2014数学理科试卷

20142014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学理科数学 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 1 设集合 M 0 1 2 N 则 2 320 x xx MN A 1 B 2 C 0 1 D 1 2 2 设复数 在复平面内的对应点关于虚轴对称 则 1 z 2 z 1 2zi 1 2 z z A 5 B 5 C 4 i D 4 i 3 设向量 a b 满足 a b a b 则 a b 106 A 1 B 2 C 3 D 5 4 钝角三角形 ABC 的面积是 AB 1 BC 则 AC 1 22 A 5 B C 2 D 1 5 5 某地区空气质量监测资料表明 一天的空气质量为优良的概率是 0 75 连续两为优良的 概率是 0 6 已知某天的空气质量为优良 则随后一天的空气质量为优 良的概率是 A 0 8 B 0 75 C 0 6 D 0 45 6 如图 网格纸上正方形小格的边长为 1 表示 1cm 图中粗线画出的 是某零件的三视图 该零件由一个底面半径为 3cm 高为 6cm 的圆柱体 毛坯切削得到 则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为 A B C D 17 27 5 9 10 27 1 3 7 执行右图程序框图 如果输入的 x t 均为 2 则输出的 S A 4 B 5 C 6 D 7 8 设曲线 y ax ln x 1 在点 0 0 处的切线方程为 y 2x 则 a A 0 B 1 C 2 D 3 9 设 x y 满足约束条件 则的最大值为 70 31 0 350 xy xy xy 2zxy A 10 B 8 C 3 D 2 10 设 F 为抛物线 C 的焦点 过 F 且倾斜角为 30 的直线交 2 3yx C 于 A B 两点 O 为坐标原点 则 OAB 的面积为 A B C D 3 3 4 9 3 8 63 32 9 4 11 直三棱柱 ABC A1B1C1 中 BCA 90 M N 分别是 A1B1 A1C1 的中点 BC CA CC1 则 BM 与 AN 所成的角的余弦值为 A B C D 1 10 2 5 30 10 2 2 12 设函数 若存在的极值点满足 则 m 3sin x f x m f x 0 x 2 22 00 xf xm 的取值范围是 A B 66 44 C D 22 14 第 卷 本卷包括必考题和选考题两部分 第 13 题 第 21 题为必考题 每个试题考生必须做答 第 22 题 第 24 题为选考题 考生根据要求做答 二 填空题 13 的展开式中 的系数为 15 则 a 用数字填写答案 10 xa 7 x 14 函数的最大值为 sin22sincosf xxx 15 已知偶函数在单调递减 若 则的取值范围 f x 0 20f 10f x x 是 16 设点 M 1 若在圆 O 上存在点 N 使得 OMN 45 则的取值范 0 x 22 1xy 0 x 围是 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 已知数列满足 1 n a 1 a 1 31 nn aa 证明是等比数列 并求的通项公式 1 2 n a n a 证明 12 3111 2 n aaa 18 本小题满分 12 分 如图 四棱锥 P ABCD 中 底面 ABCD 为矩形 PA 平面 ABCD E 为 PD 的中点 证明 PB 平面 AEC 设二面角 D AE C 为 60 AP 1 AD 求三棱锥 E ACD 的体积 3 19 本小题满分 12 分 某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y 单位 千元 的数据如下表 年份 2007200820092010201120122013 年份代号 t 1234567 人均纯收入 y 2 93 33 64 44 85 25 9 求 y 关于 t 的线性回归方程 利用 中的回归方程 分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入 的变化情况 并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 1 2 1 n ii i n i i ttyy b tt a ybt 20 本小题满分 12 分 设 分别是椭圆的左右焦点 M 是 C 上一点且与 x 轴垂 1 F 2 F 2 2 22 10 y x ab ab 2 MF 直 直线与 C 的另一个交点为 N 1 MF 若直线 MN 的斜率为 求 C 的离心率 3 4 若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2 且 求 a b 1 5MNFN 21 本小题满分 12 分 已知函数 f x 2 xx eex 讨论的单调性 f x 设 当时 求的最大值 24g xfxbf x 0 x 0g x b 已知 估计 ln2 的近似值 精确到 0 001 1 414221 4143 请考生在第 22 23 24 题中任选一题做答 如果多做 同按所做的第一题计分 做答时请 写清题号 22 本小题满分 10 选修 4 1 几何证明选讲 如图 P 是O 外一点 PA 是切线 A 为切点 割线 PBC 与O 相交于点 AA B C PC 2PA D 为 PC 的中点 AD 的延长线交O 于点 E 证明 A BE EC AD DE 2 2 PB 23 本小题满分 10 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中 以坐标原点为极点 x 轴为极轴建立极坐 标系 半圆 C 的极坐标方程为 2cos 0 2 求 C 的参数方程 设点 D 在 C 上 C 在 D 处的切线与直线垂直 根据 中你得到的 32l yx 参数方程 确定 D 的坐标 24 本小题满分 10 选修 4 5 不等式选讲 设函数 f x 1 0 xxa a a 证明 2 f x 若 求的取值范围 35f a 20142014 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案理科数学试题参考答案 一 选择题 1 D 2 A 3 A 4 B 5 A 6 C 7 D 8 D 9 B 10 D 11 C 12 C 二 填空题 13 14 1 15 16 1 2 1 3 1 1 三 解答题 17 解 由得 1 31 nn aa n 1 11 a3 22 n a 又 所以是首项为 公比为 3 的等比数列 1 13 22 a 1 2 n a 3 2 因此的通项公式为 13 22 n n a n a 31 2 n n a 由 知 12 31 n n a 因为当时 所以1n 1 312 3 nn 1 11 312 3 nn 于是 1 1 12 11111313 11 33232 nn n aaa 所以 123 11113 2 n aaaa 18 解 连结 BD 交 AC 于点 O 连结 EO 因为 ABCD 为矩形 所以 Q 为 BD 的终点 又 E 为 的终点 所以 EO PB EO平面 AEC PB平面 AEC 所以 PB 平面 AEC 因为 PA平面 ABCD ABCD 为矩形 所以 B 两两垂直 如图 以 A 为坐标原点 的方向为轴的正方向 为单位长 建立空间直角坐标AB xAP 系 A 则xyz 3 13 1 0 3 0 0 0 2222 DEAE 设则 0 0 0 B mm 3 0 3 0 C mACm 设为平面 ACE 的法向量 1 nx y z 则 即 1 1 0 0 nAC nAE 30 31 0 22 mxy y 可取 1 3 1 3 n m 又为平面 DAE 的法向量 2 1 0 0 n 由题设 即 12 1 cos 2 n n 解得 2 31 342m 3 2 m 因为 E 为 PD 的中点 所以三棱锥 E ACD 的高为 三棱锥 E ACD 的体积 1 2 11313 3 32228 V 19 解 由所给数据计算得 1 27 4 7 2 93 33 64 44 85 25 9 4 3 7 t y 7 2 1 1 t tt 9 4 1 0 1 4 9 28 7 11 1 t ttyy 3 1 4 2 1 1 0 7 0 0 1 1 0 5 2 0 9 3 1 6 14 7 11 1 7 2 1 1 14 0 5 28 t t ttyy b tt 4 30 5 42 3aybt 所求回归方程为 0 52 3yt 由 I 知 b 0 5 0 故 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年 增加 平均每年增加 0 5 千元 将 2015 年的年份代号 t 9 带入 I 中的回归方程 得 0 5 92 36 8y 故预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入为 6 8 千元 20 解 I 根据 22 cab 及题设知 2 2 23 b M cbac a 将 222 bac 代入 2 23bac 解得 1 2 2 cc aa 舍去 故 C 的离心率为 1 2 由题意 原点O为 12 FF 的中点 2 MF y 轴 所以直线 1 MF 与 y 轴的交点 0 2 D 是线段 1 MF 的中点 故 2 4 b a 即 2 4ba 由 1 5MNFN 得 11 2DFFN 设 11 N x y 由题意知 1 0y 则 1 1 2 22 cxc y 即 1 1 3 2 1 xc y 代入 C 的方程 得 2 22 91 1 4 c ab 将 及 22 cab 代入 得 2 2 9 4 1 1 44 aa aa 解得 2 7 428aba 故 7 2 7ab 21 解 I fx 20 xx ee 等号仅当 0 x 时成立 所以 f x 在 g x 22 2 4 4 84 xxxx fxbf xeeb eebx g x 22 22 42 xxxx eeb eeb 2 2 22 xxxx eeeeb i 当 2b 时 g x 0 等号仅当 0 x 时成立 所以 g x 在 单调 递增 而 0 g 0 所以对任意 0 0 xg x ii 当 2b 时 若x满足2 xx ee 22b 即 2 0ln 12 xbbb 时 g x 0 而 0 g 0 因此当 2 0ln 12 xbbb 时 g x 0 综上 b 的最大值为 2 由 知 3 ln2 2 22 21 ln2 2 gbb 当 b 2 时 3 ln2 4 26ln2 2 g 0 ln2 8 23 12 0 6928 当 3 2 1 4 b 时 2 ln 12 ln2bbb ln2 g 3 2 2 3 22 ln2 2 0 ln2 182 28 0 6934 所以ln2的近似值为 0 693 22 解 I 连结 AB AC 由题设知 PA PD 故 PAD PDA 因为 PDA DAC DCA PAD BAD PAB DCA PAB 所以 DAC BAD 从而 AA BEEC 因此 BE EC 由切割线定理得 2 PAPB PC 因为 PA PD DC 所以 DC 2PB BD PB 由相交弦定理得AD DE BD DC 所以 2 2AD DEPB 23 解 I C 的普通方程为 22 1 1 01 xyy 可得 C 的参数方程为 1 cos sin xt yt t 为参数 0 tx 设 D 1 cos sin tt 由 I 知 C 是以 G 1 0 为