福建省长泰一中高考数学一轮复习《函数的奇偶性》教案

用心 爱心 专心1 福建省长泰一中高考数学一轮复习福建省长泰一中高考数学一轮复习 函数的奇偶性函数的奇偶性 教案教案 数 都可以得出的周期为 0 a xf 的图象关于点中心对称或的图象关于直线 xfy 0 0 ba xfy 轴对称 均可以得到周期 bxax xf 例例 1 1 判断下列函数的奇偶性 1 f x 22 11xx 2 f x log2 x x R R 1 2 x 3 f x lg x 2 解 解 1 x2 1 0 且 1 x2 0 x 1 即 f x 的定义域是 1 1 f 1 0 f 1 0 f 1 f 1 f 1 f 1 故 f x 既是奇函数又是偶函数 2 方法一 易知 f x 的定义域为 R 又 f x log2 x log2 log2 x f x 1 2 x 1 1 2 xx 1 2 x f x 是奇函数 方法二 易知 f x 的定义域为 R 又 f x f x log2 x log2 x log21 0 即 f x f x 1 2 x1 2 x f x 为奇函数 3 由 x 2 0 得 x 2 f x 的定义域 x x 2 关于原点不对称 故 f x 为非奇非偶函数 变式训练变式训练 1 1 判断下列各函数的奇偶性 基础过关基础过关 典型例题典型例题 用心 爱心 专心2 1 f x x 2 x x 2 2 2 f x 2 2 1lg 2 2 x x 3 f x 1 2 1 0 1 2 xx x xx 1 求证 f x 是奇函数 2 如果 x R f x 0 并且 f 1 试求 f x 在区间 2 6 上的最值 2 1 1 证明 证明 函数定义域为 R 其定义域关于原点对称 f x y f x f y 令 y x f 0 f x f x 令 x y 0 f 0 f 0 f 0 得 f 0 0 f x f x 0 得 f x f x f x 为奇函数 2 解 解 方法一 设 x y R f x y f x f y f x y f x f y x R f x 0 f x y f x 0 f x y f x x y x f x 在 0 上是减函数 又 f x 为奇函数 f 0 0 f x 在 上是减函数 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 f 2 f 2 2f 1 1 f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 2 1 所求 f x 在区间 2 6 上的最大值为 1 最小值为 3 方法二 设 x1 x2 且 x1 x2 R 则 f x2 x1 f x2 x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 x1 0 f x2 x1 0 f x2 f x1 0 即 f x 在 R 上单调递减 f 2 为最大值 f 6 为最小值 f 1 2 1 f 2 f 2 2f 1 1 f 6 2f 3 2 f 1 f 2 3 所求 f x 在区间 2 6 上的最大值为 1 最小值为 3 变式训练变式训练 2 2 已知 f x 是 R 上的奇函数 且当 x 0 时 f x xlg 2 x 求 f x 的解析式 用心 爱心 专心3 解 解 f x 是奇函数 可得 f 0 f 0 f 0 0 当 x 0 时 x 0 由已知 f x xlg 2 x f x xlg 2 x 即 f x xlg 2 x x 0 f x 0 2lg 0 2lg xxx xxx 即 f x xlg 2 x x R R 例例 3 3 已知函数 f x 的定义域为 R 且满足 f x 2 f x 1 求证 f x 是周期函数 2 若 f x 为奇函数 且当 0 x 1 时 f x x 求使 f x 在 0 2 009 上的所有 x 的 2 1 2 1 个数 1 证明证明 f x 2 f x f x 4 f x 2 f x f x f x 是以 4 为周期的周期函数 2 解 解 当 0 x 1 时 f x x 2 1 设 1 x 0 则 0 x 1 f x x x 2 1 2 1 f x 是奇函数 f x f x f x x 即 f x x 2 1 2 1 故 f x x 1 x 1 2 1 又设 1 x 3 则 1 x 2 1 f x 2 x 2 2 1 又 f x 2 f 2 x f x 2 f x f x f x x 2 2 1 f x x 2 1 x 3 2 1 f x 31 2 2 1 11 2 1 xx xx 由 f x 解得 x 1 2 1 f x 是以 4 为周期的周期函数 故 f x 的所有 x 4n 1 n Z Z 2 1 令 0 4n 1 2 009 则 n 4 1 2 0051 又 n Z Z 1 n 502 n Z Z 在 0 2 009 上共有 502 个 x 使 f x 2 1 变式训练变式训练 3 3 已知函数 f x x2 x a 1 a R R 用心 爱心 专心4 1 试判断 f x 的奇偶性 2 若 a 求 f x 的最小值 2 1 2 1 解 解 1 当 a 0 时 函数 f x x 2 x 1 f x 此时 f x 为偶函数 当 a 0 时 f a a2 1 f a a2 2 a 1 f a f a f a f a 此时 f x 为非奇非偶函数 2 当 x a 时 f x x2 x a 1 x 2 a 2 1 4 3 a 故函数 f x 在 a 上单调递减 2 1 从而函数 f x 在 a 上的最小值为 f a a2 1 当 x a 时 函数 f x x2 x a 1 x 2 a 2 1 4 3 a 故函数 f x 在 a 上单调递增 从而函数 f x 在 a 上的 2 1 最小值为 f a a2 1 综上得 当 a 时 函数 f x 的最小值为 a2 1 2 1 2 1 1 1 奇偶性是某些函数具有的一种重要性质 对一个函数首先应判断它是否具有这种性质 判断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称 然后根据奇偶性的定义判 断 或证明 函数是否具有奇偶性 如果要证明一个函数不具有奇