单调函数 例 2 已知函数 0 11 a xa xf 1 用函数单调性的定义证明 0 在xf上是单调递增函数 2 若 xf的定义域 值域都是 2 2 1 求实数a的值 用心 爱心 专心 3 例 3 已知函数 f x和 g x的图像关于原点对称 且 2 2f xxx 1 求函数 g x的解析式 2 若 1h xg xf x 在 1 1 上是增函数 求实数 的取值范围 例 4 函数 xf对任意的 a b R 都有1 bfafbaf 并且当 x 0 时 xf 1 1 求证 xf是 R 上的增函数 2 若5 4 f 解不等式3 23 2 mmf 方法规律总结方法规律总结 1 高考中主要考察求函数的单调区间及单调性的应用 如 利用函数单调性求值域 比较 大小 解不等式等 多以小题的形式出现 但近几年常以导数为工具研究函数单调性问 题在大题中是必考内容 2 用定义证明 判断 函数在某一区间上的单调性 其步骤是 1 设 12 x x是该区间上的任意两个值 且 12 xx 2 作差 21 xfxf 然后变形 注意变形结果 3 判定 21 xfxf 的符号 4 根据定义作出结论 注意 1 单调性定义中的 12 x x要有任意性 不能由两个特殊值的大小决定单调性 2 不同的单调区间不能用并集表示 巩固练习巩固练习 1 如果函数f x x2 2 a 1 x 2 在区间 4 上是减函数 那么实数a的取值 范围是 2 已知函数 f x在区间 0 上是减函数 则 2 1 f aa 与 3 4 f的大小关系是 用心 爱心 专心 4 3 x ay log 2 1 在 R 上为减函数 则 a 4 若函数 2 21 1f xxaxa 是区间 3 7 2 2 上的单调函数 则实数a的取值范围 是 5 求函数 352 log 2 xxxf a 的单调区间 6 如果函数 xf的定义域为 0 xx 且 xf增函数 yfxfyxf 1 求证 yfxf y x f 2 已知1 3 f 且2 1 afaf 求 a 的取值范围 第第 5 5 课时课时 函数的单调性参考答案函数的单调性参考答案 热身练习热身练习 1 1 1 2 2 1a 3 25 4 3 2 a 5 1 1 4 解析 对称轴方程为 1 2 ax xf在 1 上是增函数 所以1 1 2 a 解得 3 2 a 5 解析 由 2 230 xx 得 函数定义域为 31 xx 令 2 23txx 则它的单调递减区间为 1 1 而yt 为增函数 所以所求单调递 减区间是 1 1 范例透析范例透析 例 1 解 1 5 5 1 1 22 22 xxxxxf37 5 max fxf 2 由题意知函数 xf的对称轴必须在区间 5 5 的右侧或左侧 用心 爱心 专心 5 右函数 xf的对称轴为ax 55 aa或 即55 aa或 例 2 解 1 设0 00 212121 xxxxxx 则 0 11 11 11 21 21 1221 21 xx xx xxxaxa xfxf 0 21 在即xfxfxf上是单调递增函数 2 xf的定义域 值都是 2 2 1 2 2 1 在 又xf上是单调增函数 2 2 2 1 2 1 f f 2 2 11 2 1 2 1 a a 即 5 2 a 例 3 解 1 设 P x y为 g x图像上任一点 则P关于原点的对称点 00 Q xy在 f x的图像上 且 0 0 0 2 0 2 xx yy 即 0 0 xx yy 点 00 Q xy在函数 yf x 图像上 2 000 2 yxx 2 2yxx 即 2 2 yxx 故 2 2 g xxx 2 2 1 2 1 1 h xxx 当1 时 41h xx 在 1 1 上是增函数 1 满足要求 当1 时 对称轴的方程为 1 1 x i 当1 时 1 1 1 解得1 ii 当1 时 1 1 1 解得10 综上 0 巩固练习巩固练习 1 答案 a 3 解析 对称轴x 1 a 由 1 a 4 得a 3 2 答案